Ошибка усечения (численное интегрирование)

Ошибки усечения при численном интегрировании бывают двух видов:

• локальные ошибки усечения – ошибка, вызванная одной итерацией, и
• глобальные ошибки усечения — совокупная ошибка, вызванная множеством итераций.

Определения

Предположим, что у нас есть непрерывное дифференциальное уравнение

$y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\geq t_{0}$

и мы хотим вычислить приближение $y_{n}$ истинного решения $y(t_{n})$ с дискретными шагами по времени $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{N}$. Для простоты предположим, что временные шаги расположены на одинаковом расстоянии:

$h=t_{n}-t_{n-1},\qquad n=1,2,\ldots ,N.$

Предположим, мы вычисляем последовательность $y_{n}$ с одношаговым методом вида

$y_{n}=y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f).$

Функция $A$ называется функцией приращения и может интерпретироваться как оценка наклона ${\frac {y(t_{n})-y(t_{n-1})}{h}}$.

Локальная ошибка усечения

Локальная ошибка усечения $\tau _{n}$ это ошибка нашей функции приращения, $A$, вызывает во время одной итерации, предполагая, что точное знание истинного решения на предыдущей итерации.

Более формально, локальная ошибка усечения, $\tau _{n}$, на шаге $n$ вычисляется из разницы между левой и правой частями уравнения для приращения $y_{n}\approx y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f)$:

$\tau _{n}=y(t_{n})-y(t_{n-1})-hA(t_{n-1},y(t_{n-1}),h,f).$

Численный метод является состоятельным, если локальная ошибка усечения равна $o(h)$ (это означает, что для каждого $\varepsilon >0$ существует $H$ такой, что $|\tau _{n}|<\varepsilon h$ для всех $h<H$; см. обозначение Little-o ). Если функция приращения $A$ непрерывен, то метод непротиворечив тогда и только тогда, когда $A(t,y,0,f)=f(t,y)$.

При этом мы говорим, что численный метод имеет порядок $p$ если для любого достаточно гладкого решения начальной задачи локальная ошибка усечения равна $O(h^{p+1})$ (это означает, что существуют константы $C$ и $H$ такой, что $|\tau _{n}|<Ch^{p+1}$ для всех $h<H$).

Глобальная ошибка усечения

Глобальная ошибка усечения представляет собой накопление локальной ошибки усечения на всех итерациях при условии полного знания истинного решения на начальном временном шаге.

Более формально, глобальная ошибка усечения, $e_{n}$, во время $t_{n}$ определяется:

${\begin{aligned}e_{n}&=y(t_{n})-y_{n}\\&=y(t_{n})-{\Big (}y_{0}+hA(t_{0},y_{0},h,f)+hA(t_{1},y_{1},h,f)+\cdots +hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f){\Big )}.\end{aligned}}$

Численный метод является сходящимся , если глобальная ошибка усечения стремится к нулю по мере того, как размер шага стремится к нулю; другими словами, численное решение сходится к точному решению: $\lim _{h\to 0}\max _{n}|e_{n}|=0$.

Связь между локальными и глобальными ошибками усечения

Иногда можно вычислить верхнюю границу глобальной ошибки усечения, если мы уже знаем локальную ошибку усечения. Это требует, чтобы наша функция приращения вела себя достаточно хорошо.

Глобальная ошибка усечения удовлетворяет рекуррентному соотношению:

$e_{n+1}=e_{n}+h{\Big (}A(t_{n},y(t_{n}),h,f)-A(t_{n},y_{n},h,f){\Big )}+\tau _{n+1}.$

Это следует непосредственно из определений. Теперь предположим, что функция приращения липшицева по второму аргументу, т. е. существует константа $L$ такой, что для всех $t$ и $y_{1}$ и $y_{2}$, у нас есть:

$|A(t,y_{1},h,f)-A(t,y_{2},h,f)|\leq L|y_{1}-y_{2}|.$

Тогда глобальная ошибка удовлетворяет границе

$|e_{n}|\leq {\frac {\max _{j}\tau _{j}}{hL}}\left(\mathrm {e} ^{L(t_{n}-t_{0})}-1\right).$

Из приведенной выше оценки глобальной ошибки следует, что если функция $f$ в дифференциальном уравнении непрерывна по первому аргументу и липшицева по второму аргументу (условие из теоремы Пикара–Линделёфа ), а функция приращения $A$ непрерывна по всем аргументам и липшицева по второму аргументу, то глобальная ошибка стремится к нулю с увеличением размера шага $h$ приближается к нулю (другими словами, численный метод сходится к точному решению).

Расширение линейных многошаговых методов

Теперь рассмотрим линейный многошаговый метод , заданный формулой

${\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}$

Таким образом, следующее значение численного решения вычисляется в соответствии с формулой

$y_{n+s}=-\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y_{n+k}+h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y_{n+k}).$

Следующая итерация линейного многошагового метода зависит от предыдущих итераций . Таким образом, в определении локальной ошибки усечения теперь предполагается, что все предыдущие итерации соответствуют точному решению:

$\tau _{n}=y(t_{n+s})+\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y(t_{n+k})-h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y(t_{n+k})).$

Опять же, метод непротиворечив, если $\tau _{n}=o(h)$ и он имеет порядок p, если $\tau _{n}=O(h^{p+1})$. Определение глобальной ошибки усечения также не изменилось.

Соотношение между локальными и глобальными ошибками усечения немного отличается от более простой настройки одношаговых методов. Для линейных многошаговых методов необходима дополнительная концепция, называемая нулевой стабильностью, для объяснения связи между локальными и глобальными ошибками усечения. Линейные многошаговые методы, удовлетворяющие условию нулевой устойчивости, имеют такое же соотношение локальных и глобальных ошибок, как и одношаговые методы. Другими словами, если линейный многошаговый метод устойчив к нулю и непротиворечив, то он сходится. А если линейный многошаговый метод нулевой устойчив и имеет локальную ошибку $\tau _{n}=O(h^{p+1})$, то его глобальная ошибка удовлетворяет $e_{n}=O(h^{p})$.

См. также

• Порядок точности
• Численное интегрирование
• Численные обыкновенные дифференциальные уравнения
• Ошибка усечения

Ссылки

• Изерлес, Арье (1996), Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-55655-2 .
• Сюли, Эндре; Майерс, Дэвид (2003), Введение в численный анализ , издательство Кембриджского университета , ISBN  0521007941 .

Внешние ссылки

• Замечания об ошибках усечения и методах Рунге-Кутты
• Ошибка усечения метода Эйлера