Явные и неявные методы

Явные и неявные методы — это подходы, используемые в численном анализе для получения численных аппроксимаций решений нестационарных обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных , что требуется при компьютерном моделировании физических процессов . Явные методы вычисляют состояние системы в более поздний момент времени по состоянию системы в текущий момент, а неявные методы находят решение путем решения уравнения, включающего как текущее состояние системы, так и более позднее. Математически, если $Y(t)$ текущее состояние системы и $Y(t+\Delta t)$ это состояние в более позднее время ( $\Delta t$ — малый шаг по времени), то для явного метода

$Y(t+\Delta t)=F(Y(t))\,$

а для неявного метода решается уравнение

$G{\Big (}Y(t),Y(t+\Delta t){\Big )}=0\qquad (1)\,$

найти $Y(t+\Delta t).$

Вычисление

Неявные методы требуют дополнительных вычислений (решения приведенного выше уравнения), и их может быть гораздо сложнее реализовать. Неявные методы используются потому, что многие проблемы, возникающие на практике, являются жесткими , для решения которых использование явного метода требует непрактично малых временных шагов. $\Delta t$ чтобы сохранить ошибку в результате ограниченной (см. числовую стабильность ). Для таких задач для достижения заданной точности требуется гораздо меньше вычислительного времени, если использовать неявный метод с большими шагами по времени, даже с учетом того, что на каждом временном шаге необходимо решать уравнение вида (1). Тем не менее, следует ли использовать явный или неявный метод, зависит от решаемой проблемы.

Поскольку неявный метод невозможно реализовать для каждого вида дифференциального оператора, иногда целесообразно воспользоваться так называемым методом операторного расщепления, который означает, что дифференциальный оператор переписывается в виде суммы двух дополнительных операторов.

$Y(t+\Delta t)=F(Y(t+\Delta t))+G(Y(t)),\,$

при этом одно рассматривается явно, а другое неявно.Для обычных приложений неявный член выбирается линейным, тогда как явный член может быть нелинейным. Такое сочетание первого метода называется неявно-явным методом (сокращенно IMEX, ).

Иллюстрация с использованием прямого и обратного методов Эйлера

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

${\frac {dy}{dt}}=-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (2)$

с начальным состоянием $y(0)=1.$ Рассмотрим сетку $t_{k}=a{\frac {k}{n}}$ для 0 ≤ k ≤ n , то есть шаг по времени равен $\Delta t=a/n,$ и обозначим $y_{k}=y(t_{k})$ для каждого $k$. Дискретизируйте это уравнение, используя простейшие явные и неявные методы — прямой метод Эйлера и обратный метод Эйлера (см. численные обыкновенные дифференциальные уравнения ) и сравните полученные схемы.

Прямой метод Эйлера

Результат применения различных методов интегрирования к ОДУ: $y'=-y^{2},\;t\in [0,5],\;y_{0}=1$ с $\Delta t=5/10$.

Прямой метод Эйлера

$\left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k}^{2}$

урожайность

$y_{k+1}=y_{k}-\Delta ty_{k}^{2}\quad \quad \quad (3)\,$

для каждого $k=0,1,\dots ,n.$ Это явная формула для $y_{k+1}$.

Обратный метод Эйлера

Обратным методом Эйлера

${\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k+1}^{2}$

находится неявное уравнение

$y_{k+1}+\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}$

для $y_{k+1}$ (сравните с формулой (3) где $y_{k+1}$ было задано явно, а не как неизвестное в уравнении).

Это квадратное уравнение , имеющее один отрицательный и один положительный корень . Положительный корень выбирается потому, что в исходном уравнении начальное условие положительное, а затем $y$ на следующем временном шаге определяется выражением

$y_{k+1}={\frac {-1+{\sqrt {1+4\Delta ty_{k}}}}{2\Delta t}}.\quad \quad (4)$

В подавляющем большинстве случаев уравнение, которое необходимо решить при использовании неявной схемы, значительно сложнее квадратного уравнения, и аналитического решения не существует. Затем для нахождения численного решения используются алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона .

Метод Кранка-Николсона

По методу Кранка-Николсона

${\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{2}}y_{k+1}^{2}-{\frac {1}{2}}y_{k}^{2}$

находится неявное уравнение

$y_{k+1}+{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}-{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k}^{2}$

для $y_{k+1}$ (сравните с формулой (3) где $y_{k+1}$ было задано явно, а не как неизвестное в уравнении). Эту проблему можно решить численно, используя алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона , чтобы получить $y_{k+1}$.

Крэнка-Николсона можно рассматривать как форму более общих схем IMEX ( неявно - явно ).

Метод Эйлера вперед-назад

Результат применения как прямого метода Эйлера, так и прямого-обратного метода Эйлера для $a=5$ и $n=30$.

Чтобы применить схему IMEX, рассмотрим несколько другое дифференциальное уравнение:

${\frac {dy}{dt}}=y-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (5)$

Отсюда следует, что

$\left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx y_{k+1}-y_{k}^{2},\ t\in [0,a]$

и поэтому

$y_{k+1}={\frac {y_{k}(1-y_{k}\Delta t)}{1-\Delta t}}\quad \quad (6)$

для каждого $k=0,1,\dots ,n.$

См. также

• Условие Куранта – Фридрихса – Леви.
• ПРОСТОЙ алгоритм , полунеявный метод для уравнений, связанных с давлением.