Метод предиктора-корректора

В численном анализе методы предиктора-корректора относятся к классу алгоритмов, предназначенных для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений – для поиска неизвестной функции, удовлетворяющей заданному дифференциальному уравнению. Все такие алгоритмы выполняются в два этапа:

1. Начальный шаг «прогноза» начинается с функции, подходящей к значениям функции и значениям производной в предыдущем наборе точек, чтобы экстраполировать («предвидеть») значение этой функции в последующей, новой точке.
2. Следующий шаг «корректора» уточняет начальное приближение, используя прогнозируемое значение функции и другой метод для интерполяции значения этой неизвестной функции в той же последующей точке.

Методы предиктора-корректора для решения ОДУ

При рассмотрении численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) метод предиктора-корректора обычно использует явный метод для шага предиктора и неявный метод для шага корректора.

Пример: метод Эйлера с правилом трапеций.

Простой метод предиктора-корректора (известный как метод Хойна ) может быть построен на основе метода Эйлера (явный метод) и правила трапеций (неявный метод).

Рассмотрим дифференциальное уравнение

$y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0},$

и обозначим размер шага через $h$.

Во-первых, шаг прогнозирования: начиная с текущего значения $y_{i}$, вычислить начальное предполагаемое значение ${\tilde {y}}_{i+1}$ методом Эйлера,

${\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}).$

Далее шаг корректора: улучшите первоначальное предположение, используя правило трапеций.

$y_{i+1}=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.$

Это значение используется в качестве следующего шага.

Режим PEC и режим PECE

Существуют разные варианты метода предиктора-корректора в зависимости от того, как часто применяется метод корректора. Режим «Прогнозировать-Оценить-Корректировать-Оценить» (PECE) относится к варианту в приведенном выше примере:

${\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}$

Также возможно оценить функцию f только один раз за шаг, используя метод в режиме «Прогнозировать-Оценить-Корректировать» (PEC):

${\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},{\tilde {y}}_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},{\tilde {y}}_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}$

Кроме того, шаг корректора можно повторить в надежде, что это приведет к еще лучшему приближению к истинному решению. Если метод корректора запускается дважды, это дает режим PECECE:

${\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\{\hat {y}}_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )},\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\hat {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}$

В режиме PECEC на одну функцию меньше, чем в режиме PECECE.

В более общем смысле, если корректор запускается k раз, метод находится в P(EC) ^к или P(EC) ^к Режим Е. Если метод корректора повторяется до тех пор, пока он не сойдётся, это можно назвать PE(CE) ^∞ .

См. также

• Формула обратного дифференцирования
• Алгоритм Бимана
• метод Хойна
• Метод предиктора-корректора Мехротры
• Числовое продолжение

Ссылки

• Батчер, Джон К. (2003), Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-96758-3 .
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Раздел 17.6. Многошаговые, многозначные методы и методы предиктора-корректора» . Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Методы предиктора-корректора» . Математический мир .
• Методы предиктора-корректора для дифференциальных уравнений