Положительный оператор (гильбертово пространство)

В математике (в частности, в линейной алгебре , теории операторов и функциональном анализе ), а также в физике линейный оператор $A$ действующий на пространство внутреннего продукта, называется положительно-полуопределенным (или неотрицательным ), если для каждого $x\in \mathop {\text{Dom}} (A)$ , $\langle Ax,x\rangle \in \mathbb {R}$ и $\langle Ax,x\rangle \geq 0$ , где $\mathop {\text{Dom}} (A)$ является областью $A$ . Положительно-полуопределенные операторы обозначаются как $A\geq 0$ . Оператор называется положительно определенным и записывается $A>0$ , если $\langle Ax,x\rangle >0,$ для всех $x\in \mathop {\mathrm {Dom} } (A)\setminus \{0\}$ . ^[1]

Многие авторы определяют положительный оператор $A$ быть самосопряженным (или, по крайней мере, симметричным) неотрицательным оператором. Ниже мы покажем, что для комплексного гильбертова пространства самосопряженность автоматически следует из неотрицательности. Для реального гильбертова пространства неотрицательность не означает самосопряженности.

В физике (в частности, в квантовой механике ) такие операторы представляют квантовые состояния посредством формализма матрицы плотности .

Коши – Неравенство Шварца

Возьмите внутренний продукт $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ быть антилинейным по первому аргументу и линейным по второму, и предположим, что $A$ положителен и симметричен, последнее означает, что $\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle$ . Тогда неотрицательность

{\begin{aligned}\langle A(\lambda x+\mu y),\lambda x+\mu y\rangle =|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}\langle Ay,x\rangle +|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \\[1mm]=|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}(\langle Ax,y\rangle )^{*}+|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \end{aligned}}

для всего комплекса $\lambda$ и $\mu$ показывает, что

\left|\langle Ax,y\rangle \right|^{2}\leq \langle Ax,x\rangle \langle Ay,y\rangle .

Следует, что $\mathop {\text{Im}} A\perp \mathop {\text{Ker}} A.$ Если $A$ определяется везде, и $\langle Ax,x\rangle =0,$ затем $Ax=0.$

В комплексном гильбертовом пространстве, если оператор неотрицательен, то . он симметричен

Для $x,y\in \mathop {\text{Dom}} A,$ поляризационная идентичность

{\begin{aligned}\langle Ax,y\rangle ={\frac {1}{4}}({}&\langle A(x+y),x+y\rangle -\langle A(x-y),x-y\rangle \\[1mm]&{}-i\langle A(x+iy),x+iy\rangle +i\langle A(x-iy),x-iy\rangle )\end{aligned}}

и тот факт, что $\langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle ,$ для положительных операторов покажите, что $\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,$ так $A$ является симметричным.

В отличие от комплексного случая, положительно-полуопределенный оператор в вещественном гильбертовом пространстве $H_{\mathbb {R} }$ может быть не симметричным. В качестве контрпримера определим $A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ быть оператором поворота на острый угол $\varphi \in (-\pi /2,\pi /2).$ Затем $\langle Ax,x\rangle =\|Ax\|\|x\|\cos \varphi >0,$ но $A^{*}=A^{-1}\neq A,$ так $A$ не является симметричным.

Если оператор неотрицательен и определен во всем гильбертовом пространстве, то он ограниченный . самосопряженный и

Симметрия $A$ подразумевает , что $\mathop {\text{Dom}} A\subseteq \mathop {\text{Dom}} A^{*}$ и $A=A^{*}|_{\mathop {\text{Dom}} (A)}.$ Для $A$ чтобы быть самосопряженным, необходимо, чтобы $\mathop {\text{Dom}} A=\mathop {\text{Dom}} A^{*}.$ В нашем случае равенство доменов имеет место, поскольку $H_{\mathbb {C} }=\mathop {\text{Dom}} A\subseteq \mathop {\text{Dom}} A^{*},$ так $A$ действительно является самосопряженным. Дело в том, что $A$ теперь ограничена, следует из теоремы Хеллингера–Тёплица .

Это свойство не держится $H_{\mathbb {R} }.$

Частичный порядок самосопряженных операторов [ править ]

Естественный частичный порядок самосопряженных операторов возникает из определения положительных операторов. Определять $B\geq A$ если выполняются следующие условия:

$A$ и $B$ являются самосопряженными
$B-A\geq 0$

Можно видеть, что результат, аналогичный теореме о монотонной сходимости, справедлив для монотонно возрастающих , ограниченных, самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах. ^[2]

к физике: состояния Приложение квантовые

Определение квантовой системы включает комплексное сепарабельное гильбертово пространство. $H_{\mathbb {C} }$ и набор ${\cal {S}}$ положительных трассового класса операторов $\rho$ на $H_{\mathbb {C} }$ для которого $\mathop {\text{Trace}} \rho =1.$ Набор ${\cal {S}}$ это набор состояний . Каждый $\rho \in {\cal {S}}$ называется состоянием или оператором плотности . Для $\psi \in H_{\mathbb {C} },$ где $\|\psi \|=1,$ Оператор $P_{\psi }$ проекции пролет на $\psi$ называется чистым состоянием . (Поскольку каждое чистое состояние идентифицируется единичным вектором $\psi \in H_{\mathbb {C} },$ некоторые источники определяют чистые состояния как единичные элементы из $H_{\mathbb {C} }).$ Состояния, которые не являются чистыми, называются смешанными .

Ссылки [ править ]

^ Роман 2008 , с. 250 §10
^ Эйдельман, Юлий, Виталий Д. Мильман и Антонис Цсоломитис. 2004. Функциональный анализ: введение. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество.

Конвей, Джон Б. (1990), Функциональный анализ: введение , Springer Verlag , ISBN 0-387-97245-5

Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5

[1] Роман 2008 , с. 250 §10

[2] Эйдельман, Юлий, Виталий Д. Мильман и Антонис Цсоломитис. 2004. Функциональный анализ: введение. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество.

[1]

[2]