Численное решение уравнения конвекции-диффузии

Уравнение конвекции-диффузии описывает поток тепла, частиц или других физических величин в ситуациях, когда имеет место как диффузия , так и конвекция или адвекция . Информацию об уравнении, его выводе, а также его концептуальном значении и последствиях см. в основной статье « Уравнение конвекции-диффузии» . В этой статье описывается, как использовать компьютер для расчета приближенного численного решения дискретизированного уравнения в ситуации, зависящей от времени.

Чтобы быть конкретным, в этой статье основное внимание уделяется тепловому потоку , важному примеру применения уравнения конвекции-диффузии. Однако тот же математический анализ одинаково хорошо работает и в других ситуациях, например, в потоке частиц.

общая формулировка разрывных конечных элементов . Требуется ^{[ 1 ]} Рассмотрена нестационарная задача конвекции-диффузии, сначала известная температура T разлагается в ряд Тейлора по времени с учетом трех ее компонент. Далее с помощью уравнения конвективной диффузии получается уравнение дифференцирования этого уравнения.

Уравнение

Общий

Здесь рассматривается следующее уравнение конвективной диффузии ^{[ 2 ]}

$c\rho \left[{\frac {\partial T(x,t)}{\partial t}}+\epsilon u{\frac {\partial T(x,t)}{\partial x}}\right]=\lambda {\frac {\partial ^{2}T(x,t)}{\partial x^{2}}}+Q(x,t)$

В приведенном выше уравнении четыре члена представляют собой кратковременность , конвекцию , диффузию и источник соответственно, где

$T$ — температура в частном случае теплопередачи , в противном случае это интересующая переменная.
$пришло$ время
$с$ - удельная теплоемкость
$ты$ - скорость
$ε$ — пористость, которая представляет собой отношение объема жидкости к общему объему.
$ρ$ — массовая плотность
$λ$ — теплопроводность
$Q (x, t)$ — исходный термин, представляющий мощность внутренних источников.

Приведенное выше уравнение можно записать в виде

${\frac {\partial T}{\partial t}}=a{\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}-\epsilon u{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {Q}{c\rho }}$

где $а = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ λ / cρ ⁠$ — коэффициент диффузии.

Решение уравнения конвекции-диффузии методом конечных разностей

Решение нестационарного уравнения конвекции-диффузии можно аппроксимировать с помощью метода конечных разностей , известного как метод конечных разностей (FDM).

Явная схема

Рассмотрена явная схема FDM и сформулированы критерии устойчивости. В этой схеме температура полностью зависит от старой температуры (начальных условий) и $θ$ , весового параметра от 0 до 1. Замена $θ = 0$ дает явную дискретизацию нестационарного уравнения кондуктивной теплопередачи.

${\frac {T_{i}^{f}-T_{i}^{f-1}}{\Delta t}}=a{\frac {T_{i-1}^{f-1}-2T_{i}^{f-1}+T_{i+1}^{f-1}}{h^{2}}}-\epsilon u{\frac {T_{i+1}^{f-1}-T_{i-1}^{f-1}}{2h}}+{\frac {Q_{i}^{f-1}}{c\rho }}$

где

$Δ т = т ж - т е - 1$
$h$ — равномерный шаг сетки (шаг сетки)

$T_{i}^{f}=\left(1-{\frac {2a\Delta t}{h^{2}}}\right)T_{i}^{f-1}+\left({\frac {a\Delta t}{h^{2}}}+{\frac {\epsilon u\Delta t}{2h}}\right)T_{i-1}^{f-1}+\left({\frac {a\Delta t}{h^{2}}}-{\frac {\epsilon u\Delta t}{2h}}\right)T_{i+1}^{f-1}+{\frac {Q_{i}^{f-1}}{c\rho }}\Delta t$

Критерии стабильности

${\begin{aligned}h&<{\frac {2a}{\epsilon u}},&\Delta t&<{\frac {h^{2}}{2a}}\end{aligned}}$

Эти неравенства устанавливают строгий максимальный предел размера шага по времени и представляют собой серьезное ограничение для явной схемы. Этот метод не рекомендуется для решения общих переходных задач, поскольку максимально возможный шаг по времени должен быть уменьшен как квадрат $h$ .

Неявная схема

В неявной схеме температура зависит на новом временном уровне $t + Δ t$ . После использования неявной схемы было установлено, что все коэффициенты положительны. Это делает неявную схему безусловно устойчивой для любого размера шага по времени. Эта схема предпочтительна для общих расчетов переходных процессов из-за ее надежности и безусловной устойчивости. ^{[ 3 ]} Недостатком этого метода является то, что требуется больше процедур, а из-за большего $Δ t$ ошибка усечения также больше.

Схема Кранка – Николсона

В методе Кранка–Николсона температура одинаково зависит от $t$ и $t + Δt$ . Это метод второго порядка по времени, и этот метод обычно используется в диффузии задачах .

Критерии стабильности

$\Delta t<{\frac {h^{2}}{a}}$

Это ограничение шага по времени менее ограничено, чем явный метод . Метод Кранка-Николсона основан на центральном дифференцировании и, следовательно, имеет второй порядок точности по времени. ^{[ 4 ]}

Конечно-элементное решение задачи конвекции-диффузии

В отличие от уравнения проводимости (используется решение методом конечных элементов), численное решение уравнения конвекции-диффузии должно учитывать не только диффузию, но и конвекционную часть основного уравнения. Когда число Пекле (Pe) превышает критическое значение, в пространстве возникают паразитные колебания, и эта проблема не уникальна для конечных элементов, поскольку все другие методы дискретизации имеют те же трудности. В формулировке конечной разности пространственные колебания уменьшаются с помощью семейства схем дискретизации, таких как схема против ветра . ^{[ 5 ]} В этом методе базовая функция формы модифицируется для получения эффекта разворота. Этот метод представляет собой разрывное расширение Рунге–Кутты для уравнения конвекции-диффузии. Для уравнений, зависящих от времени, применяется другой подход. Конечно -разностная схема имеет эквивалент в методе конечных элементов ( метод Галёркина ). Другой аналогичный метод — характерный метод Галеркина (использующий неявный алгоритм). Для скалярных переменных два вышеуказанных метода идентичны.

См. также

Ссылки

^ «Разрывное конечное состояние в гидродинамике и теплопередаче », Бен К. Ли, 2006.
^ « Метод конечных разностей для переходной конвекционной диффузии», Ева Майчжак и Лукаш Турчан, 2012.
^ Х. Верстег и В. Малаласекра, «Введение в вычислительную гидродинамику » 2009, страницы 262–263.
^ Х.Верстег и В. Малаласекра, «Введение в вычислительную гидродинамику » 2009, стр. №. 262.
^ Рональд В. Льюис, Перумал Нитиарасу и Канканхолли Н. Ситхараму, «Основы метода конечных элементов для определения тепла и потока жидкости».

[1] «Разрывное конечное состояние в гидродинамике и теплопередаче », Бен К. Ли, 2006.

[2] « Метод конечных разностей для переходной конвекционной диффузии», Ева Майчжак и Лукаш Турчан, 2012.

[3] Х. Верстег и В. Малаласекра, «Введение в вычислительную гидродинамику » 2009, страницы 262–263.

[4] Х.Верстег и В. Малаласекра, «Введение в вычислительную гидродинамику » 2009, стр. №. 262.

[5] Рональд В. Льюис, Перумал Нитиарасу и Канканхолли Н. Ситхараму, «Основы метода конечных элементов для определения тепла и потока жидкости».

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]