Метод средней точки

Для правила средней точки в числовой квадратуре см. метод прямоугольника .

Иллюстрация метода средней точки, предполагающая, что $y_{n}$ равно точному значению $y(t_{n}).$ Метод средней точки вычисляет $y_{n+1}$ так, чтобы красная хорда была примерно параллельна касательной в средней точке (зеленая линия).

В численном анализе , разделе прикладной математики , метод средней точки — это одношаговый метод численного решения дифференциального уравнения ,

$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.$

Явный метод средней точки задается формулой

$y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),$ ( 1е )

неявный метод средней точки

$y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}(y_{n}+y_{n+1})\right),$ ( 1и )

для $n=0,1,2,\dots$ Здесь, $h$ размер шага — небольшое положительное число, $t_{n}=t_{0}+nh,$ и $y_{n}$ - вычисленное приблизительное значение $y(t_{n}).$ Явный метод средней точки иногда также называют модифицированным методом Эйлера . неявный метод является наиболее простым методом коллокации и, применительно к гамильтоновой динамике, симплектическим интегратором . Обратите внимание, что модифицированный метод Эйлера может ссылаться на метод Хойна , для большей ясности см. Список методов Рунге-Кутты .

Название метода происходит от того, что в приведенной выше формуле функция $f$ придание наклона решения оценивается как $t=t_{n}+h/2={\tfrac {t_{n}+t_{n+1}}{2}},$ середина между $t_{n}$ при котором значение $y(t)$ известно и $t_{n+1}$ при котором значение $y(t)$ необходимо найти.

Геометрическая интерпретация может дать лучшее интуитивное понимание метода (см. рисунок справа). В базовом методе Эйлера тангенс кривой в точке $(t_{n},y_{n})$ вычисляется с использованием $f(t_{n},y_{n})$. Следующее значение $y_{n+1}$ находится там, где касательная пересекает вертикальную линию $t=t_{n+1}$. Однако, если вторая производная положительна только между $t_{n}$ и $t_{n+1}$или только отрицательное (как на диаграмме), кривая будет все больше отклоняться от касательной, что приведет к большим ошибкам, поскольку $h$ увеличивается. На диаграмме показано, что касательная в средней точке (верхний сегмент зеленой линии), скорее всего, даст более точное приближение кривой в этом интервале. Однако этот тангенс средней точки невозможно точно рассчитать, поскольку мы не знаем кривую (это то, что необходимо рассчитать). Вместо этого этот тангенс оценивается с использованием исходного метода Эйлера для оценки значения $y(t)$ в средней точке, затем вычисляем наклон касательной с помощью $f()$. Наконец, улучшенный тангенс используется для расчета значения $y_{n+1}$ от $y_{n}$. Этот последний шаг обозначен на диаграмме красной хордой. Обратите внимание, что красная хорда не совсем параллельна зеленому сегменту (истинной касательной) из-за ошибки в оценке значения $y(t)$ в середине.

Локальная ошибка на каждом шаге метода средней точки имеет порядок $O\left(h^{3}\right)$, что дает глобальную ошибку порядка $O\left(h^{2}\right)$. Таким образом, хотя метод средней точки требует больше вычислительных затрат, чем метод Эйлера, ошибка метода средней точки обычно уменьшается быстрее, поскольку $h\to 0$.

Эти методы являются примерами класса методов более высокого порядка, известных как методы Рунге-Кутты .

Вывод метода средней точки

Иллюстрация численного интегрирования уравнения $y'=y,y(0)=1.$ Синий: метод Эйлера , зеленый: метод средней точки, красный: точное решение, $y=e^{t}.$ Размер шага $h=1.0.$

Та же иллюстрация для $h=0.25.$ Видно, что метод средней точки сходится быстрее, чем метод Эйлера.

Метод средней точки является усовершенствованием метода Эйлера.

$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\,$

и выводится аналогичным образом. Ключом к выводу метода Эйлера является приближенное равенство

$y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t))$ ( 2 )

который получается из формулы наклона

$y'(t)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}$ ( 3 )

и имея в виду, что $y'=f(t,y).$

Для методов средней точки заменяют (3) более точным

$y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}$

когда вместо (2) мы находим

$y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\right).$ ( 4 )

Это уравнение нельзя использовать для нахождения $y(t+h)$ как никто не знает $y$ в $t+h/2$. Тогда решение состоит в том, чтобы использовать разложение в ряд Тейлора точно так же, как если бы вы использовали метод Эйлера для решения уравнения. $y(t+h/2)$:

$y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t)),$

что при подключении (4) дает нам

$y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))\right)$

и явный метод средней точки (1e).

Неявный метод (1i) получается аппроксимацией значения на полушаге $t+h/2$ к середине отрезка из $y(t)$ к $y(t+h)$

$y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}$

и таким образом

${\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\approx y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx k=f\left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)$

Вставка приближения $y_{n}+h\,k$ для $y(t_{n}+h)$приводит к неявному методу Рунге-Кутты

${\begin{aligned}k&=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k\right)\\y_{n+1}&=y_{n}+h\,k\end{aligned}}$

который содержит неявный метод Эйлера с размером шага $h/2$ как его первая часть.

Из-за временной симметрии неявного метода всес точки зрения четной степени в $h$ отмены локальной ошибки, так что локальная ошибка автоматически становится приоритетной ${\mathcal {O}}(h^{3})$. Заменив неявный метод Эйлера явным при определении $k$ снова приводит к явному методу средней точки.

См. также

• Метод прямоугольника
• метод Хойна
• Интеграция Leapfrog и интеграция Verlet

Ссылки

• Гриффитс, Д.В.; Смит, ИМ (1991). Численные методы для инженеров: программный подход . Бока-Ратон: CRC Press. п. 218. ИСБН  0-8493-8610-1 .
• Сюли, Эндре; Майерс, Дэвид (2003), Введение в численный анализ , издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-00794-1 .
• Берден, Ричард; Фейрес, Джон (2010). Численный анализ . Ричард Стрэттон. п. 286. ИСБН  978-0-538-73351-9 .