Общие линейные методы

Не путать с общими линейными моделями или обобщенными линейными моделями .

Общие линейные методы ( ОМЛМ ) — это большой класс численных методов, используемых для получения численных решений обыкновенных дифференциальных уравнений . К ним относятся многоэтапные методы Рунге-Кутты , использующие промежуточные точки коллокации , а также линейные многошаговые методы , сохраняющие конечную временную историю решения. Джон К. Батчер первоначально придумал этот термин для обозначения этих методов и написал серию обзорных статей: глава книги, и учебник по теме. Его соратник Здзислав Яцкевич также имеет обширный учебник. по теме. Первоначальный класс методов был первоначально предложен Батчером (1965), Гиром (1965) и Грэггом и Стеттером (1964).

Некоторые определения

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка аппроксимируют решения начальных задач вида

$y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.$

Результатом являются аппроксимации значения $y(t)$ в дискретные моменты времени $t_{i}$:

$y_{i}\approx y(t_{i})\quad {\text{where}}\quad t_{i}=t_{0}+ih,$

где h — шаг по времени (иногда называемый $\Delta t$).

Описание метода

В нашем описании мы следуем Батчеру (2006), стр. 189–190, хотя отмечаем, что этот метод можно найти и в других местах.

Общие линейные методы используют два целых числа: $r$ – количество моментов времени в истории, и $s$ – количество точек коллокации. В случае $r=1$, эти методы сводятся к классическим методам Рунге–Кутты , а в случае $s=1$Эти методы сводятся к линейным многошаговым методам .

Сценические ценности $Y_{i}$ и производные ступени $F_{i},\ i=1,2,\dots s$ вычисляются на основе приближений $y_{i}^{[n-1]},\ i=1,\dots ,r$ на временном шаге $n$:

$y^{[n-1]}=\left[{\begin{matrix}y_{1}^{[n-1]}\\y_{2}^{[n-1]}\\\vdots \\y_{r}^{[n-1]}\\\end{matrix}}\right],\quad y^{[n]}=\left[{\begin{matrix}y_{1}^{[n]}\\y_{2}^{[n]}\\\vdots \\y_{r}^{[n]}\\\end{matrix}}\right],\quad Y=\left[{\begin{matrix}Y_{1}\\Y_{2}\\\vdots \\Y_{s}\end{matrix}}\right],\quad F=\left[{\begin{matrix}F_{1}\\F_{2}\\\vdots \\F_{s}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}f(Y_{1})\\f(Y_{2})\\\vdots \\f(Y_{s})\end{matrix}}\right].$

Значения этапов определяются двумя матрицами $A=[a_{ij}]$ и $U=[u_{ij}]$:

$Y_{i}=\sum _{j=1}^{s}a_{ij}hF_{j}+\sum _{j=1}^{r}u_{ij}y_{j}^{[n-1]},\qquad i=1,2,\dots ,s,$

и обновление времени $t^{n}$ определяется двумя матрицами $B=[b_{ij}]$ и $V=[v_{ij}]$:

$y_{i}^{[n]}=\sum _{j=1}^{s}b_{ij}hF_{j}+\sum _{j=1}^{r}v_{ij}y_{j}^{[n-1]},\qquad i=1,2,\dots ,r.$

Учитывая четыре матрицы $A,U,B$ и $V$аналог таблицы Мясника можно компактно записать как

$\left[{\begin{matrix}Y\\y^{[n]}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A\otimes I&U\otimes I\\B\otimes I&V\otimes I\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}hF\\y^{[n-1]}\end{matrix}}\right],$

где $\otimes$ обозначает тензорное произведение .

Примеры

Мы представляем пример, описанный в (Butcher, 1996). Этот метод состоит из одного «прогнозируемого» шага и «исправленного» шага, который использует дополнительную информацию о временной истории, а также одно значение промежуточного этапа.

Значение промежуточного этапа определяется как нечто, похожее на результат линейного многошагового метода :

$y_{n-1/2}^{*}=y_{n-2}+h\left({\frac {9}{8}}f(y_{n-1})+{\frac {3}{8}}f(y_{n-2})\right).$

Первоначальный «предсказатель» $y_{n}^{*}$ использует значение этапа $y_{n-1/2}^{*}$ вместе с двумя частями истории времени:

$y_{n}^{*}={\frac {28}{5}}y_{n-1}-{\frac {23}{5}}y_{n-2}+h\left({\frac {32}{15}}f(y_{n-1/2}^{*})-4f(y_{n-1})-{\frac {26}{15}}f(y_{n-2})\right),$

и окончательное обновление предоставляется

$y_{n}={\frac {32}{31}}y_{n-1}-{\frac {1}{31}}y_{n-2}+h\left({\frac {5}{31}}f(y_{n}^{*})+{\frac {64}{93}}f(y_{n-1/2}^{*})+{\frac {4}{31}}f(y_{n-1})-{\frac {1}{93}}f(y_{n-2})\right).$

Краткое табличное представление этого метода имеет вид

$\left[{\begin{array}{ccc|cccc}0&0&0&0&1&{\frac {9}{8}}&{\frac {3}{8}}\\{\frac {32}{15}}&0&0&{\frac {28}{5}}&-{\frac {23}{5}}&-4&-{\frac {26}{15}}\\{\frac {64}{93}}&{\frac {5}{31}}&0&{\frac {32}{31}}&-{\frac {1}{31}}&{\frac {4}{31}}&-{\frac {1}{93}}\\\hline {\frac {64}{93}}&{\frac {5}{31}}&0&{\frac {32}{31}}&-{\frac {1}{31}}&{\frac {4}{31}}&-{\frac {1}{93}}\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\\end{array}}\right].$

См. также

• Методы Рунге-Кутты
• Линейные многошаговые методы
• Численные методы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Ссылки

• Батчер, Джон К. (январь 1965 г.). «Модифицированный многошаговый метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений» . Журнал АКМ . 12 (1): 124–135. дои : 10.1145/321250.321261 . S2CID   36463504 .
• Гир, CW (1965). «Гибридные методы решения задач начального значения в обыкновенных дифференциальных уравнениях». Журнал Общества промышленной и прикладной математики, серия B: Численный анализ . 2 (1): 69–86. Бибкод : 1965SJNA....2...69G . дои : 10.1137/0702006 . hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t4rj60q8s . S2CID   122744897 .
• Грэгг, Уильям Б.; Ганс Дж. Стеттер (апрель 1964 г.). «Обобщенные многошаговые методы прогнозирования-корректора» . Журнал АКМ . 11 (2): 188–209. дои : 10.1145/321217.321223 . S2CID   17118462 .
• Хайрер, Эрнст; Ваннер, Ваннер (1973), «Многошаговые, многоступенчатые и многопроизводные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений», Computing , 11 (3): 287–303, doi : 10.1007/BF02252917 , S2CID   25549771 .

Внешние ссылки

• Общие линейные методы