Метод Ньюмарка -бета — это метод численного интегрирования , используемый для решения некоторых дифференциальных уравнений . Он широко используется для численной оценки динамического отклика конструкций и твердых тел, например, в анализе методом конечных элементов для моделирования динамических систем. Метод назван в честь Натана М. Ньюмарка , [1] бывший профессор гражданского строительства в Университете Иллинойса в Урбана-Шампейн , который разработал его в 1959 году для использования в структурной динамике . Полудискретизированное структурное уравнение представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

здесь
это массовая матрица,
– матрица демпфирования,
и
– внутренняя сила на единицу перемещения и внешние силы соответственно.
Используя расширенную теорему о среднем значении , Ньюмарк-
Метод утверждает, что первая производная по времени (скорость в уравнении движения ) может быть решена как:

где

поэтому

Однако, поскольку ускорение также меняется со временем, расширенную теорему о среднем значении необходимо также распространить на вторую производную по времени, чтобы получить правильное смещение. Таким образом,

где снова

Дискретизированное структурное уравнение принимает вид

Явная центральная разностная схема получается заданием
и 
Среднее постоянное ускорение (правило средней точки) получается путем установки
и 
Анализ стабильности
Схема интегрирования по времени называется устойчивой, если существует шаг интегрирования по времени.
так что для любого
, конечная вариация вектора состояния
во время
вызывает только невозрастающее изменение вектора состояния
рассчитано в последующее время
. Предположим, что схема интегрирования по времени

Линейная устойчивость эквивалентна
, здесь
- спектральный радиус матрицы обновления
.
Для линейного структурного уравнения

здесь
– матрица жесткости. Позволять
, матрица обновления
, и

Для незатухающего случая (
), матрицу обновления можно отделить, введя собственные моды
структурной системы, которые решаются обобщенной проблемой собственных значений

Для каждой собственной моды матрица обновления становится

Характеристическое уравнение матрицы обновления:

Что касается стабильности, то у нас есть
Явная центральная разностная схема (
и
) устойчив, когда
.
Среднее постоянное ускорение (Правило средней точки) (
и
) безусловно устойчив.