Уравнение диффузии

Уравнение диффузии представляет собой параболическое уравнение в частных производных . В физике он описывает макроскопическое поведение многих микрочастиц в броуновском движении , возникающее в результате случайных движений и столкновений частиц (см. законы диффузии Фика ). В математике это связано с марковскими процессами , такими как случайные блуждания , и применяется во многих других областях, таких как материаловедение , теория информации и биофизика . Уравнение диффузии представляет собой частный случай уравнения конвекции-диффузии, когда объемная скорость равна нулю. это эквивалентно уравнению теплопроводности В некоторых обстоятельствах .

Заявление [ править ]

Уравнение обычно записывается как:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},$

где $φ (r, t)$ — плотность диффундирующего материала в месте $r$ и время $t$ , а $D (φ, r)$ — коллективный коэффициент диффузии для плотности $φ$ в месте $r$ ; и $\nabla$ представляет векторный дифференциальный оператор del . Если коэффициент диффузии зависит от плотности, то уравнение нелинейное, в противном случае — линейное.

Уравнение выше применимо, когда коэффициент диффузии изотропен ; в случае анизотропной диффузии $D$ представляет собой симметричную положительно определенную матрицу , и уравнение записывается (для трехмерной диффузии) как:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]$

Уравнение диффузии имеет множество аналитических решений. ^[1]

Если $D$ постоянно, то уравнение сводится к следующему линейному дифференциальному уравнению :

{\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),

которое идентично уравнению теплопроводности .

Историческое происхождение [ править ]

Уравнение диффузии частиц было первоначально выведено Адольфом Фиком в 1855 году. ^[2]

Вывод [ править ]

Уравнение диффузии можно тривиально вывести из уравнения неразрывности , которое утверждает, что изменение плотности в любой части системы происходит из-за притока и оттока материала в эту часть системы и из нее. По сути, никакой материал не создается и не уничтожается:

{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,

где j — поток диффундирующего материала. Уравнение диффузии можно легко получить из этого в сочетании с феноменологическим первым законом Фика , который гласит, что поток диффундирующего материала в любой части системы пропорционален локальному градиенту плотности:

\mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).

Если необходимо принять во внимание дрейф, уравнение Фоккера – Планка дает подходящее обобщение.

Дискретизация [ править ]

Уравнение диффузии непрерывно в пространстве и времени. Можно дискретизировать пространство, время или пространство и время, возникающие в процессе применения. Дискретизация времени сама по себе соответствует взятию временных интервалов непрерывной системы, и никаких новых явлений не возникает. Только при дискретизации пространства функция Грина становится дискретным ядром Гаусса , а не непрерывным ядром Гаусса . Дискретизируя время и пространство, можно получить случайное блуждание .

Дискретизация при обработке изображений [ править ]

Правило произведения используется для переписывания анизотропного тензорного уравнения диффузии в стандартных схемах дискретизации, поскольку прямая дискретизация уравнения диффузии только с пространственными центральными разностями первого порядка приводит к артефактам шахматной доски. Переписанное уравнение диффузии, используемое при фильтрации изображений:

{\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi ,\mathbf {r} ){\big (}\nabla \nabla ^{\text{T}}\phi (\mathbf {r} ,t){\big )}{\Big ]}

где «tr» обозначает след 2-го ранга тензора , а верхний индекс «T» обозначает транспонирование , в котором при фильтрации изображений D ( φ , r ) являются симметричными матрицами, построенными из собственных векторов изображения тензоров структуры . первого и второго порядка Пространственные производные затем могут быть аппроксимированы двумя центральными конечными разностями . Полученный алгоритм диффузии можно записать как свертку изображений с изменяющимся ядром (трафаретом) размером 3 × 3 в 2D и 3 × 3 × 3 в 3D.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Барна, ИФ; Матьяс, Л. (2022). «Продвинутые аналитические самоподобные решения регулярных и нерегулярных уравнений диффузии» . Математика . 10 (18): 3281. arXiv : 2204.04895 . дои : 10.3390/math10183281 .
^ Фик, Адольф (1855). «О диффузии» . Анналы физики и химии . 170 (1): 59–86. Стартовый код : 1855АнП...170...59Ф . дои : 10.1002/andp.18551700105 . ISSN 0003-3804 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Мерер, Х.; Столвейк, А (2009). «Герои и яркие моменты в истории распространения» . Основы диффузии . 11 :1–32.
Карслоу, Х.С. и Джагер, Дж.К. (1959). Теплопроводность в твердых телах Оксфорд: Clarendon Press
Джейкобс. М.Х. (1935) Диффузионные процессы Берлин/Гейдельберг: Springer
Кранк, Дж. (1956). Математика диффузии . Оксфорд: Кларендон Пресс
Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: В.А. Бенджамин, ISBN 0-8053-7002-1
Тамбынаягам, РК М (2011). Справочник по диффузии: прикладные решения для инженеров . МакГроу-Хилл
Гез, Р. (2001) Явления диффузии . Лонг-Айленд, Нью-Йорк, США: Dover Publication Inc.
Беннетт, Т.Д.: (2013) Транспорт путем адвекции и диффузии. Джон Уайли и сыновья
Фогель, Г. (2019) Adventure Diffusion Springer
Гиллеспи, DT; Сейтариду, Э. (2013) Простая броуновская диффузия . Издательство Оксфордского университета

Внешние ссылки [ править ]

[1] Барна, ИФ; Матьяс, Л. (2022). «Продвинутые аналитические самоподобные решения регулярных и нерегулярных уравнений диффузии» . Математика . 10 (18): 3281. arXiv : 2204.04895 . дои : 10.3390/math10183281 .

[Fick1855-2] Фик, Адольф (1855). «О диффузии» . Анналы физики и химии . 170 (1): 59–86. Стартовый код : 1855АнП...170...59Ф . дои : 10.1002/andp.18551700105 . ISSN 0003-3804 .

[1]

[2]