Уравнение диффузии

Уравнение диффузии представляет собой параболическое уравнение в частных производных . В физике он описывает макроскопическое поведение многих микрочастиц в броуновском движении , возникающее в результате случайных движений и столкновений частиц (см. законы диффузии Фика ). В математике это связано с марковскими процессами , такими как случайные блуждания , и применяется во многих других областях, таких как материаловедение , теория информации и биофизика . Уравнение диффузии представляет собой частный случай уравнения конвекции-диффузии, когда объемная скорость равна нулю. это эквивалентно уравнению теплопроводности В некоторых обстоятельствах .

Заявление

Уравнение обычно записывается как:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},$

где φ ( r , t ) — плотность диффундирующего материала в месте r и время t, а D ( φ , r ) — коллективный коэффициент диффузии для плотности φ в месте r ; и ∇ представляет векторный дифференциальный оператор del . Если коэффициент диффузии зависит от плотности, то уравнение нелинейное, в противном случае — линейное.

Уравнение выше применимо, когда коэффициент диффузии изотропен ; в случае анизотропной диффузии D представляет собой симметричную положительно определенную матрицу , и уравнение записывается (для трехмерной диффузии) как:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]$

Уравнение диффузии имеет множество аналитических решений.

Если D постоянно, то уравнение сводится к следующему линейному дифференциальному уравнению :

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),$

которое идентично уравнению теплопроводности .

Историческое происхождение

Уравнение диффузии частиц было первоначально выведено Адольфом Фиком в 1855 году.

Вывод

Уравнение диффузии можно тривиально вывести из уравнения неразрывности , которое утверждает, что изменение плотности в любой части системы происходит из-за притока и оттока материала в эту часть системы и из нее. По сути, никакой материал не создается и не уничтожается:

$${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,$$

где j — поток диффундирующего материала. Уравнение диффузии можно легко получить из этого в сочетании с феноменологическим первым законом Фика , который гласит, что поток диффундирующего материала в любой части системы пропорционален локальному градиенту плотности:

$$\mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).$$

Если необходимо принять во внимание дрейф, уравнение Фоккера – Планка дает подходящее обобщение.

Дискретизация

См. Также: Дискретное гауссово ядро.

Уравнение диффузии непрерывно в пространстве и времени. Можно дискретизировать пространство, время или пространство и время, возникающие в процессе применения. Дискретизация времени сама по себе соответствует взятию временных интервалов непрерывной системы, и никаких новых явлений не возникает.Только при дискретизации пространства функция Грина становится дискретным ядром Гаусса , а не непрерывным ядром Гаусса . Дискретизируя время и пространство, можно получить случайное блуждание .

Дискретизация при обработке изображений

Правило произведения используется для переписывания анизотропного тензорного уравнения диффузии в стандартных схемах дискретизации, поскольку прямая дискретизация уравнения диффузии только с пространственными центральными разностями первого порядка приводит к артефактам шахматной доски. Переписанное уравнение диффузии, используемое при фильтрации изображений:

$${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi ,\mathbf {r} ){\big (}\nabla \nabla ^{\text{T}}\phi (\mathbf {r} ,t){\big )}{\Big ]}$$

где «tr» обозначает след 2-го ранга тензора , а верхний индекс «T» обозначает транспонирование , в котором при фильтрации изображений D ( φ , r ) являются симметричными матрицами, построенными из собственных векторов изображения тензоров структуры . первого и второго порядка Пространственные производные затем могут быть аппроксимированы двумя центральными конечными разностями . Полученный алгоритм диффузии можно записать как свертку изображений с изменяющимся ядром (трафаретом) размером 3 × 3 в 2D и 3 × 3 × 3 в 3D.

См. также

• Уравнение непрерывности
• Уравнение теплопроводности
• Уравнение Фоккера – Планка
• Законы диффузии Фика
• Уравнение Максвелла – Стефана
• Уравнение переноса излучения и теория диффузии для транспорта фотонов в биологической ткани
• Оптимизация распространения
• Численное решение уравнения конвекции-диффузии

Дальнейшее чтение

• Мерер, Х.; Столвейк, А (2009). «Герои и яркие моменты в истории распространения» . Основы диффузии . 11 : 1–32.
• Карслоу, Х.С. и Джагер, Дж.К. (1959). Теплопроводность в твердых телах Оксфорд: Clarendon Press
• Джейкобс. М.Х. (1935) Диффузионные процессы Берлин/Гейдельберг: Springer
• Кранк, Дж. (1956). Математика диффузии . Оксфорд: Кларендон Пресс
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: В.А. Бенджамин, ISBN   0-8053-7002-1
• Тамбынаягам, РК М (2011). Справочник по диффузии: прикладные решения для инженеров . МакГроу-Хилл
• Гез, Р. (2001) Явления диффузии . Лонг-Айленд, Нью-Йорк, США: Dover Publication Inc.
• Беннетт, Т.Д.: (2013) Транспорт путем адвекции и диффузии. Джон Уайли и сыновья
• Фогель, Г. (2019) Adventure Diffusion Springer
• Гиллеспи, DT; Сейтариду, Э. (2013) Простая броуновская диффузия . Издательство Оксфордского университета

Внешние ссылки

• Калькулятор диффузии примесей и легирующих добавок в кремнии. Архивировано 2 мая 2009 г. в Wayback Machine.
• Учебное пособие по теории и решению уравнения диффузии.
• Классическая и наномасштабная диффузия (с рисунками и анимацией)