Jump to content

Обратный метод Эйлера

В численном анализе и научных вычислениях обратный метод Эйлера (или неявный метод Эйлера ) является одним из основных численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Он похож на (стандартный) метод Эйлера , но отличается тем, что является неявным методом . Обратный метод Эйлера имеет ошибку порядка единицы по времени.

Описание

[ редактировать ]

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

с начальной стоимостью Здесь функция и исходные данные и известны; функция зависит от реальной переменной и неизвестно. Численный метод дает последовательность такой, что приближает , где называется размером шага.

Обратный метод Эйлера вычисляет приближения, используя

[1]

Он отличается от (прямого) метода Эйлера тем, что прямой метод использует вместо .

Обратный метод Эйлера — неявный метод: новое приближение появляется в обеих частях уравнения, и, следовательно, метод должен решить алгебраическое уравнение относительно неизвестного. . Для нежестких задач это можно сделать с помощью итерации с фиксированной точкой :

Если эта последовательность сходится (в пределах заданного допуска), то метод принимает свой предел в качестве нового приближения. . [2]

В качестве альтернативы можно использовать (некоторую модификацию) метод Ньютона – Рафсона для решения алгебраического уравнения.

Интегрирование дифференциального уравнения от к урожайность

Теперь аппроксимируем интеграл справа методом правого прямоугольника (одним прямоугольником):

Наконец, используйте это должно приближаться отсюда следует формула обратного метода Эйлера. [3]

Те же рассуждения приводят к (стандартному) методу Эйлера, если вместо правила правого прямоугольника используется правило левого прямоугольника.

Розовая область вне диска показывает область устойчивости обратного метода Эйлера.

Локальная ошибка усечения (определяемая как ошибка, допущенная за один шаг) обратного метода Эйлера равна , используя большое обозначение O . Ошибка в определенное время является . Это означает, что этот метод имеет порядок один . В общем, метод с Говорят, что LTE (локальная ошибка усечения) имеет k- й порядок.

Областью абсолютной устойчивости обратного метода Эйлера является дополнение в комплексной плоскости диска радиусом 1 с центром в точке 1, изображенного на рисунке. [4] Сюда входит вся левая половина комплексной плоскости, что делает ее пригодной для решения жестких уравнений . [5] На самом деле обратный метод Эйлера даже L-стабилен .

Область дискретной устойчивой системы по обратному методу Эйлера представляет собой круг радиуса 0,5, расположенный в точке (0,5, 0) на плоскости z. [6]

Расширения и модификации

[ редактировать ]

Обратный метод Эйлера является вариантом (прямого) метода Эйлера . Другими вариантами являются полунеявный метод Эйлера и экспоненциальный метод Эйлера .

Обратный метод Эйлера можно рассматривать как метод Рунге – Кутты одноэтапный , описываемый таблицей Бутчера:

Этот метод также можно рассматривать как линейный многошаговый метод с одним шагом. Это первый метод семейства методов Адамса–Моултона , а также семейства формул обратного дифференцирования .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Мясник 2003 , с. 57
  2. ^ Мясник 2003 , с. 57
  3. ^ Мясник 2003 , с. 57
  4. ^ Мясник 2003 , с. 70
  5. ^ Мясник 2003 , с. 71
  6. ^ Вай-Кай Чен, редактор, Аналоговые и СБИС-схемы. Справочник по схемам и фильтрам, 3-е изд. Чикаго, США: CRC Press, 2009.
  • Батчер, Джон К. (2003), Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-96758-3 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 870426d9060bdc0e8771c7bf648f9b00__1718614200
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/87/00/870426d9060bdc0e8771c7bf648f9b00.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Backward Euler method - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)