Неравенство свертки Юнга

В математике — неравенство свертки Юнга это математическое неравенство о свертке двух функций: ^{[ 1 ]} назван в честь Уильяма Генри Янга .

Заявление

Евклидово пространство

В реальном анализе следующий результат называется неравенством свертки Юнга: ^{[ 2 ]}

Предполагать $f$ находится в пространстве Лебега $L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$ и $g$ находится в $L^{q}(\mathbb {R} ^{d})$ и ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1$ с $1\leq p,q,r\leq \infty .$ Затем $\|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Здесь звездочка обозначает свертку , $L^{p}$ — пространство Лебега , а $\|f\|_{p}={\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{p}\,dx{\Bigr )}^{1/p}$ обозначает обычный $L^{p}$ норма.

Эквивалентно, если $p,q,r\geq 1$ и ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ затем $\left|\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right|\leq \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}$

Обобщения

Неравенство свертки Юнга имеет естественное обобщение, в котором мы заменяем $\mathbb {R} ^{d}$ унимодулярной группой $G.$ Если мы позволим $\mu$ — биинвариантная мера Хаара на $G$ и мы позволяем $f,g:G\to \mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ являются интегрируемыми функциями, то определим $f*g$ к $f*g(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,\mathrm {d} \mu (y).$ Тогда в этом случае неравенство Юнга утверждает, что для $f\in L^{p}(G,\mu )$ и $g\in L^{q}(G,\mu )$ и $p,q,r\in [1,\infty ]$ такой, что ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1$ у нас есть граница $\lVert f*g\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}.$ Эквивалентно, если $p,q,r\geq 1$ и ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ затем $\left|\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right|\leq \left(\int _{G}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{G}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{G}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}.$ С $\mathbb {R} ^{d}$ на самом деле является локально компактной абелевой группой (и, следовательно, унимодулярной) с мерой Лебега в качестве желаемой меры Хаара, на самом деле это обобщение.

Это обобщение может быть уточнено. Позволять $G$ и $\mu$ будь как прежде и принимай $1<p,q,r<\infty$ удовлетворить ${\textstyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}+1.}$ Тогда существует константа $C$ такой, что для любого $f\in L^{p}(G,\mu )$ и любая измеримая функция $g$ на $G$ это принадлежит слабым $L^{q}$ космос $L^{q,w}(G,\mu ),$ что по определению означает, что следующая верхняя грань $\|g\|_{q,w}^{q}~:=~\sup _{t>0}\,t^{q}\mu (|g|>t)$ конечно, мы имеем $f*g\in L^{r}(G,\mu )$ и ^{[ 3 ]} $\|f*g\|_{r}~\leq ~C\,\|f\|_{p}\,\|g\|_{q,w}.$

Приложения

Примером применения является то, что неравенство Юнга можно использовать, чтобы показать, что тепловая полугруппа является сжимающейся полугруппой, используя $L^{2}$ норма (т. е. преобразование Вейерштрасса не увеличивает $L^{2}$ норма).

Доказательство

Доказательство с помощью неравенства Гёльдера.

Неравенство Юнга имеет элементарное доказательство с неоптимальной константой 1. ^{[ 4 ]}

Предположим, что функции $f,g,h:G\to \mathbb {R}$ неотрицательны и интегрируемы, где $G$ — унимодулярная группа, наделенная биинвариантной мерой Хаара $\mu .$ Мы используем тот факт, что $\mu (S)=\mu (S^{-1})$ для любого измеримого $S\subseteq G.$ С ${\textstyle p(2-{\tfrac {1}{q}}-{\tfrac {1}{r}})=q(2-{\tfrac {1}{p}}-{\tfrac {1}{r}})=r(2-{\tfrac {1}{p}}-{\tfrac {1}{q}})=1}$ ${\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\={}&\int _{G}\int _{G}\left(f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(f(x)^{p}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{p}}}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\end{aligned}}$ Из неравенства Гельдера для трех функций получаем, что ${\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\&\leq \left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(\int _{G}\int _{G}g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{p}}}.\end{aligned}}$ Заключение следует из левой инвариантности меры Хаара, того факта, что интегралы сохраняются при обращении области определения, и теоремы Фубини .

Доказательство интерполяцией

Неравенство Юнга также можно доказать интерполяцией; см. в статье об интерполяции Рисса – Торина доказательство .

Резкая константа

В случае $p,q>1,$ Неравенство Янга можно усилить до резкой формы, $\|f*g\|_{r}\leq c_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q}.$ где константа $c_{p,q}<1.$ ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} Когда эта оптимальная константа достигается, функция $f$ и $g$ являются многомерными гауссовскими функциями .

См. также

Неравенство Минковского - неравенство, установившее L ^п пространства являются нормированными векторными пространствами

Примечания

^ Янг, WH (1912), «Об умножении последовательностей констант Фурье», Proceedings of the Royal Society A , 87 (596): 331–339, doi : 10.1098/rspa.1912.0086 , JFM 44.0298.02 , JSTOR 93120
^ Bogachev, Vladimir I. (2007), Measure Theory , vol. I, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-34513-8 , MR 2267655 , Збл 1120.28001 , Теорема 3.9.4
^ Бахури, Чемин и Данчин 2011 , стр. 5–6.
^ Либ, Эллиот Х .; Потеря, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 100. ИСБН 978-0-8218-2783-3 . OCLC 45799429 .
^ Бекнер, Уильям (1975). «Неравенства в анализе Фурье». Анналы математики . 102 (1): 159–182. дои : 10.2307/1970980 . JSTOR 1970980 .
^ Браскамп, Герм Ян; Либ, Эллиот Х (1 мая 1976 г.). «Наилучшие константы в неравенстве Юнга, его обратном и его обобщении на более чем три функции». Достижения в математике . 20 (2): 151–173. дои : 10.1016/0001-8708(76)90184-5 .
^ Фурнье, Джон Дж. Ф. (1977), «Точность неравенства Юнга для свертки» , Pacific Journal of Mathematics , 72 (2): 383–397, doi : 10.2140/pjm.1977.72.383 , MR 0461034 , Zbl 0357.43002

Ссылки

Бахури, Хаджер ; Шемен, Жан Ив ; Данчин, Рафаэль (2011). Анализ Фурье и нелинейные уравнения в частных производных . Основные принципы математических наук. Том 343. Берлин, Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-642-16830-7 . OCLC 704397128 .

Внешние ссылки

Неравенство Янга для сверток на ProofWiki

[1] Янг, WH (1912), «Об умножении последовательностей констант Фурье», Proceedings of the Royal Society A , 87 (596): 331–339, doi : 10.1098/rspa.1912.0086 , JFM 44.0298.02 , JSTOR 93120

[2] Bogachev, Vladimir I. (2007), Measure Theory , vol. I, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-34513-8 , MR 2267655 , Збл 1120.28001 , Теорема 3.9.4

[FOOTNOTEBahouriCheminDanchin20115–6-3] Бахури, Чемин и Данчин 2011 , стр. 5–6.

[4] Либ, Эллиот Х .; Потеря, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 100. ИСБН 978-0-8218-2783-3 . OCLC 45799429 .

[5] Бекнер, Уильям (1975). «Неравенства в анализе Фурье». Анналы математики . 102 (1): 159–182. дои : 10.2307/1970980 . JSTOR 1970980 .

[6] Браскамп, Герм Ян; Либ, Эллиот Х (1 мая 1976 г.). «Наилучшие константы в неравенстве Юнга, его обратном и его обобщении на более чем три функции». Достижения в математике . 20 (2): 151–173. дои : 10.1016/0001-8708(76)90184-5 .

[7] Фурнье, Джон Дж. Ф. (1977), «Точность неравенства Юнга для свертки» , Pacific Journal of Mathematics , 72 (2): 383–397, doi : 10.2140/pjm.1977.72.383 , MR 0461034 , Zbl 0357.43002

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]