Метод Ньюмарка-бета

Метод Ньюмарка -бета — это метод численного интегрирования , используемый для решения некоторых дифференциальных уравнений . Он широко используется для численной оценки динамического отклика конструкций и твердых тел, например, в анализе методом конечных элементов для моделирования динамических систем. Метод назван в честь Натана М. Ньюмарка , бывший профессор гражданского строительства в Университете Иллинойса в Урбана-Шампейн , который разработал его в 1959 году для использования в структурной динамике . Полудискретизированное структурное уравнение представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

$M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+f^{\textrm {int}}(u)=f^{\textrm {ext}}\,$

здесь $M$ это массовая матрица, $C$ – матрица демпфирования, $f^{\textrm {int}}$ и $f^{\textrm {ext}}$ – внутренняя сила на единицу перемещения и внешние силы соответственно.

Используя расширенную теорему о среднем значении , Ньюмарк- $\beta$ Метод утверждает, что первая производная по времени (скорость в уравнении движения ) может быть решена как:

${\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+\Delta t~{\ddot {u}}_{\gamma }\,$

где

${\ddot {u}}_{\gamma }=(1-\gamma ){\ddot {u}}_{n}+\gamma {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq \gamma \leq 1$

поэтому

${\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}.$

Однако, поскольку ускорение также меняется со временем, расширенную теорему о среднем значении необходимо также распространить на вторую производную по времени, чтобы получить правильное смещение. Таким образом,

$u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\Delta t^{2}~{\ddot {u}}_{\beta }$

где снова

${\ddot {u}}_{\beta }=(1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq 2\beta \leq 1$

Дискретизированное структурное уравнение принимает вид

${\begin{aligned}&{\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}\\&u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\left((1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}\right)\\&M{\ddot {u}}_{n+1}+C{\dot {u}}_{n+1}+f^{\textrm {int}}(u_{n+1})=f_{n+1}^{\textrm {ext}}\,\end{aligned}}$

Явная центральная разностная схема получается заданием $\gamma =0.5$ и $\beta =0$

Среднее постоянное ускорение (правило средней точки) получается путем установки $\gamma =0.5$ и $\beta =0.25$

Анализ

Схема интегрирования по времени называется устойчивой, если существует шаг интегрирования по времени. $\Delta t_{0}>0$ так что для любого $\Delta t\in (0,\Delta t_{0}]$, конечная вариация вектора состояния $q_{n}$ во время $t_{n}$ вызывает только невозрастающее изменение вектора состояния $q_{n+1}$ рассчитано в последующее время $t_{n+1}$. Предположим, что схема интегрирования по времени

$q_{n+1}=A(\Delta t)q_{n}+g_{n+1}(\Delta t)$

Линейная устойчивость эквивалентна $\rho (A(\Delta t))\leq 1$, здесь $\rho (A(\Delta t))$ - спектральный радиус матрицы обновления $A(\Delta t)$.

Для линейного структурного уравнения

$M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+Ku=f^{\textrm {ext}}\,$

здесь $K$ – матрица жесткости. Позволять $q_{n}=[{\dot {u}}_{n},u_{n}]$, матрица обновления $A=H_{1}^{-1}H_{0}$, и

${\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}M+\gamma \Delta tC&\gamma \Delta tK\\\beta \Delta t^{2}C&M+\beta \Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}M-(1-\gamma )\Delta tC&-(1-\gamma )\Delta tK\\-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}C+\Delta tM&M-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Для незатухающего случая ( $C=0$), матрицу обновления можно отделить, введя собственные моды $u=e^{i\omega _{i}t}x_{i}$ структурной системы, которые решаются обобщенной проблемой собственных значений

$\omega ^{2}Mx=Kx\,$

Для каждой собственной моды матрица обновления становится

${\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}1&\gamma \Delta t\omega _{i}^{2}\\0&1+\beta \Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}1&-(1-\gamma )\Delta t\omega _{i}^{2}\\\Delta t&1-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Характеристическое уравнение матрицы обновления:

$\lambda ^{2}-\left(2-(\gamma +{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}\right)\lambda +1-(\gamma -{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}=0\,\qquad \eta _{i}^{2}={\frac {\omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}{1+\beta \omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}}$

Что касается стабильности, то у нас есть

Явная центральная разностная схема ( $\gamma =0.5$ и $\beta =0$) устойчив, когда $\omega \Delta t\leq 2$.

Среднее постоянное ускорение (Правило средней точки) ( $\gamma =0.5$ и $\beta =0.25$) безусловно устойчив.