Jump to content

Условие Куранта – Фридрихса – Леви.

В математике условие сходимости Куранта-Фридрихса-Леви является необходимым условием сходимости при численном решении некоторых уравнений в частных производных (обычно гиперболических УЧП ). Он возникает при численном анализе явных схем интегрирования по времени , когда они используются для численного решения. Как следствие, во многих явных с движением во времени компьютерных симуляциях шаг по времени должен быть меньше определенной верхней границы при фиксированном пространственном приращении ; в противном случае моделирование дает неправильные или нестабильные результаты. Состояние названо в честь Рихарда Куранта , Курта Фридрихса и Ганса Леви , которые описали его в своей статье 1928 года. [ 1 ]

Эвристическое описание

[ редактировать ]

Принцип, лежащий в основе этого условия, заключается в том, что, например, если волна движется по дискретной пространственной сетке и мы хотим вычислить ее амплитуду с дискретными временными шагами равной продолжительности, [ 2 ] тогда эта длительность должна быть меньше времени прохождения волны до соседних узлов сетки. Как следствие, когда расстояние между точками сетки уменьшается, верхний предел шага по времени также уменьшается. По сути, числовая область зависимости любой точки пространства и времени (определяемая начальными условиями и параметрами схемы аппроксимации) должна включать в себя аналитическую область зависимости (в которой начальные условия влияют на точное значение решение в этот момент), чтобы гарантировать, что схема может получить доступ к информации, необходимой для формирования решения.

Заявление

[ редактировать ]

Чтобы сделать достаточно формально точную формулировку условия, необходимо определить следующие величины:

  • Пространственная координата : одна из координат физического пространства , в котором поставлена ​​задача.
  • Пространственное измерение проблемы : число пространственных измерений , т. е. числа пространственных координат физического пространства , в котором ставится задача. Типичные значения: , и .
  • Время : координата , действующая как параметр , который описывает эволюцию системы, отличную от пространственных координат.

Пространственные координаты и время являются независимыми переменными с дискретными значениями , которые расположены на регулярных расстояниях, называемых длиной интервала. [ 3 ] и шаг по времени соответственно. Используя эти имена, условие CFL связывает длину временного шага с функцией длины интервала каждой пространственной координаты и максимальной скорости, с которой информация может перемещаться в физическом пространстве.

С практической точки зрения условие CFL обычно предписывается для тех членов конечно-разностной аппроксимации общих уравнений в частных производных , которые моделируют явление адвекции . [ 4 ]

Одномерный случай

[ редактировать ]

В одномерном случае уравнение модели с непрерывным временем (которое обычно решается для ) является:

Тогда условие CFL имеет следующий вид:

где безразмерное число называется числом Куранта ,

Стоимость меняется в зависимости от метода, используемого для решения дискретного уравнения, особенно в зависимости от того, является ли метод явным или неявным . Если используется явный (временной) решатель, то обычно . Неявные (матричные) решатели обычно менее чувствительны к числовой нестабильности, поэтому более высокие значения можно терпеть.

Двусторонний и общий n -мерный случай

[ редактировать ]

В двумерном случае условие КЛЛ принимает вид

с очевидным значением задействованных символов. По аналогии с двумерным случаем общее условие КФЛ для -мерный случай следующий:

Длина интервала не обязательно должна быть одинаковой для каждой пространственной переменной. . Эту « степень свободы » можно использовать для некоторой оптимизации значения временного шага для конкретной задачи, варьируя значения разных интервалов, чтобы он не был слишком маленьким.

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ См. ссылку Курант, Фридрихс и Леви, 1928 . Существует также английский перевод оригинала 1928 года немецкого : см. ссылки Courant, Friedrichs & Lewy 1956 и Courant, Friedrichs & Lewy 1967 .
  2. ^ Эта ситуация обычно возникает, когда гиперболический оператор в частных производных аппроксимируется конечно - , разностным уравнением которое затем решается численными методами линейной алгебры .
  3. ^ Эта величина не обязательно одинакова для каждой пространственной переменной, как показано в разделе « Двухмерный и общий n –мерный случай » этой записи: ее можно выбрать, чтобы несколько ослабить условие.
  4. ^ Именно это гиперболическая часть анализируемой УЧП.
  • Карлос А. де Моура и Карлос С. Кубрусли (ред.): «Состояние Куранта-Фридрихса-Леви (CFL): через 80 лет после его открытия», Birkhauser, ISBN 978-0-8176-8393-1 (2013).
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 0b61d5d729b803036c70ec2a371d5d31__1706104260
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/0b/31/0b61d5d729b803036c70ec2a371d5d31.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Courant–Friedrichs–Lewy condition - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)