Правило трапеций (дифференциальные уравнения)

В численном анализе и научных вычислениях правило трапеций — это численный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных на основе правила трапеций для вычисления интегралов. Правило трапеций — это неявный метод второго порядка, который можно рассматривать как метод Рунге–Кутты, так и линейный многошаговый метод .

Метод

Предположим, что мы хотим решить дифференциальное уравнение $$y'=f(t,y).$$Правило трапеций задается формулой $$y_{n+1}=y_{n}+{\tfrac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}){\Big )},$$где $h=t_{n+1}-t_{n}$ это размер шага.

Это неявный метод: значение $y_{n+1}$ появляется в обеих частях уравнения, и чтобы его вычислить, нам нужно решить уравнение, которое обычно является нелинейным. Одним из возможных методов решения этого уравнения является метод Ньютона . Мы можем использовать метод Эйлера , чтобы получить довольно хорошую оценку решения, которую можно использовать в качестве первоначального предположения метода Ньютона. Короче говоря, использование только предположения метода Эйлера эквивалентно использованию метода Хойна .

Мотивация

Интегрируя дифференциальное уравнение из $t_{n}$ к $t_{n+1}$, мы находим это $$y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.$$Правило трапеций гласит, что интеграл в правой части можно аппроксимировать как $$\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t\approx {\tfrac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{n},y(t_{n}))+f(t_{n+1},y(t_{n+1})){\Big )}.$$Теперь объедините обе формулы и используйте их. $y_{n}\approx y(t_{n})$ и $y_{n+1}\approx y(t_{n+1})$ получить правило трапеций для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Анализ ошибок

Из анализа ошибок правила трапеций для квадратур следует, что локальная ошибка усечения $\tau _{n}$ правила трапеций для решения дифференциальных уравнений можно оценить как: $$|\tau _{n}|\leq {\tfrac {1}{12}}h^{3}\max _{t}|y'''(t)|.$$Таким образом, правило трапеций является методом второго порядка. Этот результат можно использовать, чтобы показать, что глобальная ошибка $O(h^{2})$ как размер шага $h$ стремится к нулю ( обозначении большой буквы O ). значение этого см. в

Стабильность

Розовая область — это область устойчивости трапециевидного метода.

Область абсолютной устойчивости правила трапеций равна $$\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)<0\}.$$Сюда входит и левая полуплоскость, поэтому правило трапеций A-стабильно. Второй барьер Далквиста утверждает, что правило трапеций является наиболее точным среди A-стабильных линейных многошаговых методов. Точнее, линейный многошаговый метод, который является A-стабильным, имеет не более двух порядков, а константа ошибки A-стабильного линейного многошагового метода второго порядка не может быть лучше, чем константа ошибки правила трапеций.

Фактически областью абсолютной устойчивости правила трапеций является именно левая полуплоскость. Это означает, что если правило трапеций применяется к линейному тестовому уравнению y' = λ y , численное решение спадает до нуля тогда и только тогда, когда это происходит с точным решением.

Ссылки

• Изерлес, Арье (1996), Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-55655-2 .
• Сюли, Эндре; Майерс, Дэвид (2003), Введение в численный анализ , издательство Кембриджского университета , ISBN  0521007941 .

См. также

• Метод Кранка – Николсона