Уравнение переноса излучения и теория диффузии для транспорта фотонов в биологической ткани

Транспорт фотонов в биологической ткани можно эквивалентно смоделировать численно с помощью моделирования Монте-Карло или аналитически с помощью уравнения переноса излучения (RTE). Однако задачу RTE трудно решить без введения приближений. Общее приближение, суммированное здесь, - это диффузионное приближение. В целом решения уравнения диффузии для переноса фотонов более эффективны в вычислительном отношении, но менее точны, чем моделирование методом Монте-Карло. ^[1]

Определения

Рисунок 1: Схема потока энергии через элемент дифференциальной площади. $dA$ на позиции ${\vec {r}}$ внутри элемента дифференциального телесного угла $d\Omega$ .

RTE может математически моделировать передачу энергии при движении фотонов внутри ткани. Поток энергии излучения через элемент небольшой площади в поле излучения можно охарактеризовать яркостью $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ с единицами ${\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}\mathrm {sr} }}$ . Излучение определяется как поток энергии на единицу нормальной площади на единицу телесного угла в единицу времени. Здесь, ${\vec {r}}$ обозначает положение, ${\hat {s}}$ обозначает единичный вектор направления и $t$ обозначает время (рис. 1).
Несколько других важных физических величин основаны на определении излучения: ^[1]

Скорость или интенсивность флюенса $\Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \quad \left[{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}\mathrm {sr} }}\right]$
Флюенс $F({\vec {r}})=\int _{-\infty }^{+\infty }\Phi ({\vec {r}},t)dt\quad \left[{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {m} ^{2}}}\right]$
Плотность тока ( поток энергии ) ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \quad \left[{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}}}\right]$ . Это векторный аналог скорости флюенса, указывающий на преобладающее направление потока энергии.

Уравнение переноса излучения

RTE — это дифференциальное уравнение, описывающее яркость. $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ . Его можно получить путем сохранения энергии . Вкратце, RTE утверждает, что луч света теряет энергию за счет расхождения и затухания (включая как поглощение , так и рассеяние от луча) и получает энергию от источников света в среде и рассеяния, направленного в сторону луча. Когерентностью , поляризацией и нелинейностью пренебрегают. Оптические свойства, такие как показатель преломления. $n$ , коэффициент поглощения µ _a , коэффициент рассеяния µ _s и анизотропия рассеяния $g$ считаются неизменными во времени, но могут изменяться в пространстве. Рассеяние предполагается упругим. Таким образом, RTE ( уравнение Больцмана ) записывается как: ^[1]

{\frac {\partial L({\vec {r}},{\hat {s}},t)/c}{\partial t}}=-{\hat {s}}\cdot \nabla L({\vec {r}},{\hat {s}},t)-\mu _{t}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)+\mu _{s}\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}}',t)P({\hat {s}}',{\hat {s}})d\Omega '+S({\vec {r}},{\hat {s}},t)

где

$c$ скорость света в ткани, определяемая относительным показателем преломления
μ_мкт $=$ μ _a +μ _s — коэффициент экстинкции
$P({\hat {s}}',{\hat {s}})$ - фазовая функция, представляющая вероятность света с направлением распространения ${\hat {s}}'$ разбросанный под телесным углом $d\Omega$ вокруг ${\hat {s}}$ . В большинстве случаев фазовая функция зависит только от угла между рассеянными ${\hat {s}}'$ и инцидент ${\hat {s}}$ направления, т.е. $P({\hat {s}}',{\hat {s}})=P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})$ . Анизотропию рассеяния можно выразить как $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$
$S({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ описывает источник света.

Теория диффузии

Предположения

В RTE шесть различных независимых переменных определяют яркость в любой пространственной и временной точке ( $x$ , $y$ , и $z$ от ${\vec {r}}$ , полярный угол $\theta$ и азимутальный угол $\phi$ от ${\hat {s}}$ , и $t$ ). Сделав соответствующие предположения о поведении фотонов в рассеивающей среде, можно уменьшить число независимых переменных. Эти предположения приводят к теории диффузии (и уравнению диффузии) для переноса фотонов.Два предположения позволяют применить теорию диффузии к RTE:

По сравнению с событиями рассеяния, событий поглощения очень мало. Аналогично, после многочисленных событий рассеяния произойдет несколько событий поглощения, и излучение станет почти изотропным. Это предположение иногда называют направленным уширением.
В преимущественно рассеивающей среде время существенного изменения плотности тока намного больше, чем время прохождения одной средней длины свободного пробега. Таким образом, за один свободный пробег транспортных средств дробное изменение плотности тока значительно меньше единицы. Это свойство иногда называют временным уширением.

Оба этих предположения требуют среды с высоким альбедо (преимущественно рассеивающей). ^[1]

РТР в диффузионном приближении

Radiance можно расширить на базисном наборе сферических гармоник. $Y$ _{н, м} . В теории диффузии излучение считается в значительной степени изотропным, поэтому используются только изотропные и анизотропные члены первого порядка: $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)\approx \ \sum _{n=0}^{1}\sum _{m=-n}^{n}L_{n,m}({\vec {r}},t)Y_{n,m}({\hat {s}})$ где $L$ _{n, m} — коэффициенты расширения. Излучение выражается четырьмя членами: одним для n = 0 (изотропный член) и тремя членами для n = 1 (анизотропный член). Использование свойств сферических гармоник и определений скорости флюенса. $\Phi ({\vec {r}},t)$ и плотность тока ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ , изотропные и анизотропные члены соответственно могут быть выражены следующим образом:

$L_{0,0}({\vec {r}},t)Y_{0,0}({\hat {s}})={\frac {\Phi ({\vec {r}},t)}{4\pi }}$
$\sum _{m=-1}^{1}L_{1,m}({\vec {r}},t)Y_{1,m}({\hat {s}})={\frac {3}{4\pi }}{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\hat {s}}$

Следовательно, мы можем аппроксимировать яркость как ^[1]

L({\vec {r}},{\hat {s}},t)={\frac {1}{4\pi }}\Phi ({\vec {r}},t)+{\frac {3}{4\pi }}{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\hat {s}}

Подставив приведенное выше выражение для яркости, RTE можно переписать соответственно в скалярной и векторной формах следующим образом (Член рассеяния RTE интегрируется по полной $4\pi$ телесный угол. Для векторной формы RTE умножается на направление ${\hat {s}}$ перед оценкой.): ^[1]

{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{c\partial t}}+\mu _{a}\Phi ({\vec {r}},t)+\nabla \cdot {\vec {J}}({\vec {r}},t)=S({\vec {r}},t)

{\frac {\partial {\vec {J}}({\vec {r}},t)}{c\partial t}}+(\mu _{a}+\mu _{s}'){\vec {J}}({\vec {r}},t)+{\frac {1}{3}}\nabla \Phi ({\vec {r}},t)=0

Диффузионное приближение ограничено системами, в которых приведенные коэффициенты рассеяния намного превышают их коэффициенты поглощения и имеют минимальную толщину слоя порядка нескольких длин свободного пробега .

Уравнение диффузии

Используя второе предположение теории диффузии, заметим, что дробное изменение плотности тока ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ на одном транспортном средстве длина свободного пробега незначительна. Векторное представление теории диффузии RTE сводится к закону Фика. ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ , который определяет плотность тока через градиент скорости флюенса. Подстановка закона Фика в скалярное представление RTE дает уравнение диффузии: ^[1]

{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}+\mu _{a}\Phi ({\vec {r}},t)-\nabla \cdot [D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)]=S({\vec {r}},t)

$D={\frac {1}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ – коэффициент диффузии и µ' _s $=(1-g)$ µs _– приведенный коэффициент рассеяния.
Примечательно, что в уравнении диффузии нет явной зависимости от коэффициента рассеяния. Вместо этого в выражении для $D$ . Это приводит к важным отношениям; На диффузию не влияет, если анизотропия рассеивающей среды изменяется, а приведенный коэффициент рассеяния остается постоянным. ^[1]

Решения уравнения диффузии

Для различных конфигураций границ (например, слоев ткани) и источников света уравнение диффузии может быть решено путем применения соответствующих граничных условий и определения источника света. $S({\vec {r}},t)$ как того требует ситуация.

Точечные источники в бесконечных однородных средах

В этом разделе представлено решение уравнения диффузии для простого случая короткоимпульсного точечного источника в бесконечной однородной среде. Исходный член в уравнении диффузии становится $S({\vec {r}},t,{\vec {r}}',t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')\delta (t-t')$ , где ${\vec {r}}$ это положение, в котором измеряется скорость флюенса и ${\vec {r}}'$ это положение источника. Пульс достигает максимума во время $t'$ . Уравнение диффузии решается для скорости флюенса, чтобы получить функцию Грина для уравнения диффузии:

\Phi ({\vec {r}},t;{\vec {r}}',t)={\frac {c}{[4\pi Dc(t-t')]^{3/2}}}\exp \left[-{\frac {\mid {\vec {r}}-{\vec {r}}'\mid ^{2}}{4Dc(t-t')}}\right]\exp[-\mu _{a}c(t-t')]

Термин $\exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ представляет собой экспоненциальное затухание скорости флюенса из-за поглощения в соответствии с законом Бера . Остальные члены представляют собой уширение из-за рассеяния. Учитывая приведенное выше решение, произвольный источник можно охарактеризовать как суперпозицию точечных короткоимпульсных источников.Исключение изменения во времени из уравнения диффузии дает следующее для независимого от времени точечного источника: $S({\vec {r}})=\delta ({\vec {r}})$ :

\Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi Dr}}\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }r)

$\mu _{\mathrm {eff} }={\sqrt {\frac {\mu _{a}}{D}}}$ — эффективный коэффициент затухания , указывающий скорость пространственного затухания флюенса. ^[1]

Граничные условия

Скорость флюенса на границе

Учет граничных условий позволяет использовать уравнение диффузии для характеристики распространения света в средах ограниченных размеров (где необходимо учитывать границы раздела среды и окружающей среды). Чтобы начать рассматривать границу, можно рассмотреть, что происходит, когда фотоны в среде достигают границы (т.е. поверхности). Интегрированная по направлению яркость на границе, направленная в среду, равна интегрированной по направлению яркости на границе и направленной из среды, умноженной на коэффициент отражения. $R_{F}$ :

\int _{{\hat {s}}\cdot {\hat {n}}<0}L({\vec {r}},{\hat {s}},t){\hat {s}}\cdot {\hat {n}}d\Omega =\int _{{\hat {s}}\cdot {\hat {n}}>0}R_{F}({\hat {s}}\cdot {\hat {n}})L({\vec {r}},{\hat {s}},t){\hat {s}}\cdot {\hat {n}}d\Omega

где ${\hat {n}}$ перпендикулярен границе и направлен в сторону от границы. Диффузионное приближение дает выражение для яркости $L$ с точки зрения скорости флюенса $\Phi$ и плотность тока ${\vec {J}}$ . Оценка приведенных выше интегралов после замены дает: ^[3]

{\frac {\Phi ({\vec {r}},t)}{4}}+{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\frac {\hat {n}}{2}}=R_{\Phi }{\frac {\Phi ({\vec {r}},t)}{4}}-R_{J}{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\frac {\hat {n}}{2}}

$R_{\Phi }=\int _{0}^{\pi /2}2\sin \theta \cos \theta R_{F}(\cos \theta )d\theta$
$R_{J}=\int _{0}^{\pi /2}3\sin \theta (\cos \theta )^{2}R_{F}(\cos \theta )d\theta$

Подставляя закон Фика ( ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ ) дает на расстоянии от границы z=0 ^[3]

\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}

$A_{z}=2D{\frac {1+R_{\mathrm {eff} }}{1-R_{\mathrm {eff} }}}$
$R_{\mathrm {eff} }={\frac {R_{\Phi }+R_{J}}{2-R_{\Phi }+R_{J}}}$

Экстраполированная граница

Желательно определить границу нулевого флюенса. Однако скорость флюенса $\Phi (z=0,t)$ на физической границе, вообще говоря, не равен нулю. Экстраполированная граница, при $z$ _b , для которого скорость флюенса равна нулю, можно определить для установления источников изображения. первого порядка Используя приближение ряда Тейлора ,

\left.\Phi (z=-A_{z},t)\approx \Phi (z=0,t)-A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}\right|_{z=0}

который равен нулю, поскольку $\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}$ . Таким образом, по определению $z$ _б должно быть $-A$ _z, как определено выше. Примечательно, что когда показатель преломления одинаков по обе стороны границы, $R$ _F равно нулю, а экстраполированная граница находится на уровне $z$ _б $=-2D$ . ^[3]

Карандашный луч, обычно падающий на полубесконечную среду

Используя граничные условия, можно приближенно охарактеризовать диффузное отражение карандашного луча, нормально падающего на полубесконечную среду. Луч будет представлен как два точечных источника в бесконечной среде следующим образом (рис. 2): ^[1]^[4]

Установите анизотропию рассеяния $g$ ₂ $=0$ для рассеивающей среды и установите новый коэффициент рассеяния µ _s2 равным исходному µ _s1, умноженному на $(1-g$ ₁ $)$ , где $g$ ₁ — исходная анизотропия рассеяния.
Преобразуйте карандашный луч в изотропный точечный источник на глубине одной средней длины свободного пробега. $l$ 'под поверхностью и мощность = $a$ '.
Реализуйте экстраполированное граничное условие, добавив источник изображения противоположного знака над поверхностью в точке $l$ ' $+2z$ _б .

Два точечных источника можно охарактеризовать как точечные источники в бесконечной среде через

\Phi _{\infty }(r,\theta ,z;r',\theta ',z')={\frac {1}{4\pi D\rho }}\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }\rho )

$\rho$ расстояние от точки наблюдения $(r,\theta ,z)$ в исходное местоположение $(r',\theta ',z')$ в цилиндрических координатах. Линейная комбинация вкладов скорости флюенса от двух источников изображения равна

\Phi (r,\theta ,z;r',\theta ',z')=a'\Phi _{\infty }(r,\theta ,z;r',\theta ',z')-a'\Phi _{\infty }(r,\theta ,z;r',\theta ',-z'-2z_{b})

Это можно использовать для получения диффузного отражения. $R$ _д $(r)$ по закону Фика:

\left.R_{d}(r)=D{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right|_{z=0}={\frac {a'z'(1+\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{1})\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{1})}{4\pi \rho _{1}^{3}}}+{\frac {a'(z'+4D)(1+\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{2})\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{2})}{4\pi \rho _{2}^{3}}}

$\rho _{1}$ расстояние от точки наблюдения $(r,0,0)$ к источнику в $(0,0,z')$ и $\rho _{2}$ — расстояние от точки наблюдения до источника изображения при $(0,0,-z'-2z$ _б $)$ . ^[1]^[4]

Свойства уравнения диффузии

Масштабирование

Позволять $\Phi ({\vec {r}},t)$ – решение функции Грина уравнения диффузии для однородной среды с оптическими свойствами $\mu _{a}$ , $\mu _{s}'$ , то решение функции Грина для однородной среды, отличающееся от первой только оптическими свойствами ${\bar {\mu }}_{a}$ , ${\bar {\mu }}_{s}'$ , такой, что ${\bar {\mu }}_{a}/\mu _{a}={\bar {\mu }}_{s}'/\mu _{s}'$ , можно получить при следующем масштабировании: ^[5]

${\bar {\Phi }}({\bar {\vec {r}}},{\bar {t}})=\left({\frac {{\bar {\mu }}_{s}'}{\mu _{s}'}}\right)^{3}\Phi ({\vec {r}},t)$

где ${\bar {\vec {r}}}={\vec {r}}{\frac {\mu _{s}'}{{\bar {\mu }}_{s}'}}$ и ${\bar {t}}=t{\frac {\mu _{s}'}{{\bar {\mu }}_{s}'}}$ .

Такое свойство также можно распространить на яркость в более общих рамках RTE, заменив транспортные коэффициенты ${\bar {\mu }}_{s}'$ , $\mu _{s}'$ с коэффициентами экстинкции ${\bar {\mu }}_{t}$ , $\mu _{t}$ .

Полезность этого свойства заключается в том, чтобы взять результаты, полученные для заданной геометрии и набора оптических свойств, типичных для лабораторных условий, изменить их масштаб и распространить на контексты, в которых было бы сложно выполнять измерения из-за явного расширения или недоступность. ^[6]

Зависимость от поглощения

Позволять $\Phi ({\vec {r}},t,\mu _{a}=0)$ – решение функции Грина уравнения диффузии для непоглощающей однородной среды. Тогда решение функции Грина для среды, когда ее коэффициент поглощения равен $\mu _{a}$ можно получить как: ^[5]

$\Phi ({\vec {r}},t,\mu _{a})=\Phi ({\vec {r}},t,\mu _{a}=0)\exp(-\mu _{a}vt)$

Опять же, то же самое свойство справедливо и для излучения внутри RTE.

Решения теории диффузии в сравнении с моделированием Монте-Карло

Моделирование переноса фотонов по методу Монте-Карло, хотя и требует много времени, позволит точно предсказать поведение фотонов в рассеивающей среде. Допущения, используемые при описании поведения фотонов с помощью уравнения диффузии, порождают неточности. Обычно диффузионное приближение становится менее точным по мере увеличения коэффициента поглощения ц _а и уменьшения коэффициента рассеяния _ц . ^[7]^[8]Для пучка фотонов, падающего на среду ограниченной глубины, ошибка, обусловленная диффузионным приближением, наиболее заметна в пределах одной средней длины свободного пробега от места падения фотона (где яркость еще не изотропна) (рис. 3).
Среди этапов описания карандашного луча, падающего на полубесконечную среду с помощью уравнения диффузии, преобразование среды из анизотропной в изотропную (шаг 1) (рис. 4) и преобразование луча в источник (шаг 2) (рис. 5) генерирует больше ошибок, чем преобразование из одного источника в пару источников изображений (шаг 3) (рис. 6). Шаг 2 генерирует наиболее существенную ошибку. ^[1]^[4]

Рисунок 3: Зависимость диффузного отражения от радиуса падающего карандашного луча, определенная с помощью моделирования Монте-Карло (красный), и зависимость диффузного отражения от радиуса от двух изотропных точечных источников, определенная с помощью теории диффузии для RTE (синий). Средняя транспортная длина свободного пробега составляет 0,1 см.
Рисунок 4: Зависимость диффузного отражения от радиуса падающего карандашного луча для анизотропной (синий) и изотропной (красный) среды.
Рисунок 5: Зависимость диффузного отражения от радиуса источника фотонов для карандашного луча (синий) и изотропного точечного источника (красный).
Рисунок 6: Зависимость диффузного отражения от радиуса источника фотонов для изотропного точечного источника, охарактеризованная решением RTE (синий) и моделированием Монте-Карло (красный).

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Л.В. Ван и Х.И. Ву (2007). Биомедицинская оптика . Уайли. ISBN 978-0-471-74304-0 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с A.Yu. Potlov, S.G. Proskurin, S.V. Frolov. "SFM'13 - Saratov Fall Meeting, 2013" . {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б ^с RC Хаскелл; и др. (1994). «Граничные условия для уравнения диффузии при переносе излучения» . Журнал Оптического общества Америки А. 11 (10): 2727–2741. Бибкод : 1994JOSAA..11.2727H . дои : 10.1364/JOSAA.11.002727 . ПМИД 7931757 . S2CID 605186 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Л. В. Ван и С. Л. Жак (2000). «Источники ошибок при расчете оптического диффузного отражения от мутных сред с использованием теории диффузии». Компьютерные методы и программы в биомедицине . 61 (3): 163–170. CiteSeerX 10.1.1.477.877 . дои : 10.1016/S0169-2607(99)00041-3 . ПМИД 10710179 .
^ Jump up to: ^а ^б Мартелли, Фабрицио, изд. (2010). Распространение света через биологические ткани и другие диффузионные среды: теория, решения и программное обеспечение . ШПИ ПМ. Беллингем, Вашингтон: SPIE Press. стр. 41–43. ISBN 978-0-8194-7658-6 .
^ Мартелли, Фабрицио, изд. (2010). Распространение света через биологические ткани и другие диффузионные среды: теория, решения и программное обеспечение . ШПИ ПМ. Беллингем, Вашингтон: SPIE Press. п. 34. ISBN 978-0-8194-7658-6 .
^ Йоу, КМ; Лю, Фэн; Альфано, РР (28 мая 1990 г.). «Когда диффузионное приближение не может описать перенос фотонов в случайных средах?». Письма о физических отзывах . 64 (22). Американское физическое общество (APS): 2647–2650. Бибкод : 1990PhRvL..64.2647Y . дои : 10.1103/physrevlett.64.2647 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 10041774 .
^ Алерстам, Эрик; Андерссон-Энгельс, Стефан ; Свенссон, Томас (2008). «Белый Монте-Карло для миграции фотонов с разрешением во времени» . Журнал биомедицинской оптики . 13 (4). SPIE-Intl Soc Optical Eng: 041304. Bibcode : 2008JBO....13d1304A . дои : 10.1117/1.2950319 . ISSN 1083-3668 . ПМИД 19021312 .

Дальнейшее чтение

Л.В. Ван и Х.И. Ву (2007). Биомедицинская оптика . Уайли. ISBN 978-0-471-74304-0 .

С.Г. Проскурин (2011). «Квантовый электрон. 41 402». Квантовая электроника . 41 (5): 402–406. дои : 10.1070/QE2011v041n05ABEH014597 . S2CID 122946781 . (2011)

[Wang_BioMedBooK-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Л.В. Ван и Х.И. Ву (2007). Биомедицинская оптика . Уайли. ISBN 978-0-471-74304-0 .

[SFM13-2] Jump up to: ^а ^б ^с A.Yu. Potlov, S.G. Proskurin, S.V. Frolov. "SFM'13 - Saratov Fall Meeting, 2013" . {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[Haskell_1994-3] Jump up to: ^а ^б ^с RC Хаскелл; и др. (1994). «Граничные условия для уравнения диффузии при переносе излучения» . Журнал Оптического общества Америки А. 11 (10): 2727–2741. Бибкод : 1994JOSAA..11.2727H . дои : 10.1364/JOSAA.11.002727 . ПМИД 7931757 . S2CID 605186 .

[Wang_2000-4] Jump up to: ^а ^б ^с Л. В. Ван и С. Л. Жак (2000). «Источники ошибок при расчете оптического диффузного отражения от мутных сред с использованием теории диффузии». Компьютерные методы и программы в биомедицине . 61 (3): 163–170. CiteSeerX 10.1.1.477.877 . дои : 10.1016/S0169-2607(99)00041-3 . ПМИД 10710179 .

[:0-5] Jump up to: ^а ^б Мартелли, Фабрицио, изд. (2010). Распространение света через биологические ткани и другие диффузионные среды: теория, решения и программное обеспечение . ШПИ ПМ. Беллингем, Вашингтон: SPIE Press. стр. 41–43. ISBN 978-0-8194-7658-6 .

[6] Мартелли, Фабрицио, изд. (2010). Распространение света через биологические ткани и другие диффузионные среды: теория, решения и программное обеспечение . ШПИ ПМ. Беллингем, Вашингтон: SPIE Press. п. 34. ISBN 978-0-8194-7658-6 .

[Yoo1990_PhysRevLett-7] Йоу, КМ; Лю, Фэн; Альфано, РР (28 мая 1990 г.). «Когда диффузионное приближение не может описать перенос фотонов в случайных средах?». Письма о физических отзывах . 64 (22). Американское физическое общество (APS): 2647–2650. Бибкод : 1990PhRvL..64.2647Y . дои : 10.1103/physrevlett.64.2647 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 10041774 .

[Alerstam2008_JBO-8] Алерстам, Эрик; Андерссон-Энгельс, Стефан ; Свенссон, Томас (2008). «Белый Монте-Карло для миграции фотонов с разрешением во времени» . Журнал биомедицинской оптики . 13 (4). SPIE-Intl Soc Optical Eng: 041304. Bibcode : 2008JBO....13d1304A . дои : 10.1117/1.2950319 . ISSN 1083-3668 . ПМИД 19021312 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]