Теория интерполяции Марцинкевича

В математике , интерполяционная теорема Марцинкевича открытая Юзефом Марцинкевичем ( 1939 ), является результатом, ограничивающим нормы нелинейных операторов, действующих на L. ^п пространства .

Теорема Марцинкевича аналогична теореме Рисса–Торина о линейных операторах , но также применима и к нелинейным операторам.

Предварительные сведения

Пусть f — измеримая функция с действительными или комплексными значениями, определенная в пространстве меры ( X , F , ω). Функция распределения f выражением определяется

\lambda _{f}(t)=\omega \left\{x\in X\mid |f(x)|>t\right\}.

Тогда f называется слабым $L^{1}$ если существует константа C такая, что функция распределения f удовлетворяет следующему неравенству для всех t > 0:

\lambda _{f}(t)\leq {\frac {C}{t}}.

Наименьшая константа C в приведенном выше неравенстве называется слабой $L^{1}$ норму и обычно обозначается $\|f\|_{1,w}$ или $\|f\|_{1,\infty }.$ Аналогично пространство обычно обозначается L ^{1, в} или Л ^1,∞.

(Примечание: эта терминология немного вводит в заблуждение, поскольку слабая норма не удовлетворяет неравенству треугольника, как можно увидеть, рассматривая сумму функций на $(0,1)$ данный $1/x$ и $1/(1-x)$ , который имеет норму 4, а не 2.)

Любой $L^{1}$ функция принадлежит L ^{1, в} и, кроме того, имеет место неравенство

\|f\|_{1,w}\leq \|f\|_{1}.

Это не что иное, как неравенство Маркова (оно же неравенство Чебышева ). Обратное неверно. Например, функция 1/ x принадлежит L ^{1, в} но не для Л ¹.

Аналогично можно определить слабый $L^{p}$ пространство как пространство всех функций f таких, что $|f|^{p}$ принадлежать Л ^{1, в}, и слабый $L^{p}$ норма с использованием

\|f\|_{p,w}=\left\||f|^{p}\right\|_{1,w}^{\frac {1}{p}}.

Более конкретно, L ^{п , ш} норма определяется как лучшая константа C в неравенстве

\lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}

для всех t > 0.

Формулировка

Неформально теорема Марцинкевича имеет вид

Теорема. Пусть T — ограниченный линейный оператор из

L^{p}

к

L^{p,w}

и в то же время от

L^{q}

к

L^{q,w}

. Тогда T также является ограниченным оператором из

L^{r}

к

L^{r}

для любого r между p и q .

Другими словами, даже если требуется только слабая ограниченность в крайних точках p и q , регулярная ограниченность все равно сохраняется. Чтобы сделать это более формальным, нужно объяснить, что T ограничено только на плотном подмножестве и может быть пополнено. см . в теореме Рисса-Торина Подробности .

Теорема Марцинкевича слабее теоремы Рисса-Торина в оценках нормы. Теорема дает оценки для $L^{r}$ норма T, но эта граница увеличивается до бесконечности, когда r сходится либо к p, либо к q . В частности ( ДиБенедетто 2002 , теорема VIII.9.2), предположим, что

\|Tf\|_{p,w}\leq N_{p}\|f\|_{p},

\|Tf\|_{q,w}\leq N_{q}\|f\|_{q},

так что норма T L из операторная ^п в Л ^{п , ш} не превосходит N _p , а операторная норма T из L ^д в Л ^{д , ш} не превышает N _q . Тогда следующее интерполяционное неравенство справедливо для всех r между p и q и всех f ∈ L ^р:

\|Tf\|_{r}\leq \gamma N_{p}^{\delta }N_{q}^{1-\delta }\|f\|_{r}

где

\delta ={\frac {p(q-r)}{r(q-p)}}

и

\gamma =2\left({\frac {r(q-p)}{(r-p)(q-r)}}\right)^{1/r}.

Константы δ и γ можно задать и для q = ∞, перейдя к пределу.

Версия теоремы также справедлива в более общем смысле, если T предполагается только квазилинейным оператором в следующем смысле: существует константа C > 0 такая, что T удовлетворяет условию

|T(f+g)(x)|\leq C(|Tf(x)|+|Tg(x)|)

почти для каждого x . Теорема справедлива в точности так, как указано, за исключением замены γ на

\gamma =2C\left({\frac {r(q-p)}{(r-p)(q-r)}}\right)^{1/r}.

Оператор T (возможно, квазилинейный), удовлетворяющий оценке вида

\|Tf\|_{q,w}\leq C\|f\|_{p}

называется слабым типом ( p , q ) . Оператор имеет просто тип ( p , q ), если T — ограниченное преобразование из L ^п в Л ^д:

\|Tf\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.

Более общая формулировка интерполяционной теоремы такова:

Если T — квазилинейный оператор слабого типа ( p ₀ , q ₀ ) и слабого типа ( p ₁ , q ₁ ), где q ₀ ≠ q ₁ , то для каждого θ ∈ (0,1) T имеет тип ( p , q ), для p и q с p ≤ q вида

{\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},\quad {\frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.

Последняя формулировка следует из первой посредством применения неравенства Гёльдера и аргумента двойственности. ^{[ нужна ссылка ]}

Приложения и примеры

Известный пример применения — преобразование Гильберта . как множитель Если рассматривать преобразование Гильберта функции f , то его можно вычислить, сначала приняв преобразование Фурье функции f , затем умножив ее на знаковую функцию и, наконец, применив обратное преобразование Фурье .

Следовательно, теорема Парсеваля легко показывает, что преобразование Гильберта ограничено из $L^{2}$ к $L^{2}$ . Гораздо менее очевидным фактом является то, что он ограничен из $L^{1}$ к $L^{1,w}$ . Следовательно, теорема Марцинкевича показывает, что он ограничен из $L^{p}$ к $L^{p}$ для любого 1 < p < 2. Аргументы двойственности показывают, что оно ограничено и при 2 < p < ∞. На самом деле преобразование Гильберта действительно неограничено при p, равном 1 или ∞.

Другой известный пример — максимальная функция Харди–Литтлвуда , которая является лишь сублинейным оператором, а не линейным. Пока $L^{p}$ к $L^{p}$ границы могут быть получены непосредственно из $L^{1}$ слишком слабый $L^{1}$ Чтобы оценить результат умной заменой переменных, интерполяция Марцинкевича является более интуитивным подходом. Поскольку максимальная функция Харди–Литтлвуда тривиально ограничена из $L^{\infty }$ к $L^{\infty }$ , сильная ограниченность для всех $p>1$ следует непосредственно из слабой оценки (1,1) и интерполяции. Слабую оценку (1,1) можно получить из леммы о накрытии Витали .

История

Теорема была впервые объявлена Марцинкевичем (1939) , который показал этот результат Антони Зигмунду незадолго до его смерти во Второй мировой войне. Теорема была почти забыта Зигмундом и отсутствовала в его оригинальных работах по теории сингулярных интегральных операторов . Позже Зигмунд (1956) понял, что результат Марцинкевича может значительно упростить его работу, и тогда же опубликовал теорему своего бывшего ученика вместе с собственным обобщением.

В 1964 году Ричард А. Хант и Гвидо Вайс опубликовали новое доказательство интерполяционной теоремы Марцинкевича. ^[1]

См. также

Интерполяционное пространство

Ссылки

^ Хант, Ричард А.; Вайс, Гвидо (1964). «Интерполяционная теорема Марцинкевича» . Труды Американского математического общества . 15 (6): 996–998. дои : 10.1090/S0002-9939-1964-0169038-4 . ISSN 0002-9939 .

ДиБенедетто, Эммануэле (2002), Реальный анализ , Биркхойзер, ISBN 3-7643-4231-5 .
Гилбарг, Дэвид ; Трудингер, Нил С. (2001), Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка , Springer-Verlag, ISBN 3-540-41160-7 .
Марцинкевич, Дж. (1939), "Sur l'interpolation d'operations" , CR Acad. наук. Париж , 208 : 1272–1273.
Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-Х .
Зигмунд, А. (1956), «К теореме Марцинкевича относительно интерполяции операций», Журнал чистой и прикладной математики , девятая серия, 35 : 223–248, ISSN 0021-7824 , MR 0080887

[HuntWeiss1964-1] Хант, Ричард А.; Вайс, Гвидо (1964). «Интерполяционная теорема Марцинкевича» . Труды Американского математического общества . 15 (6): 996–998. дои : 10.1090/S0002-9939-1964-0169038-4 . ISSN 0002-9939 .

[1]