л п космос

Для пространства последовательностей ℓ ^п см. Пространство последовательностей § ℓp пространства .

В математике L ​ ^п Пространства — это функциональные пространства , определенные с использованием естественного обобщения p -нормы для конечномерных векторных пространств . Их иногда называют пространствами Лебега , по имени Анри Лебега ( Dunford & Schwartz 1958 , III.3), хотя, согласно группе Бурбаки ( Bourbaki 1987 ), они были впервые введены Фриджесом Риссом ( Riesz 1910 ).

л ^п пространства образуют важный класс банаховых пространств в функциональном анализе и топологических векторных пространств . Из-за своей ключевой роли в математическом анализе пространств меры и вероятности пространства Лебега используются также при теоретическом обсуждении проблем физики, статистики, экономики, финансов, техники и других дисциплин.

Приложения

Статистика

В статистике меры центральной тенденции и статистической дисперсии , такие как среднее значение , медиана и стандартное отклонение , могут быть определены с точки зрения $L^{p}$ метрики и меры центральной тенденции можно охарактеризовать как решения вариационных задач .

В наказуемой регрессии «штраф L1» и «штраф L2» относятся к наказанию либо $L^{1}$ норма вектора значений параметров решения (т.е. сумма его абсолютных значений) или его квадрат $L^{2}$норма (ее евклидова длина ). Методы, использующие штраф L1, такие как LASSO , поощряют разреженные решения (где многие параметры равны нулю). Эластичная чистая регуляризация использует штрафной член, который представляет собой комбинацию $L^{1}$ норма и квадрат $L^{2}$ норма вектора параметров.

–

для Преобразование Фурье вещественной линии (или, для периодических функций , см. ряд Фурье ), отображает $L^{p}(\mathbb {R} )$ к $L^{q}(\mathbb {R} )$ (или $L^{p}(\mathbf {T} )$ к $\ell ^{q}$) соответственно, где $1\leq p\leq 2$ и ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.$ Это следствие интерполяционной теоремы Рисса–Торина и уточняется с помощью неравенства Хаусдорфа–Юнга .

Напротив, если $p>2,$ преобразование Фурье не отображается в $L^{q}.$

Гильбертовы пространства

См. Также: Функция, интегрируемая с квадратом.

Гильбертовые пространства играют центральную роль во многих приложениях, от квантовой механики до стохастического исчисления . Пространства $L^{2}$ и $\ell ^{2}$оба являются гильбертовыми пространствами. Фактически, выбрав базис Гильберта $E,$ т. е. максимальное ортонормированное подмножество $L^{2}$ или любое гильбертово пространство, можно видеть, что каждое гильбертово пространство изометрически изоморфно $\ell ^{2}(E)$ (такой же $E$ как указано выше), т. е. гильбертово пространство типа $\ell ^{2}.$

P - в

Иллюстрации единичных кругов (см. также суперэллипс ) в $\mathbb {R} ^{2}$ на основе разных $p$-нормы (каждый вектор от начала координат до единичной окружности имеет длину, равную единице, длина вычисляется по формуле длины соответствующего $p$).

Евклидова длина вектора $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ в $n$-мерное реальное векторное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ определяется евклидовой нормой :

$$\|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.$$

Евклидово расстояние между двумя точками $x$ и $y$ это длина $\|x-y\|_{2}$прямой линии между двумя точками. Во многих ситуациях евклидово расстояние подходит для определения фактических расстояний в данном пространстве. Напротив, рассмотрим водителей такси на сеточном плане улиц, которым следует измерять расстояние не с точки зрения длины прямой линии до пункта назначения, а с точки зрения прямолинейного расстояния , которое учитывает, что улицы либо ортогональны, либо параллельны друг другу. другой. Класс $p$-нормы обобщают эти два примера и имеют множество приложений во многих областях математики , физики и информатики .

Определение

Для реального числа $p\geq 1,$ тот $p$-норма или $L^{p}$-норма ​ $x$ определяется

$$\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.$$

Полосы абсолютных значений можно удалить, если $p$ — рациональное число с четным числителем в сокращенной форме, а $x$ извлекается из набора действительных чисел или одного из его подмножеств.

Евклидова норма сверху попадает в этот класс и является $2$-норма и $1$-норма – норма, соответствующая прямолинейному расстоянию .

The $L^{\infty }$-норма или максимальная норма (или единая норма) – это предел $L^{p}$-нормы для $p\to \infty .$ Оказывается, этот предел эквивалентен следующему определению:

$$\|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}$$

См. L -бесконечность .

Для всех $p\geq 1,$ тот $p$-нормы и максимальная норма, определенные выше, действительно удовлетворяют свойствам «функции длины» (или нормы ), а именно:

• только нулевой вектор имеет нулевую длину,
• длина вектора положительно однородна относительно умножения на скаляр ( положительная однородность ), и
• длина суммы двух векторов не больше суммы длин векторов ( неравенство треугольника ).

Абстрактно говоря, это означает, что $\mathbb {R} ^{n}$ вместе с $p$-norm — нормированное векторное пространство . Более того, оказывается, что это пространство полно, что делает его банаховым . Это банахово пространство $L^{p}$-пробел над $\{1,2,\ldots ,n\}.$

Отношения между p -нормами

Расстояние по сетке или прямолинейное расстояние (иногда называемое « манхэттенским расстоянием ») между двумя точками никогда не бывает короче длины отрезка линии между ними (евклидово расстояние или расстояние «по прямой»). Формально это означает, что евклидова норма любого вектора ограничена его 1-нормой:

$$\|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}.$$

Этот факт обобщается на $p$-нормы в том, что $p$-норма $\|x\|_{p}$ любого заданного вектора $x$ не растет с $p$:

$\|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}$ для любого вектора $x$ и реальные цифры $p\geq 1$ и $a\geq 0.$ (Фактически это остается верным для $0<p<1$ и $a\geq 0$ .)

Для противоположного направления следующее соотношение между $1$-норма и $2$-норма известна:

$$\|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}~.$$

Это неравенство зависит от размерности $n$ базового векторного пространства и следует непосредственно из неравенства Коши – Шварца .

В общем случае для векторов в $\mathbb {C} ^{n}$ где $0<r<p:$

$$\|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|x\|_{p}~.$$

Это следствие неравенства Гёльдера .

Когда 0 < p < 1

Астроид , единичный круг в $p={\tfrac {2}{3}}$ метрика

В $\mathbb {R} ^{n}$ для $n>1,$ формула

$$\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$$

определяет абсолютно однородную функцию для $0<p<1;$однако результирующая функция не определяет норму, поскольку она не является субаддитивной . С другой стороны, формула

$$|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}$$

определяет субаддитивную функцию ценой потери абсолютной однородности. Однако он определяет F-норму , которая является однородной степени $p.$

Следовательно, функция

$$d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}$$

определяет метрику . Метрическое пространство $(\mathbb {R} ^{n},d_{p})$ обозначается $\ell _{n}^{p}.$

Хотя $p$-единичный шар $B_{n}^{p}$ вокруг начала координат в этой метрике «вогнутая», топология определена на $\mathbb {R} ^{n}$ по метрике $B_{p}$ — обычная топология векторного пространства $\mathbb {R} ^{n},$ следовательно $\ell _{n}^{p}$— локально выпуклое топологическое векторное пространство. Помимо этого качественного утверждения, существует количественный способ измерения отсутствия выпуклости $\ell _{n}^{p}$ это обозначить через $C_{p}(n)$ наименьшая константа $C$ такое, что скалярное кратное $C\,B_{n}^{p}$ принадлежащий $p$-единичный шар содержит выпуклую оболочку $B_{n}^{p},$ что равно $B_{n}^{1}.$ Тот факт, что для фиксированного $p<1$ у нас есть

$$C_{p}(n)=n^{{\tfrac {1}{p}}-1}\to \infty ,\quad {\text{as }}n\to \infty$$

показывает, что бесконечномерное пространство последовательностей $\ell ^{p}$ определенное ниже, больше не является локально выпуклым.

Когда р = 0

Есть один $\ell _{0}$ норма и еще одна функция, называемая $\ell _{0}$ «норма» (в кавычках).

Математическое определение $\ell _{0}$норма была установлена Банаха ​​теорией линейных операций . Пространство F последовательностей имеет полную метрическую топологию, обеспечиваемую -нормой.

$$(x_{n})\mapsto \sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}},$$

который обсуждается Стефаном Ролевичем в « Метрических линейных пространствах» . $\ell _{0}$-нормированное пространство изучается в функциональном анализе, теории вероятностей и гармоническом анализе.

Другая функция называлась $\ell _{0}$ «норма» Дэвида Донохо , чьи кавычки предупреждают, что эта функция не является настоящей нормой, — это количество ненулевых элементов вектора. $x.$Многие авторы злоупотребляют терминологией , опуская кавычки. Определение $0^{0}=0,$ нулевая «норма» $x$ равно

$$|x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.$$

Анимированная гифка p-норм от 0,1 до 2 с шагом 0,05.

Это не норма , поскольку оно неоднородно . Например, масштабирование вектора $x$на положительную константу не меняет «норму». Несмотря на эти дефекты в качестве математической нормы, ненулевая «норма» счета находит применение в научных вычислениях , теории информации и статистике , особенно в сжатом измерении при обработке сигналов и вычислительном гармоническом анализе . , не является нормой, Несмотря на то, что соответствующая метрика, известная как расстояние Хэмминга она является допустимым расстоянием, поскольку для расстояний не требуется однородность.

p -норма в бесконечных измерениях и ℓ ^п пробелы

Пространство последовательности ℓ ^п

Дополнительная информация: Пространство последовательностей.

The $p$-норма может быть расширена до векторов, которые имеют бесконечное число компонентов ( последовательностей ), что дает пространство $\ell ^{p}.$В качестве особых случаев он содержит:

• $\ell ^{1},$ пространство последовательностей, ряды которых абсолютно сходятся ,
• $\ell ^{2},$ пространство суммируемых с квадратом последовательностей, которое является гильбертовым пространством , и
• $\ell ^{\infty },$ пространство ограниченных последовательностей .

Пространство последовательностей имеет естественную структуру векторного пространства за счет применения сложения и скалярного умножения координаты на координату. Явно векторная сумма и скалярное действие для бесконечных последовательностей действительных (или комплексных ) чисел задаются формулой:

$${\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}$$

Определите $p$-норма:

$$\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}$$

Здесь возникает сложность, а именно то, что ряд справа не всегда сходится, поэтому, например, последовательность, состоящая только из единиц, $(1,1,1,\ldots ),$ будет иметь бесконечность $p$-норма для $1\leq p<\infty .$ Космос $\ell ^{p}$ тогда определяется как набор всех бесконечных последовательностей действительных (или комплексных) чисел таких, что $p$-норма конечна.

Это можно проверить как $p$ увеличивается, набор $\ell ^{p}$становится больше. Например, последовательность

$$\left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)$$

не в $\ell ^{1},$ но это в $\ell ^{p}$ для $p>1,$ как сериал

$$1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,$$

расходится по $p=1$ ( гармонический ряд ), но сходится при $p>1.$

Также определяется $\infty$-норма с использованием супремума :

$$\|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )$$

и соответствующее пространство $\ell ^{\infty }$всех ограниченных последовательностей. Оказывается, что

$$\|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}$$

если правая часть конечна или левая часть бесконечна. Таким образом, мы будем рассматривать $\ell ^{p}$ места для $1\leq p\leq \infty .$

The $p$-норма, определенная таким образом на $\ell ^{p}$ это действительно норма и $\ell ^{p}$вместе с этой нормой является банаховым пространством . Полностью общий $L^{p}$пространство получается, как показано ниже, путем рассмотрения векторов не только с конечным или счетно-бесконечным числом компонентов, но и с « произвольным числом компонентов »; другими словами, функции . сумма . Для определения величины используется интеграл, а не $p$-норма.

Общий ℓ ^п -пробел

По полной аналогии с предыдущим определением можно определить пространство $\ell ^{p}(I)$ по общему набору индексов $I$ (и $1\leq p<\infty$) как

$$\ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},$$

где сходимость справа означает, что только счетное число слагаемых отличны от нуля (см. также «Безусловная сходимость »). С нормой

$$\|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}$$

космос $\ell ^{p}(I)$становится банаховым пространством. В случае, когда $I$ конечно с $n$ элементы, эта конструкция дает $\mathbb {R} ^{n}$ с $p$-норма, определенная выше. Если $I$ счетно бесконечно, это и есть пространство последовательностей $\ell ^{p}$определено выше. Для бесчисленных множеств $I$ это несепарабельное банахово пространство, которое можно рассматривать как локально выпуклый прямой предел $\ell ^{p}$-пространства последовательности.

Для $p=2,$ тот $\|\,\cdot \,\|_{2}$-норма даже индуцируется каноническим скалярным произведением $\langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,$ называется Евклидов внутренний продукт , а это означает, что $\|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}$ справедливо для всех векторов $\mathbf {x} .$Этот внутренний продукт можно выразить через норму, используя тождество поляризации . На $\ell ^{2},$ это может быть определено с помощью

$$\langle \left(x_{i}\right)_{i},\left(y_{n}\right)_{i}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}$$

а для космоса $L^{2}(X,\mu )$ связанный с пространством меры $(X,\Sigma ,\mu ),$ который состоит из всех интегрируемых с квадратом функций , это

$$\langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.$$

Теперь рассмотрим случай $p=\infty .$ Определять

$$\ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \},$$

где для всех $x$

$$\|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ for all }}i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatorname {range} |x|&{\text{if }}X\neq \varnothing ,\\0&{\text{if }}X=\varnothing .\end{cases}}$$

Набор индексов $I$можно превратить в пространство с мерой , придав ему дискретную σ-алгебру и считающую меру . Тогда пространство $\ell ^{p}(I)$ это всего лишь частный случай более общего $L^{p}$-пространство (определено ниже).

л ^п пространства и интегралы Лебега

Ан $L^{p}$ пространство можно определить как пространство измеримых функций, для которых $p$-я степень абсолютной величины интегрируема по Лебегу , где отождествлены функции, совпадающие почти всюду. В более общем смысле, пусть $(S,\Sigma ,\mu )$ быть пространством меры и $1\leq p\leq \infty .$ Когда $p\neq \infty$, рассмотрим множество ${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ всех измеримых функций $f$ от $S$ к $\mathbb {C}$ или $\mathbb {R}$ которого абсолютное значение возросло до $p$-я степень имеет конечный интеграл, или в символах:

$$\|f\|_{p}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .$$

Чтобы определить набор для $p=\infty ,$ напомним, что две функции $f$ и $g$ определено на $S$ говорят, что они равны почти везде , написано $f=g$ а.е. , если набор $\{s\in S:f(s)\neq g(s)\}$измеримо и имеет меру ноль. Аналогично, измеримая функция $f$ (и его абсолютное значение ) ограничено (или доминировано ) почти всюду действительным числом $C,$ написано $|f|\leq C$ ae , если (обязательно) измеримое множество $\{s\in S:|f(s)|>C\}$имеет меру ноль. Космос ${\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )$ представляет собой совокупность всех измеримых функций $f$ ограниченные почти всюду (некоторыми реальными $C$) и $\|f\|_{\infty }$ определяется как нижняя грань этих границ:

$$\|f\|_{\infty }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(s)|\leq C{\text{ for almost every }}s\}.$$

Когда $\mu (S)\neq 0$ тогда это то же самое, что и существенная верхняя граница абсолютного значения $f$:

$$\|f\|_{\infty }~=~{\begin{cases}\operatorname {esssup} |f|&{\text{if }}\mu (S)>0,\\0&{\text{if }}\mu (S)=0.\end{cases}}$$

Например, если $f$ – измеримая функция, равная $0$ почти везде затем $\|f\|_{p}=0$ для каждого $p$ и поэтому $f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ для всех $p.$

За каждый позитив $p,$ значение под $\|\,\cdot \,\|_{p}$ измеримой функции $f$ и его абсолютное значение $|f|:S\to [0,\infty ]$ всегда одинаковы (т. $\|f\|_{p}=\||f|\|_{p}$ для всех $p$) и, следовательно, измеримая функция принадлежит ${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$тогда и только тогда, когда его абсолютное значение соответствует. По этой причине многие формулы, включающие $p$-нормы установлены только для неотрицательных вещественных функций. Рассмотрим, например, тождество $\|f\|_{p}^{r}=\|f^{r}\|_{p/r},$ который имеет место всякий раз, когда $f\geq 0$ измерима, $r>0$ реально, и $0<p\leq \infty$ (здесь $\infty /r\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\infty$ когда $p=\infty$). Требование неотрицательности $f\geq 0$ можно удалить, заменив $|f|$ в течение $f,$ который дает $\|\,|f|\,\|_{p}^{r}=\|\,|f|^{r}\,\|_{p/r}.$ Особо отметим, что когда $p=r$ конечно, то формула $\|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}$ относится к $p$-норма для $1$-норма.

Полунормированное пространство $p$интегрируемые функции в -й степени

Каждый набор функций ${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ образует векторное пространство , когда сложение и скалярное умножение определяются поточечно. что сумма двух $p$интегрируемые функции в -й степени $f$ и $g$ снова $p$Интегрируемая в -й степени следует из ${\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),}$ хотя это также является следствием неравенства Минковского

$$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$$

который устанавливает, что $\|\cdot \|_{p}$ удовлетворяет неравенству треугольника для $1\leq p\leq \infty$ (неравенство треугольника не выполняется для $0<p<1$). Что ${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ замкнуто при скалярном умножении, поскольку $\|\cdot \|_{p}$ быть абсолютно однородным , а это означает, что $\|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}$ для каждого скаляра $s$ и каждая функция $f.$

Абсолютная однородность , неравенство треугольника и неотрицательность являются определяющими свойствами полунормы . Таким образом $\|\cdot \|_{p}$ является полунормой, а множество ${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ из $p$-й степени интегрируемые функции вместе с функцией $\|\cdot \|_{p}$определяет полунормированное векторное пространство . В целом полунорма $\|\cdot \|_{p}$ не является нормой , поскольку могут существовать измеримые функции $f$ которые удовлетворяют $\|f\|_{p}=0$ но не тождественно равны $0$ ( $\|\cdot \|_{p}$ является нормой тогда и только тогда, когда такого нет $f$ существует).

Ноль наборов $p$-полунормы

Если $f$ измеримо и равно $0$ да, тогда $\|f\|_{p}=0$ за все позитивное $p\leq \infty .$ С другой стороны, если $f$ — измеримая функция, для которой существует некоторое $0<p\leq \infty$ такой, что $\|f\|_{p}=0$ затем $f=0$почти везде. Когда $p$ конечно, то это следует из $p=1$ случай и формула $\|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}$ упомянутое выше.

Таким образом, если $p\leq \infty$ является положительным и $f$ — любая измеримая функция, то $\|f\|_{p}=0$ если и только если $f=0$ почти везде . Поскольку правая часть ( $f=0$ ае) не упоминает $p,$ следует, что все $\|\cdot \|_{p}$ имеют одинаковый набор нулей (это не зависит от $p$). Итак, обозначим это общее множество через

$${\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.$$

Это множество является векторным подпространством ${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ за каждый позитив $p\leq \infty .$

Факторно-векторное пространство

Как и всякая полунорма , полунорма $\|\cdot \|_{p}$ индуцирует норму (определенную ниже) в каноническом фактор-векторном пространстве ${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ своим векторным подпространством ${\textstyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.}$Это нормированное факторпространство называется пространством Лебега , и оно является предметом данной статьи. Начнем с определения фактор-векторного пространства.

Учитывая любой $f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),$ младшая сестра $f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}$ состоит из всех измеримых функций $g$ которые равны $f$ почти везде . Набор всех смежных классов, обычно обозначаемый

$${\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\},$$

образует векторное пространство с началом координат $0+{\mathcal {N}}={\mathcal {N}}$ когда сложение векторов и скалярное умножение определяются формулой $(f+{\mathcal {N}})+(g+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}$ и $s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.$ Это конкретное фактор-векторное пространство будет обозначаться через $L^{p}(S,\,\mu )~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}.$

Два смежных класса равны $f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}$ если и только если $g\in f+{\mathcal {N}}$ (или, что то же самое, $f-g\in {\mathcal {N}}$), что происходит тогда и только тогда, когда $f=g$почти везде; если это так, то $f$ и $g$ идентифицируются в факторпространстве.

The $p$-норма в фактор-векторном пространстве

Учитывая любой $f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),$ значение полунормы $\|\cdot \|_{p}$ на косметичке $f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}$ постоянна и равна $\|f\|_{p};$ обозначим это уникальное значение через $\|f+{\mathcal {N}}\|_{p},$ так что:

$$\|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}.$$

Это задание $f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}$ определяет карту, которую также будем обозначать через $\|\cdot \|_{p},$ в фактор-векторном пространстве

$$L^{p}(S,\mu )~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~=~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}.$$

Эта карта нормой является $L^{p}(S,\mu )$ называется $p$-норма . Значение $\|f+{\mathcal {N}}\|_{p}$ одноклассника $f+{\mathcal {N}}$ не зависит от конкретной функции $f$ который был выбран для представления смежного класса, а это означает, что если ${\mathcal {C}}\in L^{p}(S,\mu )$ есть ли тогда какой-нибудь смежный класс $\|{\mathcal {C}}\|_{p}=\|f\|_{p}$ для каждого $f\in {\mathcal {C}}$ (с ${\mathcal {C}}=f+{\mathcal {N}}$ для каждого $f\in {\mathcal {C}}$).

Лебег $L^{p}$ космос

Нормированное векторное пространство $\left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)$ называется $L^{p}$ пространство или Лебега пространство $p$функции, интегрируемые в -й степени, и это банахово пространство для каждого $1\leq p\leq \infty$(это означает, что это полное метрическое пространство , результат, который иногда называют теоремой Рисса-Фишера ). Когда базовое пространство меры $S$ тогда понятно $L^{p}(S,\mu )$ часто сокращается $L^{p}(\mu ),$ или даже просто $L^{p}.$ В зависимости от автора, индексная запись $L_{p}$ может обозначать либо $L^{p}(S,\mu )$ или $L^{1/p}(S,\mu ).$

Если полунорма $\|\cdot \|_{p}$ на ${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ оказывается нормой (что происходит тогда и только тогда, когда ${\mathcal {N}}=\{0\}$) то нормированное пространство $\left({\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)$ будет линейно изометрически изоморфно нормированному фактор-пространству $\left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)$ через каноническую карту $g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )\mapsto \{g\}$ (с $g+{\mathcal {N}}=\{g\}$); другими словами, они будут с точностью до линейной изометрии одним и тем же нормированным пространством, и поэтому их обоих можно назвать « $L^{p}$ космос".

Приведенные выше определения обобщаются на пространства Бохнера .

В общем, этот процесс невозможно повернуть вспять: не существует последовательного способа определить «канонического» представителя каждого смежного класса. ${\mathcal {N}}$ в $L^{p}.$ Для $L^{\infty },$ однако существует теория лифтов, позволяющая такое восстановление.

Особые случаи

Подобно $\ell ^{p}$ пространства, $L^{2}$ является единственным гильбертовым пространством среди $L^{p}$пространства. В сложном случае скалярное произведение $L^{2}$ определяется

$$\langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)$$

Дополнительная структура внутреннего продукта позволяет создать более богатую теорию с приложениями, например, к рядам Фурье и квантовой механике . Функции в $L^{2}$ иногда называются функциями, интегрируемыми с квадратом , функциями, суммируемыми с квадратом , или функциями, суммируемыми с квадратом , но иногда эти термины зарезервированы для функций, интегрируемых с квадратом в каком-то другом смысле, например, в смысле интеграла Римана ( Titchmarsh 1976 ).

Если мы используем комплексные функции, пространство $L^{\infty }$— коммутативная C*-алгебра с поточечным умножением и сопряжением. Для многих пространств с мерой, включая все сигма-конечные, это фактически коммутативная алгебра фон Неймана . Элемент $L^{\infty }$ определяет ограниченный оператор на любом $L^{p}$ пространство умножением .

Для $1\leq p\leq \infty$ тот $\ell ^{p}$ пространства являются частным случаем $L^{p}$ пространства, когда $S=\mathbb {N} )$ состоит из натуральных чисел и $\mu$ является мерой счетной $\mathbb {N} .$В более общем смысле, если рассматривать любой набор $S$ со счетной мерой, результирующий $L^{p}$ пространство обозначается $\ell ^{p}(S).$ Например, пространство $\ell ^{p}(\mathbb {Z} )$— это пространство всех последовательностей, индексированных целыми числами, и при определении $p$-норма в таком пространстве суммируется по всем целым числам. Космос $\ell ^{p}(n),$ где $n$ это набор с $n$ элементы, это $\mathbb {R} ^{n}$ с этими $p$-норма, как определено выше. Как и любое гильбертово пространство, каждое пространство $L^{2}$ линейно изометрично подходящему $\ell ^{2}(I),$ где мощность множества $I$ — мощность произвольного гильбертова базиса для данного конкретного $L^{2}.$

Свойства L ^п пробелы

Как и в дискретном случае, если существует $q<\infty$ такой, что $f\in L^{\infty }(S,\mu )\cap L^{q}(S,\mu ),$ затем

$$\|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}.$$

Неравенство Гёльдера

Предполагать $p,q,r\in [1,\infty ]$ удовлетворить ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}$ (где ${\tfrac {1}{\infty }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~0$). Если $f\in L^{p}(S,\mu )$ и $g\in L^{q}(S,\mu )$ затем $fg\in L^{r}(S,\mu )$ и

$$\|fg\|_{r}~\leq ~\|f\|_{p}\,\|g\|_{q}.$$

Это неравенство, называемое неравенством Гёльдера , в некотором смысле является оптимальным. поскольку если $r=1$ (так ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$) и $f$ — измеримая функция такая, что

$$\sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu ~<~\infty$$

где верхняя грань берется по замкнутому единичному шару $L^{q}(S,\mu ),$ затем $f\in L^{p}(S,\mu )$ и

$$\|f\|_{p}~=~\sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu .$$

Неравенство Минковского

Неравенство Минковского , которое гласит, что $\|\cdot \|_{p}$удовлетворяет неравенству треугольника , можно обобщить: Если измеримая функция $F:M\times N\to \mathbb {R}$ неотрицательен (где $(M,\mu )$ и $(N,\nu )$ являются пространствами с мерой), то для всех $1\leq p\leq q\leq \infty ,$

$$\left\|\left\|F(\,\cdot ,n)\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\right\|_{L^{q}(N,\nu )}~\leq ~\left\|\left\|F(m,\cdot )\right\|_{L^{q}(N,\nu )}\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\ .$$

Атомный разложение

Если $1\leq p<\infty$ тогда каждое неотрицательное $f\in L^{p}(\mu )$ имеет атомный распад , означает, что существует последовательность $(r_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ неотрицательных действительных чисел и последовательности неотрицательных функций $(f_{n})_{n\in \mathbb {Z} },$ называются атомами , носители которых $\left(\operatorname {supp} f_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }$ являются попарно непересекающимися множествами меры $\mu \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)\leq 2^{n+1},$ такой, что

$$f~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}\,f_{n}\,,$$

и для каждого целого числа $n\in \mathbb {Z} ,$

$$\|f_{n}\|_{\infty }~\leq ~2^{-{\tfrac {n}{p}}}\,,$$

и

$${\tfrac {1}{2}}\|f\|_{p}^{p}~\leq ~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}~\leq ~2\|f\|_{p}^{p}\,,$$

и где, кроме того, последовательность функций $(r_{n}f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ зависит только от $f$ (это независимо от $p$). Эти неравенства гарантируют, что $\|f_{n}\|_{p}^{p}\leq 2$ для всех целых чисел $n$ в то время как опоры $(f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ быть попарно непересекающимся означает

$$\|f\|_{p}^{p}~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}\,\|f_{n}\|_{p}^{p}\,.$$

Атомное разложение может быть задано явно, сначала определив для каждого целого числа $n\in \mathbb {Z} ,$

$$t_{n}=\inf\{t\in \mathbb {R} :\mu (f>t)<2^{n}\}$$

(эта нижняя грань достигается $t_{n};$ то есть, $\mu (f>t_{n})<2^{n}$ держится), а затем позволяя

$$r_{n}~=~2^{n/p}\,t_{n}~{\text{ and }}\quad f_{n}~=~{\frac {f}{r_{n}}}\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}$$

где $\mu (f>t)=\mu (\{s:f(s)>t\})$ обозначает меру множества $(f>t):=\{s\in S:f(s)>t\}$ и $\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}$ обозначает индикаторную функцию множества $(t_{n+1}<f\leq t_{n}):=\{s\in S:t_{n+1}<f(s)\leq t_{n}\}.$ Последовательность $(t_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ уменьшается и сходится к $0$ как $n\to \infty .$ Следовательно, если $t_{n}=0$ затем $t_{n+1}=0$ и $(t_{n+1}<f\leq t_{n})=\varnothing$ так что $f_{n}={\frac {1}{r_{n}}}\,f\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}$ тождественно равен $0$ (в частности, подразделение ${\tfrac {1}{r_{n}}}$ к $r_{n}=0$ никаких проблем не вызывает).

Дополнительная кумулятивная функция распределения $t\in \mathbb {R} \mapsto \mu (|f|>t)$ из $|f|=f$ который использовался для определения $t_{n}$ также появляется в определении слабого $L^{p}$-норма (приведена ниже) и может использоваться для выражения $p$-норма $\|\cdot \|_{p}$ (для $1\leq p<\infty$) из $f\in L^{p}(S,\mu )$ как интеграл

$$\|f\|_{p}^{p}~=~p\,\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\mu (|f|>t)\,\mathrm {d} t\,,$$

где интегрирование ведется по обычной мере Лебега на $(0,\infty ).$

Двойные пробелы

Двойственное пространство (банахово пространство всех непрерывных линейных функционалов) $L^{p}(\mu )$ для $1<p<\infty$ имеет естественный изоморфизм с $L^{q}(\mu ),$ где $q$ таков, что ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ (т.е. $q={\tfrac {p}{p-1}}$). Этот изоморфизм сопоставляет $g\in L^{q}(\mu )$ с функционалом $\kappa _{p}(g)\in L^{p}(\mu )^{*}$ определяется

$$f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu$$

для каждого $f\in L^{p}(\mu ).$

Дело в том, что $\kappa _{p}(g)$ корректно определено и непрерывно следует из неравенства Гёльдера . $\kappa _{p}:L^{q}(\mu )\to L^{p}(\mu )^{*}$— линейное отображение, являющееся изометрией в силу экстремального случая неравенства Гёльдера. Можно также показать (например, с помощью теоремы Радона–Никодима , см. ) что-нибудь $G\in L^{p}(\mu )^{*}$ можно выразить так: т. е. что $\kappa _{p}$находится на . С $\kappa _{p}$ононичен и изометричен, это изоморфизм банаховых пространств . Имея в виду этот (изометрический) изоморфизм, обычно говорят просто, что $L^{q}(\mu )$ представляет собой двойственное пространство непрерывное $L^{p}(\mu ).$

Для $1<p<\infty ,$ космос $L^{p}(\mu )$является рефлексивным . Позволять $\kappa _{p}$ будь таким, как указано выше, и пусть $\kappa _{q}:L^{p}(\mu )\to L^{q}(\mu )^{*}$— соответствующая линейная изометрия. Рассмотрим карту из $L^{p}(\mu )$ к $L^{p}(\mu )^{**},$ полученный путем составления $\kappa _{q}$ с транспонированием (или сопряжением) обратного числа $\kappa _{p}:$

$$j_{p}:L^{p}(\mu )\mathrel {\overset {\kappa _{q}}{\longrightarrow }} L^{q}(\mu )^{*}\mathrel {\overset {\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }} L^{p}(\mu )^{**}$$

Это отображение совпадает с каноническим вложением $J$ из $L^{p}(\mu )$в его бидуал. Более того, карта $j_{p}$ является онтоном как композицией двух онто-изометрий, и это доказывает рефлексивность.

Если мера $\mu$ на $S$ является сигма-конечным , то двойственное $L^{1}(\mu )$ изометрически изоморфен $L^{\infty }(\mu )$ (точнее, карта $\kappa _{1}$ соответствующий $p=1$ представляет собой изометрию от $L^{\infty }(\mu )$ на $L^{1}(\mu )^{*}.$

Двойник $L^{\infty }(\mu )$является более тонким. Элементы $L^{\infty }(\mu )^{*}$ можно отождествить с ограниченными знаковыми конечно- аддитивными мерами на $S$ которые абсолютно непрерывны относительно $\mu .$ см. в разделе ba space Более подробную информацию . Если принять аксиому выбора, это пространство намного больше, чем $L^{1}(\mu )$за исключением некоторых тривиальных случаев. Однако Сахарон Шелах доказал, что существуют относительно непротиворечивые расширения теории множеств Цермело – Френкеля (ZF + DC + «Каждое подмножество действительных чисел обладает свойством Бэра »), в которых двойственное $\ell ^{\infty }$ является $\ell ^{1}.$

Вложения

В разговорной речи, если $1\leq p<q\leq \infty ,$ затем $L^{p}(S,\mu )$ содержит функции, которые более локально сингулярны, а элементы $L^{q}(S,\mu )$можно более развернуть. Рассмотрим меру Лебега на полупрямой $(0,\infty ).$ Непрерывная функция в $L^{1}$ может взорваться рядом $0$но должен достаточно быстро затухать по направлению к бесконечности. С другой стороны, непрерывные функции в $L^{\infty }$вообще не обязательно распадаться, но и раздуваться нельзя. Точный технический результат заключается в следующем. Предположим, что $0<p<q\leq \infty .$ Затем:

1. $L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )$ если и только если $S$ не содержит множеств конечной, но сколь угодно большой меры ( любой конечной меры ). например,
2. $L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )$ если и только если $S$ не содержит множеств ненулевой, но сколь угодно малой меры ( считающей меры ). например,

Ни одно из условий не выполняется для вещественной прямой с мерой Лебега, тогда как оба условия выполняются для считающей меры на любом конечном множестве. В обоих случаях вложение непрерывно, поскольку тождественный оператор представляет собой ограниченное линейное отображение из $L^{q}$ к $L^{p}$ в первом случае и $L^{p}$ к $L^{q}$В секунду. (Это следствие теоремы о замкнутом графике и свойств $L^{p}$пространства.) Действительно, если область $S$ имеет конечную меру, можно сделать следующий явный расчет, используя неравенство Гёльдера

$$\ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}$$

ведущий к

$$\ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.$$

Константа, входящая в приведенное выше неравенство, оптимальна в том смысле, что операторная норма тождества $I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )$ это именно

$$\|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}$$

случай равенства достигается именно тогда, когда $f=1$ $\mu$-почти везде.

Плотные подпространства

На протяжении всего этого раздела мы предполагаем, что $1\leq p<\infty .$

Позволять $(S,\Sigma ,\mu )$быть пространством меры. Интегрируемая простая функция $f$ на $S$ это одна из форм

$$f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}$$

где $a_{j}$ являются скалярами, $A_{j}\in \Sigma$ имеет конечную меру и ${\mathbf {1} }_{A_{j}}$ – индикаторная функция множества $A_{j},$ для $j=1,\dots ,n.$ По построению интеграла векторное пространство интегрируемых простых функций плотно в $L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).$

Больше можно сказать, когда $S$ является нормальным топологическим пространством и $\Sigma$ ее борелевская 𝜎–алгебра , т. е. наименьшая 𝜎–алгебра подмножеств $S$ содержащие открытые множества .

Предполагать $V\subseteq S$ представляет собой открытый набор с $\mu (V)<\infty .$ Можно доказать, что для любого борелевского множества $A\in \Sigma$ содержалась в $V,$ и для каждого $\varepsilon >0,$ существует закрытое множество $F$ и открытый набор $U$ такой, что

$$F\subseteq A\subseteq U\subseteq V\quad {\text{and}}\quad \mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon$$

Отсюда следует, что существует непрерывная функция Урысона $0\leq \varphi \leq 1$ на $S$ то есть $1$ на $F$ и $0$ на $S\setminus U,$ с

$$\int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \,.$$

Если $S$ можно охватить возрастающей последовательностью $(V_{n})$ открытых множеств, имеющих конечную меру, то пространство $p$– интегрируемая непрерывная функция плотна в $L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).$ Точнее, можно использовать ограниченные непрерывные функции, обращающиеся в нуль вне одного из открытых множеств $V_{n}.$

Это касается, в частности, случаев, когда $S=\mathbb {R} ^{d}$ и когда $\mu$является мерой Лебега. Пространство непрерывных и финитных функций плотно в $L^{p}(\mathbb {R} ^{d}).$ Аналогично пространство интегрируемых ступенчатых функций плотно в $L^{p}(\mathbb {R} ^{d});$ это пространство представляет собой линейную оболочку индикаторных функций ограниченных интервалов, когда $d=1,$ ограниченных прямоугольников, когда $d=2$ и, в более общем плане, произведений ограниченных интервалов.

Некоторые свойства общих функций в $L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$сначала доказываются для непрерывных и финитных функций (иногда для ступенчатых функций), затем по плотности распространяются на все функции. Например, таким образом доказывается, что переводы непрерывны на $L^{p}(\mathbb {R} ^{d}),$ в следующем смысле:

$$\forall f\in L^{p}\left(\mathbb {R} ^{d}\right):\quad \left\|\tau _{t}f-f\right\|_{p}\to 0,\quad {\text{as }}\mathbb {R} ^{d}\ni t\to 0,$$

где

$$(\tau _{t}f)(x)=f(x-t).$$

Закрытые подпространства

Если $0<p<\infty$ любое положительное действительное число, $\mu$ является вероятностной мерой в измеримом пространстве $(S,\Sigma )$ (так что $L^{\infty }(\mu )\subseteq L^{p}(\mu )$), и $V\subseteq L^{\infty }(\mu )$ является векторным подпространством, то $V$ является замкнутым подпространством $L^{p}(\mu )$ если и только если $V$ конечномерен ( $V$ был выбран независимо от $p$). В этой теореме, принадлежащей Александру Гротендику , крайне важно, чтобы векторное пространство $V$ быть подмножеством $L^{\infty }$ поскольку можно построить бесконечномерное замкнутое векторное подпространство $L^{1}\left(S^{1},{\tfrac {1}{2\pi }}\lambda \right)$ (это даже подмножество $L^{4}$), где $\lambda$ является мерой Лебега на единичной окружности $S^{1}$ и ${\tfrac {1}{2\pi }}\lambda$ - это вероятностная мера, возникающая в результате деления его на его массу. $\lambda (S^{1})=2\pi .$

л ^п (0 < p <1)

Позволять $(S,\Sigma ,\mu )$быть пространством меры. Если $0<p<1,$ затем $L^{p}(\mu )$ можно определить, как указано выше: это фактор-векторное пространство этих измеримых функций $f$ такой, что

$$N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .$$

Как и прежде, мы можем представить $p$-норма $\|f\|_{p}=N_{p}(f)^{1/p},$ но $\|\cdot \|_{p}$в этом случае не удовлетворяет неравенству треугольника и определяет только квазинорму . Неравенство $(a+b)^{p}\leq a^{p}+b^{p},$ Годен до $a,b\geq 0,$ подразумевает, что ( Рудин 1991 , §1.47)

$$N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)$$

и поэтому функция

$$d_{p}(f,g)=N_{p}(f-g)=\|f-g\|_{p}^{p}$$

является показателем $L^{p}(\mu ).$ Полученное метрическое пространство является полным ; проверка аналогична знакомому случаю, когда $p\geq 1.$ Мячи

$$B_{r}=\{f\in L^{p}:N_{p}(f)<r\}$$

образуют локальную базу в начале этой топологии, поскольку $r>0$ колеблется в пределах положительных реалов. Эти шарики удовлетворяют $B_{r}=r^{1/p}B_{1}$ для всех реально $r>0,$ что, в частности, показывает, что $B_{1}$ является ограниченной окрестностью начала координат; другими словами, это пространство локально ограничено, как и всякое нормированное пространство , несмотря на $\|\cdot \|_{p}$ не являющееся нормой.

В этой обстановке $L^{p}$ удовлетворяет обратному неравенству Минковского , то есть для $u,v\in L^{p}$

$${\Big \|}|u|+|v|{\Big \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}$$

Этот результат может быть использован для доказательства неравенств Кларксона , которые, в свою очередь, используются для установления равномерной выпуклости пространств. $L^{p}$ для $1<p<\infty$ ( Адамс и Фурнье, 2003 ).

Космос $L^{p}$ для $0<p<1$является F-пространством : оно допускает полную трансляционно-инвариантную метрику, относительно которой операции векторного пространства непрерывны. Это прототипный пример F-пространства , которое для большинства разумных пространств с мерой не является локально выпуклым : в $\ell ^{p}$ или $L^{p}([0,1]),$ любое открытое выпуклое множество, содержащее $0$ функция неограничена для $p$-квазинорма; Следовательно $0$вектор не обладает фундаментальной системой выпуклых окрестностей. В частности, это верно, если пространство меры $S$ содержит бесконечное семейство непересекающихся измеримых множеств конечной положительной меры.

Единственное непустое выпуклое открытое множество в $L^{p}([0,1])$— все пространство ( Рудин 1991 , §1.47). Как частное следствие, не существует ненулевых непрерывных линейных функционалов на $L^{p}([0,1]);$непрерывное двойственное пространство является нулевым пространством. В случае считающей меры натуральных чисел (образующей пространство последовательностей $L^{p}(\mu )=\ell ^{p}$), ограниченные линейные функционалы на $\ell ^{p}$ это именно те, которые ограничены $\ell ^{1},$ а именно те, которые заданы последовательностями в $\ell ^{\infty }.$ Хотя $\ell ^{p}$ содержит нетривиальные выпуклые открытые множества, их недостаточно, чтобы дать основу топологии.

Ситуация отсутствия линейных функционалов крайне нежелательна для целей анализа. В случае меры Лебега на $\mathbb {R} ^{n},$ вместо того, чтобы работать с $L^{p}$ для $0<p<1,$ принято работать с пространством Харди H ^п когда это возможно, так как у него довольно много линейных функционалов: достаточно, чтобы отличать точки друг от друга. Однако теорема Хана–Банаха по-прежнему не работает в H ^п для $p<1$ ( Дюрен 1970 , §7.5).

л ⁰ , пространство измеримых функций

Векторное пространство (классов эквивалентности) измеримых функций на $(S,\Sigma ,\mu )$ обозначается $L^{0}(S,\Sigma ,\mu )$( Калтон, Пек и Робертс, 1984 ). По определению, он содержит все $L^{p},$и снабжен топологией сходимости по мере . Когда $\mu$ является вероятностной мерой (т. е. $\mu (S)=1$), этот способ сходимости называется сходимостью по вероятности . Космос $L^{0}$ всегда является топологической абелевой группой , но является топологическим векторным пространством только в том случае, если $\mu (S)<\infty .$ Это связано с тем, что скалярное умножение непрерывно тогда и только тогда, когда $\mu (S)<\infty .$ Если $(S,\Sigma ,\mu )$ является $\sigma$-конечно, то более слабая топология локальной сходимости по мере является F-пространством , т. е. вполне метризуемым топологическим векторным пространством . Более того, эта топология изометрична глобальной сходимости по мере $(S,\Sigma ,\nu )$ для подходящего выбора вероятностной меры $\nu .$

Описание проще, если $\mu$конечно. Если $\mu$ является конечной мерой на $(S,\Sigma ),$ тот $0$ функция допускает для сходимости по мере следующую фундаментальную систему окрестностей

$$V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0.$$

Топология может быть определена любой метрикой $d$ формы

$$d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)$$

где $\varphi$ ограничен, непрерывен, вогнут и не убывает на $[0,\infty ),$ с $\varphi (0)=0$ и $\varphi (t)>0$ когда $t>0$ (например, $\varphi (t)=\min(t,1).$ Такая метрика называется метрикой Леви для $L^{0}.$ По этой метрике пространство $L^{0}$завершено. Однако, как уже говорилось выше, скалярное умножение непрерывно относительно этой метрики только в том случае, если $\mu (S)<\infty$. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим измеримую функцию Лебега $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ определяется $f(x)=x$. Тогда ясно $\lim _{c\rightarrow 0}d(cf,0)=\infty$. Космос $L^{0}$ вообще говоря, не локально ограничено и не локально выпукло.

Для бесконечной меры Лебега $\lambda$ на $\mathbb {R} ^{n},$ определение фундаментальной системы окрестностей можно изменить следующим образом

$$W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon {\text{ and }}|x|<{\tfrac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}$$

Получившееся пространство $L^{0}(\mathbb {R} ^{n},\lambda )$, с топологией локальной сходимости по мере, изоморфно пространству $L^{0}(\mathbb {R} ^{n},g\,\lambda ),$ за любой позитив $\lambda$– интегрируемая плотность $g.$

Обобщения и расширения

Слабый Л ^п

Позволять $(S,\Sigma ,\mu )$ быть пространством меры, и $f$ с измеримая функция действительными или комплексными значениями $S.$ Функция распределения ​ $f$ определяется для $t\geq 0$ к

$$\lambda _{f}(t)=\mu \{x\in S:|f(x)|>t\}.$$

Если $f$ в $L^{p}(S,\mu )$ для некоторых $p$ с $1\leq p<\infty ,$ тогда по неравенству Маркова ,

$$\lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}$$

Функция $f$ говорят, что он в космосе слабый $L^{p}(S,\mu )$, или $L^{p,w}(S,\mu ),$ если есть константа $C>0$ такой, что для всех $t>0,$

$$\lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}$$

Самая лучшая константа $C$ для этого неравенства $L^{p,w}$-норма $f,$ и обозначается

$$\|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).$$

Слабые $L^{p}$ совпадают с пространствами Лоренца $L^{p,\infty },$ поэтому это обозначение также используется для их обозначения.

The $L^{p,w}$-норма не является истинной нормой, поскольку неравенство треугольника не выполняется. Тем не менее, для $f$ в $L^{p}(S,\mu ),$

$$\|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}$$

и в частности $L^{p}(S,\mu )\subset L^{p,w}(S,\mu ).$

Фактически, у человека есть

$$\|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x)\geq \int _{\{|f(x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p}\geq t^{p}\mu (\{|f|>t\}),$$

и приход к власти $1/p$ и взяв супремум в $t$ надо

$$\|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\|f\|_{L^{p,w}}.$$

Согласно соглашению, две функции равны, если они равны $\mu$ почти везде, то пробелы $L^{p,w}$ полны ( Grafakos 2004 ).

Для любого $0<r<p$ выражение

$$\||f|\|_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1/p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}$$

сравнимо с $L^{p,w}$-норма. Далее в деле $p>1,$ это выражение определяет норму, если $r=1.$ Следовательно, для $p>1$ слабые $L^{p}$ пространства являются банаховыми пространствами ( Grafakos 2004 ).

Основной результат, в котором используется $L^{p,w}$-пространства — это интерполяционная теорема Марцинкевича , которая имеет широкие приложения к гармоническому анализу и изучению сингулярных интегралов .

Взвешенный L ^п пробелы

Как и раньше, рассмотрим пространство с мерой $(S,\Sigma ,\mu ).$ Позволять $w:S\to [a,\infty ),a>0$быть измеримой функцией. $w$- взвешенный $L^{p}$ пространство определяется как $L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu ),$ где $w\,\mathrm {d} \mu$ означает меру $\nu$ определяется

$$\nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,$$

или, через производную Радона–Никодима , $w={\tfrac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}$ норма ​ для $L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )$ явно

$$\|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{1/p}$$

Как $L^{p}$-пространства, взвешенные пробелы не имеют ничего особенного, поскольку $L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )$ равно $L^{p}(S,\mathrm {d} \nu ).$Но они являются естественной основой для некоторых результатов гармонического анализа ( Grafakos 2004 ); они появляются, например, в теореме Макенхаупта : для $1<p<\infty ,$ классическое преобразование Гильберта определено на $L^{p}(\mathbf {T} ,\lambda )$ где $\mathbf {T}$ обозначает единичный круг и $\lambda$мера Лебега; (нелинейный) максимальный оператор Харди–Литтлвуда ограничен на $L^{p}(\mathbb {R} ^{n},\lambda ).$ Теорема Макенхаупта описывает веса $w$ такой, что преобразование Гильберта остается ограниченным на $L^{p}(\mathbf {T} ,w\,\mathrm {d} \lambda )$ и максимальный оператор на $L^{p}(\mathbb {R} ^{n},w\,\mathrm {d} \lambda ).$

л ^п пространства на многообразиях

Можно также определить пространства $L^{p}(M)$ на многообразии, называемом внутренним $L^{p}$ пространства многообразия, используя плотности .

Векторнозначный L ^п пробелы

Учитывая пространство меры $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ и локально выпуклое пространство $E$ (здесь предполагается, что они полные ), можно определить пространства $p$-интегрируемый $E$-значные функции на $\Omega$несколькими способами. Один из способов — определить пространства интегрируемых по Бохнеру и интегрируемых по Петтису функций, а затем наделить их локально выпуклыми TVS-топологиями , которые являются (каждая по-своему) естественным обобщением обычных $L^{p}$топология. Другой способ предполагает использование топологических тензорных произведений $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ с $E.$ Элемент векторного пространства $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E$ являются конечными суммами простых тензоров $f_{1}\otimes e_{1}+\cdots +f_{n}\otimes e_{n},$ где каждый простой тензор $f\times e$ можно отождествить с функцией $\Omega \to E$ который отправляет $x\mapsto ef(x).$ Это тензорное произведение $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E$ затем наделяется локально выпуклой топологией, которая превращает его в топологическое тензорное произведение , наиболее распространенными из которых являются проективное тензорное произведение , обозначаемое $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\pi }E,$ и инъективное тензорное произведение , обозначаемое $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\varepsilon }E.$ В общем случае ни одно из этих пространств не является полным, поэтому их пополнения , которые соответственно обозначаются через строятся $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\pi }E$ и $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }E$ (это аналогично тому, как пространство скалярнозначных простых функций на $\Omega ,$ при полунормировании любым $\|\cdot \|_{p},$ не является полным, поэтому строится пополнение, которое после факторизации по $\ker \|\cdot \|_{p},$ изометрически изоморфно банаховому пространству $L^{p}(\Omega ,\mu )$). Александр Гротендик показал, что когда $E$является ядерным пространством (введенное им понятие), то эти две конструкции соответственно канонически TVS-изоморфны упомянутым ранее пространствам интегральных функций Бохнера и Петтиса; короче говоря, они неотличимы.

См. также

• Пространство Бохнера - Тип топологического пространства.
• Пространство Орлича - Тип функционального пространства
• Пространство Харди – концепция комплексного анализа
• Теорема Рисса – Торина - Теорема об операторной интерполяции
• Среднее по Гёльдеру – корень N-й степени из среднего арифметического заданных чисел, возведенный в степень n. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Пространство Гельдера – тип непрерывности комплекснозначной функции. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Среднеквадратичное значение – квадратный корень из среднего квадратического.
• Наименьшие абсолютные отклонения – Статистический критерий оптимальности
• Локально интегрируемая функция - функция, интегрируемая в своей области определения. $\left(L_{\text{loc}}^{1}\right)$
• $L^{p}(G)$ пространства над локально компактной группой $G$ – Двойственность для локально компактных абелевых групп.
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов – метод расчета периодичности
• Список банаховых пространств
• Расстояние Минковского - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
• L-бесконечность - Пространство ограниченных последовательностей
• л ^п сумма

Ссылки

• Адамс, Роберт А.; Фурнье, Джон Ф. (2003), Пространства Соболева (второе изд.), Academic Press, ISBN  978-0-12-044143-3 .
• Бахури, Хаджер ; Шемен, Жан Ив ; Данчин, Рафаэль (2011). Анализ Фурье и нелинейные уравнения в частных производных . Основы математических наук. Том 343. Берлин, Гейдельберг: Springer. ISBN  978-3-642-16830-7 . OCLC   704397128 .
• Бурбаки, Николя (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-13627-9 .
• ДиБенедетто, Эммануэле (2002), Реальный анализ , Биркхойзер, ISBN  3-7643-4231-5 .
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. (1958), Линейные операторы, том I , Wiley-Interscience .
• Дюрен, П. (1970), Теория H ^п -Spaces , Нью-Йорк: Academic Press.
• Графакос, Лукас (2004), Классический и современный анализ Фурье , Pearson Education, Inc., стр. 101-1. стр. 253–257, ISBN.  0-13-035399-Х .
• Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag .
• Калтон, Найджел Дж .; Пек, Н. Тенни; Робертс, Джеймс В. (1984), Сэмплер F-пространства , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 89, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, номер номера : 10.1017/CBO9780511662447 , ISBN.  0-521-27585-7 , МР   0808777
• Рисс, Фридьес (1910), «Исследования систем интегрируемых функций» , Mathematical Annals , 69 (4): 449–497, doi : 10.1007/BF01457637 , S2CID   120242933
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN  978-0-07-054234-1 , МР   0924157
• Титчмарш, EC (1976), Теория функций , Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853349-8

Внешние ссылки

• «Пространство Лебега» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Доказательство того, что Л ^п места заполнены