Теорема Планшереля

В математике ( теорема Планшереля иногда называемая тождеством Парсеваля –Планшереля ) ^[1]) — результат гармонического анализа , доказанный Мишелем Планшерелем функции в 1910 году. Он утверждает, что интеграл квадрата модуля равен интегралу квадрата модуля ее частотного спектра . То есть, если $f(x)$ является функцией на действительной прямой, и ${\widehat {f}}(\xi )$ - его частотный спектр, тогда

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi$

Более точная формулировка такова: если функция находится в обоих L ^п пространства $L^{1}(\mathbb {R} )$ и $L^{2}(\mathbb {R} )$ , то его преобразование Фурье находится в $L^{2}(\mathbb {R} )$ , а отображение преобразования Фурье является изометрией относительно L ² норма. Это означает, что карта преобразования Фурье ограничена $L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )$ имеет уникальное расширение до линейной изометрической карты $L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )$ , иногда называемое преобразованием Планшереля. Эта изометрия на самом деле представляет собой унитарную карту. По сути, это позволяет говорить о преобразованиях Фурье квадратично интегрируемых функций .

Теорема Планшереля остается справедливой, как она сформулирована в n -мерном евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{n}$ . Теорема справедлива и в более общем смысле в локально компактных абелевых группах . Существует также версия теоремы Планшереля, которая имеет смысл для некоммутативных локально компактных групп, удовлетворяющих определенным техническим предположениям. Это предмет некоммутативного гармонического анализа .

Унитарность в области науки и техники, основанной на более раннем ( преобразования Фурье часто называют теоремой Парсеваля но менее общем) результате, который использовался для доказательства унитарности ряда Фурье .

Ввиду тождества поляризации можно также применить теорему Планшереля к $L^{2}(\mathbb {R} )$ внутренний продукт двух функций. То есть, если $f(x)$ и $g(x)$ два $L^{2}(\mathbb {R} )$ функции и ${\mathcal {P}}$ обозначает преобразование Планшереля, тогда

\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,

и если

f(x)

и

g(x)

кроме того, являются

L^{1}(\mathbb {R} )

функции, то

({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,

и

({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,

так

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .$

См. также [ править ]

Теорема Планшереля для сферических функций

Ссылки [ править ]

^ Коэн-Таннуджи, Клод; Дюпон-Рок, Жак; Гринберг, Гилберт (1997). Фотоны и атомы: Введение в квантовую электродинамику . Уайли. п. 11 . ISBN 0-471-18433-0 .

Планшерель, Мишель (1910), «Вклад в изучение представления произвольной функции определенными интегралами», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 30 (1): 289–335, doi : 10.1007/BF03014877 , S2CID 122509369 .
Диксмье, Дж. (1969), C*-алгебры и их представления , Готье Виллар .
Йосида, К. (1968), Функциональный анализ , Springer Verlag .