метод Хойна

В математике и вычислительной технике метод Хойна может относиться к улучшенному методу. или модифицированный метод Эйлера (то есть явное правило трапеций ), или аналогичный двухэтапный метод Рунге-Кутты . Он назван в честь Карла Хойна и представляет собой численную процедуру решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с заданным начальным значением . Оба варианта можно рассматривать как расширение метода Эйлера до двухэтапных методов Рунге – Кутты второго порядка.

Порядок расчета численного решения начальной задачи:

$y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0},$

по методу Хойна заключается в том, чтобы сначала вычислить промежуточное значение ${\tilde {y}}_{i+1}$ а затем окончательное приближение $y_{i+1}$ в следующей точке интеграции.

${\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i})$

$y_{i+1}=y_{i}+{\frac {h}{2}}[f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1})],$

где $h$ размер шага и $t_{i+1}=t_{i}+h$.

Описание

Метод Эйлера лежит в основе метода Хойна. Метод Эйлера использует касательную к функции в начале интервала в качестве оценки наклона функции на интервале, предполагая, что если размер шага мал, ошибка будет небольшой. Однако даже при использовании чрезвычайно малых размеров шага на большом количестве шагов ошибка начинает накапливаться и оценка расходится с фактическим значением функционала.

Если кривая решения вогнута вверх, ее касательная линия будет занижать вертикальную координату следующей точки и наоборот для вогнутого вниз решения. Идеальная линия прогнозирования попадет в кривую в следующей прогнозируемой точке. В действительности, невозможно узнать, является ли решение вогнутым вверх или вогнутым вниз, и, следовательно, будет ли следующая прогнозируемая точка переоценивать или недооценивать свое вертикальное значение. Также нельзя гарантировать, что вогнутость кривой останется постоянной, и прогноз может быть переоцененным или заниженным в разных точках области определения решения. Метод Хойна решает эту проблему, рассматривая интервал, охватываемый отрезком касательной линии, как единое целое. Если взять вогнутый пример, то левая касательная линия прогнозирования занижает наклон кривой для всей ширины интервала от текущей точки до следующей прогнозируемой точки. Если рассматривать касательную линию в правой конечной точке (которую можно оценить с помощью метода Эйлера), возникает противоположная проблема. Точки вдоль касательной к левой конечной точке имеют вертикальные координаты, которые занижают все точки, лежащие на кривой решения, включая правую конечную точку рассматриваемого интервала. Решение состоит в том, чтобы увеличить наклон на некоторую величину. Метод Хойна рассматривает касательные к кривой решения на обоих концах интервала, одна из которых переоценивает , а другая - занижает идеальные вертикальные координаты. Линия прогнозирования должна быть построена на основе только наклона касательной правой конечной точки, аппроксимированного с использованием метода Эйлера. Если этот наклон проходит через левую конечную точку интервала, результат, очевидно, слишком крутой, чтобы его можно было использовать в качестве идеальной линии прогнозирования, и идеальная точка переоценивается. Следовательно, идеальная точка лежит примерно посередине между ошибочным завышением и занижением, средним из двух наклонов.

Диаграмма, показывающая использование метода Хойна для поиска менее ошибочного прогноза по сравнению с методом Эйлера более низкого порядка.

Метод Эйлера используется для грубой оценки координат следующей точки решения, и с учетом этих знаний исходная оценка перепрогнозируется или корректируется . Предполагая, что количество $\textstyle f(x,y)$ в правой части уравнения можно рассматривать как наклон искомого решения в любой точке $\textstyle (x,y)$, это можно объединить с оценкой Эйлера следующей точки, чтобы получить наклон касательной в правой конечной точке. Затем среднее значение обоих наклонов используется для нахождения скорректированных координат правого конечного интервала.

Вывод

${\text{Slope}}_{\text{left}}=f(x_{i},y_{i})$

${\text{Slope}}_{\text{right}}=f(x_{i}+h,y_{i}+hf(x_{i},y_{i}))$

${\text{Slope}}_{\text{ideal}}={\frac {1}{2}}({\text{Slope}}_{\text{left}}+{\text{Slope}}_{\text{right}})$

Используя принцип, согласно которому наклон линии соответствует подъему/набегу, координаты в конце интервала можно найти по следующей формуле:

${\text{Slope}}_{\text{ideal}}={\frac {\Delta y}{h}}$

$\Delta y=h({\text{Slope}}_{\text{ideal}})$

$x_{i+1}=x_{i}+h$, $\textstyle y_{i+1}=y_{i}+\Delta y$

$y_{i+1}=y_{i}+h{\text{Slope}}_{\text{ideal}}$

$y_{i+1}=y_{i}+{\frac {1}{2}}h({\text{Slope}}_{\text{left}}+{\text{Slope}}_{\text{right}})$

$y_{i+1}=y_{i}+{\frac {h}{2}}(f(x_{i},y_{i})+f(x_{i}+h,y_{i}+hf(x_{i},y_{i})))$

Точность метода Эйлера увеличивается только линейно с уменьшением размера шага, тогда как метод Хойна повышает точность квадратично. . Схему можно сравнить с неявным методом трапеций , но с $f(t_{i+1},y_{i+1})$ заменен на $f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1})$ чтобы сделать это явным. ${\tilde {y}}_{i+1}$ является результатом одного шага метода Эйлера для той же задачи начального значения. Итак, метод Хойна представляет собой метод предиктора-корректора с прямым методом Эйлера в качестве предиктора и методом трапеций в качестве корректора.

Метод Рунге-Кутты

Улучшенный метод Эйлера представляет собой двухэтапный метод Рунге-Кутты и может быть записан с использованием таблицы Бутчера (по мотивам Джона К. Батчера ):

	0
	1	1
		1/2	1/2

Другой метод, называемый методом Хойна (также известный как метод Ралстона), имеет таблицу Мясника:

	0
	2/3	2/3
		1/4	3/4

Этот метод минимизирует ошибку усечения.