Обратный метод Эйлера
В численном анализе и научных вычислениях обратный метод Эйлера (или неявный метод Эйлера ) является одним из основных численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Он похож на (стандартный) метод Эйлера , но отличается тем, что является неявным методом . Обратный метод Эйлера имеет ошибку порядка единицы по времени.
Описание
[ редактировать ]Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
с начальной стоимостью Здесь функция и исходные данные и известны; функция зависит от реальной переменной и неизвестно. Численный метод дает последовательность такой, что приближает , где называется размером шага.
Обратный метод Эйлера вычисляет приближения, используя
Он отличается от (прямого) метода Эйлера тем, что прямой метод использует вместо .
Обратный метод Эйлера — неявный метод: новое приближение появляется в обеих частях уравнения, и, следовательно, метод должен решить алгебраическое уравнение относительно неизвестного. . Для нежестких задач это можно сделать с помощью итерации с фиксированной точкой :
Если эта последовательность сходится (в пределах заданного допуска), то метод принимает свой предел в качестве нового приближения. . [2]
В качестве альтернативы можно использовать (некоторую модификацию) метод Ньютона – Рафсона для решения алгебраического уравнения.
Вывод
[ редактировать ]Интегрирование дифференциального уравнения от к урожайность
Теперь аппроксимируем интеграл справа методом правого прямоугольника (одним прямоугольником):
Наконец, используйте это должно приближаться отсюда следует формула обратного метода Эйлера. [3]
Те же рассуждения приводят к (стандартному) методу Эйлера, если вместо правила правого прямоугольника используется правило левого прямоугольника.
Анализ
[ редактировать ]
Локальная ошибка усечения (определяемая как ошибка, допущенная за один шаг) обратного метода Эйлера равна , используя большое обозначение O . Ошибка в определенное время является . Это означает, что этот метод имеет порядок один . В общем, метод с Говорят, что LTE (локальная ошибка усечения) имеет k- й порядок.
Областью абсолютной устойчивости обратного метода Эйлера является дополнение в комплексной плоскости диска радиусом 1 с центром в точке 1, изображенного на рисунке. [4] Сюда входит вся левая половина комплексной плоскости, что делает ее пригодной для решения жестких уравнений . [5] На самом деле обратный метод Эйлера даже L-стабилен .
Область дискретной устойчивой системы по обратному методу Эйлера представляет собой круг радиуса 0,5, расположенный в точке (0,5, 0) на плоскости z. [6]
Расширения и модификации
[ редактировать ]Обратный метод Эйлера является вариантом (прямого) метода Эйлера . Другими вариантами являются полунеявный метод Эйлера и экспоненциальный метод Эйлера .
Обратный метод Эйлера можно рассматривать как метод Рунге – Кутты одноэтапный , описываемый таблицей Бутчера:
Этот метод также можно рассматривать как линейный многошаговый метод с одним шагом. Это первый метод семейства методов Адамса–Моултона , а также семейства формул обратного дифференцирования .
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Мясник 2003 , с. 57
- ^ Мясник 2003 , с. 57
- ^ Мясник 2003 , с. 57
- ^ Мясник 2003 , с. 70
- ^ Мясник 2003 , с. 71
- ^ Вай-Кай Чен, редактор, Аналоговые и СБИС-схемы. Справочник по схемам и фильтрам, 3-е изд. Чикаго, США: CRC Press, 2009.
Ссылки
[ редактировать ]- Батчер, Джон К. (2003), Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-96758-3 .