Обратный метод Эйлера

В численном анализе и научных вычислениях обратный метод Эйлера (или неявный метод Эйлера ) является одним из основных численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Он похож на (стандартный) метод Эйлера , но отличается тем, что является неявным методом . Обратный метод Эйлера имеет ошибку порядка единицы по времени.

Описание

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)$

с начальной стоимостью $y(t_{0})=y_{0}.$ Здесь функция $f$ и исходные данные $t_{0}$ и $y_{0}$ известны; функция $y$ зависит от реальной переменной $t$ и неизвестно. Численный метод дает последовательность $y_{0},y_{1},y_{2},\ldots$ такой, что $y_{k}$ приближает $y(t_{0}+kh)$, где $h$ называется размером шага.

Обратный метод Эйлера вычисляет приближения, используя

$y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}).$

Он отличается от (прямого) метода Эйлера тем, что прямой метод использует $f(t_{k},y_{k})$ вместо $f(t_{k+1},y_{k+1})$.

Обратный метод Эйлера — неявный метод: новое приближение $y_{k+1}$ появляется в обеих частях уравнения, и, следовательно, метод должен решить алгебраическое уравнение относительно неизвестного. $y_{k+1}$. Для нежестких задач это можно сделать с помощью итерации с фиксированной точкой :

$y_{k+1}^{[0]}=y_{k},\quad y_{k+1}^{[i+1]}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[i]}).$

Если эта последовательность сходится (в пределах заданного допуска), то метод принимает свой предел в качестве нового приближения. $y_{k+1}$.

В качестве альтернативы можно использовать (некоторую модификацию) метод Ньютона – Рафсона для решения алгебраического уравнения.

Вывод

Интегрирование дифференциального уравнения ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)$ от $t_{n}$ к $t_{n+1}=t_{n}+h$ урожайность

$y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.$

Теперь аппроксимируем интеграл справа методом правого прямоугольника (одним прямоугольником):

$y(t_{n+1})-y(t_{n})\approx hf(t_{n+1},y(t_{n+1})).$

Наконец, используйте это $y_{n}$ должно приближаться $y(t_{n})$ отсюда следует формула обратного метода Эйлера.

Те же рассуждения приводят к (стандартному) методу Эйлера, если вместо правила правого прямоугольника используется правило левого прямоугольника.

Анализ

Розовая область вне диска показывает область устойчивости обратного метода Эйлера.

Локальная ошибка усечения (определяемая как ошибка, допущенная за один шаг) обратного метода Эйлера равна $O(h^{2})$, используя большое обозначение O . Ошибка в определенное время $t$ является $O(h^{2})$. Это означает, что этот метод имеет порядок один . В общем, метод с $O(h^{k+1})$ Говорят, что LTE (локальная ошибка усечения) имеет k- й порядок.

Областью абсолютной устойчивости обратного метода Эйлера является дополнение в комплексной плоскости диска радиусом 1 с центром в точке 1, изображенного на рисунке. Сюда входит вся левая половина комплексной плоскости, что делает ее пригодной для решения жестких уравнений . На самом деле обратный метод Эйлера даже L-стабилен .

Область дискретной устойчивой системы по обратному методу Эйлера представляет собой круг радиуса 0,5, расположенный в точке (0,5, 0) на плоскости z.

Расширения и модификации

Обратный метод Эйлера является вариантом (прямого) метода Эйлера . Другими вариантами являются полунеявный метод Эйлера и экспоненциальный метод Эйлера .

Обратный метод Эйлера можно рассматривать как метод Рунге – Кутты одноэтапный , описываемый таблицей Бутчера:

${\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}$

Этот метод также можно рассматривать как линейный многошаговый метод с одним шагом. Это первый метод семейства методов Адамса–Моултона , а также семейства формул обратного дифференцирования .

См. также

• Метод Кранка – Николсона

Ссылки

• Батчер, Джон К. (2003), Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-96758-3 .