Метод конечных объемов для нестационарного течения

Нестационарные течения характеризуются как течения, в которых свойства жидкости зависят от времени. Это отражается в основных уравнениях, поскольку производная по времени от свойств отсутствует.Для изучения метода конечного объема для нестационарного течения существуют некоторые основные уравнения >

Управляющее уравнение

Уравнение сохранения переноса скаляра в нестационарном потоке имеет общий вид:

${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} \left(\rho \phi \upsilon \right)=\operatorname {div} \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)+S_{\phi }$

$\rho$ и плотность ​ $\phi$ консервативная форма потока всех жидкостей,
$\Gamma$ - коэффициент диффузии и $S$ является исходным термином. $\operatorname {div} \left(\rho \phi \upsilon \right)$ чистая скорость потока $\phi$ вне жидкого элемента ( конвекция ),
$\operatorname {div} \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)$ Скорость увеличения $\phi$ за счет диффузии ,
$S_{\phi }$ Скорость увеличения $\phi$ из-за источников.

${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}$ Скорость увеличения $\phi$ жидкого элемента (переходного процесса),

Первый член уравнения отражает нестационарность течения и отсутствует при установившихся течениях. Интегрирование основного уравнения в конечном объеме осуществляется по контрольному объему, а также за конечный шаг по времени ∆t.

$\int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left({\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{A}\left(n.{\rho \phi u}\,\mathrm {d} A\right)\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{A}\left(n\cdot \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)\,\mathrm {d} A\right)\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}S_{\phi }\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t$

контрольного объема Интегрирование установившейся части уравнения аналогично установившегося состояния интегрированию определяющего уравнения . Нам необходимо сосредоточиться на интегрировании нестационарной составляющей уравнения. Чтобы получить представление о методике интегрирования, обратимся к одномерному нестационарному уравнению теплопроводности .

$\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {k\partial T}{\partial x}}+S$

$\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {k\partial T}{\partial x}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}S\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t$

$\int _{e}^{w}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V=\int _{t}^{t+\Delta t}\left[\left(kA{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{e}-\left(kA{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{w}\right]\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V\,\mathrm {d} t$

Теперь, если предположить, что температура в узле преобладает во всем контрольном объеме, левую часть уравнения можно записать как

$\int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V=\rho c\left(T_{P}-{T_{P}}^{O}\right)\Delta V$

Используя схему обратного дифференцирования первого порядка , мы можем записать правую часть уравнения как

$\rho c\left(T_{P}-{T_{P}}^{0}\right)\Delta V=\int _{t}^{t+\Delta t}\left[\left(K_{e}A{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}A{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)\right]\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V\,\mathrm {d} t$

Теперь, чтобы оценить правую часть уравнения, мы используем весовой параметр $\theta$ между 0 и 1, и мы пишем интегрирование $T_{P}$

$I_{T}=\int _{t}^{t+\Delta t}T_{P}\,\mathrm {d} t=\left[\theta T_{P}+\left(1-\theta \right){T_{P}}^{0}\right]\Delta t$

Теперь точная форма окончательного дискретизированного уравнения зависит от значения $\Theta$. Поскольку дисперсия $\Theta$ 0< $\Theta$ <1, схема, по которой будет производиться расчет $T_{P}$ зависит от стоимости $\Theta$Таким образом\\ $\rho c{\frac {\left(T_{P}-{T_{P}}^{0}\right)}{\Delta t}}\Delta x=\theta [\left(K_{e}{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)]+(1-\theta )[\left(K_{e}{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)]+{\bar {S}}\Delta x$

Различные схемы

1. Явная схема. В явной схеме исходный член линеаризуется как $b=S_{u}+{S_{P}}{T_{P}}^{0}$. Мы заменяем $\theta =0$ чтобы получить явную дискретизацию, т.е.:

$a_{P}T_{P}=a_{w}{T_{w}}^{0}+a_{e}{T_{e}}^{0}+\left[{a_{P}}^{0}-\left(a_{w}+a_{e}-S_{P}\right)\right]{T_{P}}^{0}+S_{u}$

где $a_{P}={a_{P}}^{0}$. Стоит отметить одну вещь: правая часть содержит значения на старом временном шаге, и, следовательно, левая часть может быть рассчитана путем прямого сопоставления во времени. Схема основана на обратном дифференцировании, и ее ошибка усечения ряда Тейлора имеет первый порядок по времени. Все коэффициенты должны быть положительными. Для постоянного k и равномерного шага сетки $\delta x_{PE}=\delta x_{WP}=\Delta x$ это условие можно записать как

$\rho c{\frac {\Delta x}{\Delta t}}>{\frac {2K}{\Delta x}}$

Это неравенство устанавливает жесткие условия на максимальный шаг по времени, который можно использовать, и представляет собой серьезное ограничение для схемы. Повышение пространственной точности становится очень дорогостоящим, поскольку максимально возможный шаг по времени необходимо уменьшить как квадрат $\Delta x$

2. Схема Кранка-Николсона : метод Кранка-Николсона является результатом установки $\theta ={\frac {1}{2}}$. Дискретизированное нестационарное уравнение теплопроводности принимает вид

$a_{P}T_{P}=a_{E}\left[{\frac {T_{E}+{T_{E}}^{0}}{2}}\right]+a_{W}\left[{\frac {T_{W}+{T_{W}}^{0}}{2}}\right]+\left[{a_{P}}^{0}-{\frac {a_{E}}{2}}-{\frac {a_{W}}{2}}\right]{T_{P}}^{0}+b$

Где $a_{P}={\frac {a_{W}+a_{E}}{2}}+{a_{P}}^{0}-{\frac {S_{P}}{2}}$

Поскольку в уравнении присутствует более одного неизвестного значения T на новом временном уровне, метод является неявным, и на каждом временном шаге необходимо решать одновременные уравнения для всех узловых точек. Хотя схемы с ${\frac {1}{2}}<\theta <1$ включая схему Кранка-Николсона, безусловно устойчивы для всех значений шага по времени, более важно обеспечить, чтобы все коэффициенты были положительными для физически реалистичных и ограниченных результатов. Это имеет место, если коэффициент ${T_{P}}^{0}$ удовлетворяет следующему условию

${a_{P}}^{0}=\left[{\frac {a_{E}+a_{W}}{2}}\right]$

что приводит к

$\Delta t<\rho c{\frac {\Delta x^{2}}{K}}$

Метод Кранка-Николсона основан на центральном различии и, следовательно, имеет второй порядок точности по времени. Общая точность вычислений также зависит от практики пространственного дифференцирования, поэтому схема Крэнка-Николсона обычно используется в сочетании с пространственным центральным дифференцированием.

3. Полностью неявная схема. Когда значение Ѳ установлено равным 1, мы получаем полностью неявную схему. Дискретизированное уравнение:

$a_{P}T_{P}=a_{W}T_{W}+a_{E}T_{E}+{a_{P}}^{0}{T_{P}}^{0}+S_{u}$

$a_{P}={a_{P}}^{0}+a_{W}+a_{E}-S_{P}$

Обе части уравнения содержат температуры на новом временном шаге, и на каждом временном уровне необходимо решать систему алгебраических уравнений. Процедура временного марша начинается с заданного начального поля температур. $T^{0}$. Система уравнений решается после выбора шага по времени $\Delta t$. Далее решение $T$ назначен на $T^{0}$ и процедура повторяется для продвижения решения на следующий временной шаг. Видно, что все коэффициенты положительны, что делает неявную схему безусловно устойчивой при любом размере шага по времени. Поскольку точность схемы имеет только первый порядок по времени, для обеспечения точности результатов необходимы небольшие временные шаги. Неявный метод рекомендуется для расчетов переходных процессов общего назначения из-за его надежности и безусловной устойчивости.