Ошибка усечения

В численном анализе и вычислениях научных ошибка усечения — это ошибка, вызванная аппроксимацией математического процесса. ^[1]^[2]

Примеры [ править ]

Бесконечная серия [ править ]

Ряд суммирования для $e^{x}$ задается бесконечным рядом, например

e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots

В действительности мы можем использовать только ограниченное число этих терминов, поскольку для использования их всех потребуется бесконечное количество вычислительного времени. Итак, предположим, что мы используем только три члена ряда, тогда

e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}

В этом случае ошибка усечения равна ${\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

Пример А:

Учитывая следующий бесконечный ряд, найдите ошибку усечения для $x = 0,75,$ если используются только первые три члена ряда.

S=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad \left|x\right|<1.

Решение

Использование только первых трех членов ряда дает

{\begin{aligned}S_{3}&=\left(1+x+x^{2}\right)_{x=0.75}\\&=1+0.75+\left(0.75\right)^{2}\\&=2.3125\end{aligned}}

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,\ r<1

дается

S={\frac {a}{1-r}}

Для нашей серии $a = 1$ и $r = 0,75$ , что дает

S={\frac {1}{1-0.75}}=4

Следовательно, ошибка усечения равна

\mathrm {TE} =4-2.3125=1.6875

Дифференциация [ править ]

Определение точной первой производной функции дается формулой

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

Однако, если мы вычисляем производную численно, $h$ должно быть конечным. Ошибка, вызванная выбором $h$ быть конечным — это ошибка усечения в математическом процессе дифференцирования.

Пример А:

Найдите усечение при вычислении первой производной $f(x)=5x^{3}$ в $x=7$ используя размер шага $h=0.25$

Решение:

Первая производная от $f(x)=5x^{3}$ является

f'(x)=15x^{2},

и в

x=7

,

f'(7)=735.

Приблизительное значение определяется выражением

f'(7)={\frac {f(7+0.25)-f(7)}{0.25}}=761.5625

Следовательно, ошибка усечения равна

\mathrm {TE} =735-761.5625=-26.5625

Интеграция [ править ]

Определение точного интеграла функции $f(x)$ от $a$ к $b$ дается следующим образом.

Позволять $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ быть функцией, определенной на замкнутом интервале $[a,b]$ действительных чисел, $\mathbb {R}$ , и

P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},

быть разделом I где ,

a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}

где

\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}

и

x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]

.

Это означает, что мы находим площадь под кривой, используя бесконечные прямоугольники. Однако если мы вычисляем интеграл численно, мы можем использовать только конечное число прямоугольников. Ошибка, вызванная выбором конечного числа прямоугольников вместо бесконечного, представляет собой ошибку усечения в математическом процессе интегрирования.

Пример А.

Для интеграла

\int _{3}^{9}x^{2}{dx}

двухсегментная левая сумма Римана найдите ошибку усечения, если используется с одинаковой шириной сегментов.

Решение

У нас есть точное значение, как

{\begin{aligned}\int _{3}^{9}{x^{2}{dx}}&=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{3}^{9}\\&=\left[{\frac {9^{3}-3^{3}}{3}}\right]\\&=234\end{aligned}}

Используя два прямоугольника одинаковой ширины для аппроксимации площади (см. рисунок 2) под кривой, приблизительное значение интеграла

{\begin{aligned}\int _{3}^{9}x^{2}\,dx&\approx \left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=3}(6-3)+\left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=6}(9-6)\\&=(3^{2})3+(6^{2})3\\&=27+108\\&=135\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\text{Truncation Error}}&={\text{Exact Value}}-{\text{Approximate Value}}\\&=234-135\\&=99.\end{aligned}}

Иногда по ошибке ошибку округления (следствие использования чисел с плавающей запятой конечной точности в компьютерах) также называют ошибкой усечения, особенно если число округляется путем обрезки. Это неправильное использование термина «ошибка усечения»; однако называть это усечением числа может быть приемлемо.

Дополнение [ править ]

Ошибка усечения может привести к $(A+B)+C\neq A+(B+C)$ внутри компьютера, когда $A=-10^{25},B=10^{25},C=1$ потому что $(A+B)+C=(0)+C=1$ (как и должно быть), в то время как $A+(B+C)=A+(B)=0$ . Здесь, $A+(B+C)$ имеет ошибку усечения, равную 1. Эта ошибка усечения возникает потому, что компьютеры не сохраняют младшие цифры чрезвычайно большого целого числа.

См. также [ править ]

Ошибка квантования

Ссылки [ править ]

^ Аткинсон, Кендалл Э. (1989). Введение в численный анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. 20. ISBN 978-0-471-62489-9 . OCLC 803318878 .
^ Стер, Йозеф; Булирш, Роланд (2002), Введение в численный анализ (3-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: Запись для слепых и дислексиков, OCLC 50556273 , получено 8 февраля 2022 г.

Аткинсон, Кендалл Э. (1989), Введение в численный анализ (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. 20, ISBN 978-0-471-50023-0
Стер, Йозеф; Булирш, Роланд (2002), Введение в численный анализ (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 1, ISBN 978-0-387-95452-3 .

[Atkinson-1] Аткинсон, Кендалл Э. (1989). Введение в численный анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. 20. ISBN 978-0-471-62489-9 . OCLC 803318878 .

[Stoer-2] Стер, Йозеф; Булирш, Роланд (2002), Введение в численный анализ (3-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: Запись для слепых и дислексиков, OCLC 50556273 , получено 8 февраля 2022 г.

[1]

[2]