Теорема Хеллингера – Теплица

В функциональном анализе , разделе математики , теорема Хеллингера-Тёплица утверждает, что везде определённый симметричный оператор в гильбертовом пространстве со скалярным произведением $\langle \cdot |\cdot \rangle$ ограничен ​ . По определению оператор A симметричен , если

$\langle Ax|y\rangle =\langle x|Ay\rangle$

для всех , y в области A. x Заметим, что симметричные всюду определенные операторы обязательно являются самосопряженными , поэтому эту теорему можно сформулировать и так: всюду определенный самосопряженный оператор ограничен. Теорема названа в честь Эрнста Давида Хеллингера и Отто Тёплица .

Эту теорему можно рассматривать как непосредственное следствие теоремы о замкнутом графике , поскольку самосопряженные операторы замкнуты . В качестве альтернативы это можно доказать, используя принцип равномерной ограниченности . При доказательстве теоремы мы опираемся на предположение о симметричности, а следовательно, и на структуру внутреннего продукта. Важным также является тот факт, что данный оператор A определен всюду (и, в свою очередь, полнота гильбертовых пространств).

Теорема Хеллингера-Теплица выявляет определенные технические трудности в математической формулировке квантовой механики . Наблюдаемые в квантовой механике соответствуют самосопряженным операторам в некотором гильбертовом пространстве, но некоторые наблюдаемые (например, энергия) не ограничены. По Хеллингеру-Теплицу такие операторы не могут быть определены всюду (но они могут быть определены на плотном подмножестве ). Возьмем, к примеру, квантовый гармонический осциллятор . Здесь гильбертово пространство — это L ² ( R ), пространство суммируемых с квадратом функций на R и оператор энергии H определяется как (при условии, что единицы выбраны так, что ℏ = m = ω = 1)

$[Hf](x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}f(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}f(x).$

Этот оператор самосопряженный и неограниченный (его собственные значения равны 1/2, 3/2, 5/2,...), поэтому его нельзя определить на всем пространстве L ² ( Р ).

Ссылки

• Рид, Майкл и Саймон, Барри : Методы математической физики, Том 1: Функциональный анализ. Academic Press, 1980. См. раздел III.5.
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шрёдингера . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4660-5 .