Условие Куранта – Фридрихса – Леви.

В математике условие сходимости Куранта-Фридрихса-Леви является необходимым условием сходимости при численном решении некоторых уравнений в частных производных (обычно гиперболических УЧП ). Он возникает при численном анализе явных схем интегрирования по времени , когда они используются для численного решения. Как следствие, во многих явных с движением во времени компьютерных симуляциях шаг по времени должен быть меньше определенной верхней границы при фиксированном пространственном приращении ; в противном случае моделирование дает неправильные или нестабильные результаты. Состояние названо в честь Рихарда Куранта , Курта Фридрихса и Ганса Леви , которые описали его в своей статье 1928 года.

Эвристическое описание

Принцип, лежащий в основе этого условия, заключается в том, что, например, если волна движется по дискретной пространственной сетке и мы хотим вычислить ее амплитуду с дискретными временными шагами равной продолжительности, тогда эта длительность должна быть меньше времени прохождения волны до соседних узлов сетки. Как следствие, когда расстояние между точками сетки уменьшается, верхний предел шага по времени также уменьшается. По сути, числовая область зависимости любой точки пространства и времени (определяемая начальными условиями и параметрами схемы аппроксимации) должна включать в себя аналитическую область зависимости (в которой начальные условия влияют на точное значение решение в этот момент), чтобы гарантировать, что схема может получить доступ к информации, необходимой для формирования решения.

Заявление

Чтобы сделать достаточно формально точную формулировку условия, необходимо определить следующие величины:

• Пространственная координата : одна из координат физического пространства , в котором поставлена ​​задача.
• Пространственное измерение проблемы : число $n$ пространственных измерений , т. е. числа пространственных координат физического пространства , в котором ставится задача. Типичные значения: $n=1$, $n=2$ и $n=3$.
• Время : координата , действующая как параметр , который описывает эволюцию системы, отличную от пространственных координат.

Пространственные координаты и время являются независимыми переменными с дискретными значениями , которые расположены на регулярных расстояниях, называемых длиной интервала. и шаг по времени соответственно. Используя эти имена, условие CFL связывает длину временного шага с функцией длины интервала каждой пространственной координаты и максимальной скорости, с которой информация может перемещаться в физическом пространстве.

С практической точки зрения условие CFL обычно предписывается для тех членов конечно-разностной аппроксимации общих уравнений в частных производных , которые моделируют явление адвекции .

Одномерный случай

В одномерном случае уравнение модели с непрерывным временем (которое обычно решается для $w$) является:

${\frac {\partial w}{\partial t}}=u{\frac {\partial w}{\partial x}}.$

Тогда условие CFL имеет следующий вид:

$C={\frac {u\,\Delta t}{\Delta x}}\leq C_{\max }$

где безразмерное число $C$ называется числом Куранта ,

• $u$ - величина скорости ( размерность которой - длина/время)
• $\Delta t$ - шаг по времени ( размерность которого - время)
• $\Delta x$ — интервал длины ( размерность которого равна длине).

Стоимость $C_{\max }$ меняется в зависимости от метода, используемого для решения дискретного уравнения, особенно в зависимости от того, является ли метод явным или неявным . Если используется явный (временной) решатель, то обычно $C_{\max }=1$. Неявные (матричные) решатели обычно менее чувствительны к числовой нестабильности, поэтому более высокие значения $C_{\max }$ можно терпеть.

Двусторонний и общий n -мерный случай

В двумерном случае условие КЛЛ принимает вид

$C={\frac {u_{x}\,\Delta t}{\Delta x}}+{\frac {u_{y}\,\Delta t}{\Delta y}}\leq C_{\max }$

с очевидным значением задействованных символов. По аналогии с двумерным случаем общее условие КФЛ для $n$-мерный случай следующий:

$C=\Delta t\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}}{\Delta x_{i}}}\right)\leq C_{\max }.$

Длина интервала не обязательно должна быть одинаковой для каждой пространственной переменной. $\Delta x_{i},i=1,\ldots ,n$. Эту « степень свободы » можно использовать для некоторой оптимизации значения временного шага для конкретной задачи, варьируя значения разных интервалов, чтобы он не был слишком маленьким.

Ссылки

• Курант, Р .; Фридрихс, К .; Леви, Х. (1928), «Об уравнениях в частных производных математической физики» , Mathematical Annals (на немецком языке), 100 (1): 32–74, Бибкод : 1928MatAn.100...32C , doi : 10.1007/BF01448839 , ЯФМ   54.0486.01 , МР   1512478 , S2CID   120760331 .
• Курант, Р .; Фридрихс, К .; Леви, Х. (сентябрь 1956 г.) [1928], Об уравнениях в частных разностях математической физики , Отчет об исследованиях и разработках AEC, том. NYO-7689, Нью-Йорк: Центр вычислительной и прикладной математики AEC – Институт математических наук Куранта , стр. V + 76, заархивировано из оригинала 23 октября 2008 г .: перевод с немецкого Филлис Фокс. Это более ранняя версия статьи Куранта, Фридрихса и Леви (1967) , распространенная в качестве исследовательского отчета.
• Курант, Р .; Фридрихс, К .; Леви, Х. (март 1967 г.) [1928], «Об уравнениях в частных разностях математической физики» , IBM Journal of Research and Development , 11 (2): 215–234, Бибкод : 1967IBMJ...11..215C , дои : 10.1147/рд.112.0215 , МР   0213764 , Збл   0145.40402 . Бесплатно загружаемую копию можно найти здесь .

• Карлос А. де Моура и Карлос С. Кубрусли (ред.): «Состояние Куранта-Фридрихса-Леви (CFL): через 80 лет после его открытия», Birkhauser, ISBN 978-0-8176-8393-1 (2013).

Внешние ссылки

• Бахвалов, Н.С. (2001) [1994], «Условие Куранта–Фридрихса–Леви» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Условие Куранта-Фридрихса-Леви» . Математический мир .