Алгоритм Бимана

Алгоритм Бимана - это метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, точнее уравнений движения Ньютона. ${\ddot {x}}=A(x)$. Он был разработан, чтобы обеспечить возможность использования большого количества частиц при моделировании молекулярной динамики. Существует прямой или явный и неявный вариант метода. Прямой вариант был опубликован Шофилдом в 1973 году. как личное сообщение от Бимана. Это то, что широко известно как метод Бимана . Это вариант метода интеграции Верле . Он создает идентичные положения, но использует другую формулу для скоростей. Биман в 1976 году опубликовал класс неявных (предиктор-корректор) многошаговых методов, где метод Бимана является прямым вариантом метода третьего порядка в этом классе.

Уравнение

Формула, используемая для расчета позиций во времени $t+\Delta t$ в полной версии предиктор-корректор схема такая:

• Предсказывать $x(t+\Delta t)$ из данных время от времени $t{\text{ and }}t-\Delta t$

$x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}4a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})$.

• Правильное положение и скорость во времени $t+\Delta t$ из данных время от времени $t{\text{ and }}t+\Delta t$ путем повторной оценки дифференциального уравнения, чтобы получить ускорение $a(t+\Delta t)$ и уравнений неявной системы

${\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}a(t+\Delta t)+2a(t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4});\\v(t+\Delta t)\Delta t&=x(t+\Delta t)-x(t)+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}2a(t+\Delta t)+a(t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4});\end{aligned}}$

В ходе испытаний выяснилось, что этот шаг корректора необходимо повторить не более двух раз. Значения справа — это старые значения последних итераций, в результате чего слева появляются новые значения.

Используя только формулу предиктора и корректор скоростей, можно получить прямой или явный метод. который является вариантом метода интеграции Verlet:

${\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}4a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})\\v(t+\Delta t)&=v(t)+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}2a(t+\Delta t)+5a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t+O(\Delta t^{3});\end{aligned}}$

Именно этот вариант обычно понимают под методом Бимана .

Биман также предложил альтернативно заменить обновление скорости в последнем уравнении методом Адамса – Моултона второго порядка :

$v(t+\Delta t)=v(t)+{\frac {1}{12}}{\Bigl (}5a(t+\Delta t)+8a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t+O(\Delta t^{3})$

где

• $t$ настоящее время (т.е. независимая переменная)
• $\Delta t$ размер временного шага
• $x(t)$ это позиция в момент времени t
• $v(t)$ скорость в момент времени t
• $a(t)$ ускорение в момент времени t, вычисляемое как функция $x(t)$
• последний член - это член ошибки, с использованием большого обозначения O

Модификации предиктора-корректора

В системах, где силы являются функцией скорости в дополнение к положению, приведенные выше уравнения необходимо преобразовать в форму предиктора-корректора, при которой скорости во времени $t+\Delta t$ прогнозируются и рассчитываются силы, прежде чем получить скорректированную форму скоростей.

Пример:

$x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {2}{3}}a(t)\Delta t^{2}-{\frac {1}{6}}a(t-\Delta t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).$

Скорости во времени $t=t+\Delta t$ затем рассчитываются (прогнозируются) на основе позиций.

$v(t+\Delta t)~{\text{(predicted)}}=v(t)+{\frac {3}{2}}a(t)\Delta t-{\frac {1}{2}}a(t-\Delta t)\Delta t+O(\Delta t^{3}).$

Ускорения $a(t+\Delta t)$ во время $t=t+\Delta t$ затем рассчитываются на основе положений и прогнозируемых скоростей, а скорости корректируются.

$v(t+\Delta t)~{\text{(corrected)}}=v(t)+{\frac {5}{12}}a(t+\Delta t)\Delta t+{\frac {2}{3}}a(t)\Delta t-{\frac {1}{12}}a(t-\Delta t)\Delta t+O(\Delta t^{3}).$

Термин ошибки

Как показано выше, локальная ошибка равна $O(\Delta t^{4})$ за должность и $O(\Delta t^{3})$ скорости, что приводит к глобальной ошибке $O(\Delta t^{3})$. Для сравнения, Верле $O(\Delta t^{2})$ для положения и скорости. В обмен на большую точность алгоритм Бимана немного дороже в вычислительном отношении.

Требования к памяти

Моделирование должно отслеживать положение, скорость, ускорение и предыдущие векторы ускорения для каждой частицы (хотя возможны некоторые хитрые обходные пути для хранения предыдущего вектора ускорения), сохраняя требования к памяти на уровне скорости Верле и немного дороже, чем исходный метод Верле. .

Ссылки

• Садус, Ричард Дж. (2002), Молекулярная теория жидкостей: теория, алгоритмы и объектная ориентация , Elsevier, стр. 231, ISBN  0-444-51082-6