Теорема Планшереля для сферических функций

В математике теорема Планшереля для сферических функций — важный результат теории представлений полупростых групп Ли , принадлежащий в окончательной форме Хариш-Чандре . Она является естественным обобщением в некоммутативном гармоническом анализе формулы Планшереля и формулы обращения Фурье в теории представлений группы действительных чисел в классическом гармоническом анализе и имеет столь же тесную взаимосвязь с теорией дифференциальных уравнений .Это частный случай для зональных сферических функций общей теоремы Планшереля для полупростых групп Ли, также доказанной Хариш-Чандрой. Теорема Планшереля дает разложение радиальных функций по собственным функциям для оператора Лапласа в ассоциированном симметрическом пространстве X ; он также дает разложение в прямой интеграл на неприводимые представления регулярного представления на L ² ( Х ) . В случае гиперболического пространства эти разложения были известны из предшествующих результатов Мелера , Вейля и Фока .

Основной ссылкой почти для всего этого материала является энциклопедический текст Хелгасона (1984) .

История

Первые версии абстрактной формулы Планшереля для преобразования Фурье на унимодулярной локально компактной группе G принадлежат Сигалу и Маутнеру. Примерно в то же время Хариш-Чандра и Гельфанд и Наймарк вывел явную формулу для SL(2,R) и комплексных полупростых групп Ли , в частности групп Лоренца . Более простая абстрактная формула была выведена Маутнером для «топологического» симметрического пространства G / K, максимальной компактной подгруппе K. соответствующего Годемент дал более конкретную и удовлетворительную форму положительно определенным сферическим функциям — классу специальных функций на G / K . Поскольку, когда G является полупростой группой Ли, эти сферические функции φ _λ были естественным образом помечены параметром λ в факторе евклидова пространства по действию конечной группы отражений , центральной проблемой стало явное определение меры Планшереля в терминах эта параметризация. Обобщая идеи Германа Вейля из спектральной теории обыкновенных дифференциальных уравнений , Хариш-Чандра ввел свою знаменитую c-функцию c (λ) для описания асимптотического поведения сферических функций φ _λ и предложил c (λ) ⁻² d λ как мера Планшереля. Он проверил эту формулу для особых случаев, когда G является комплексным или действительным рангом один, тем самым, в частности, охватывая случай, когда G / K является гиперболическим пространством . Общий случай свелся к двум гипотезам о свойствах с-функции и так называемом сферическом преобразовании Фурье. Явные формулы для c-функции были позднее получены Бану-Мёрти для большого класса классических полупростых групп Ли. В свою очередь, эти формулы побудили Гиндикина и Карпелевича вывести формулу произведения для c-функции, сводя вычисления к формуле Хариш-Чандры для случая ранга 1. Их работа наконец позволила Хариш-Чандре завершить доказательство теоремы Планшереля для сферических функций в 1966 году.

Во многих особых случаях, например, для комплексной полупростой группы или групп Лоренца, существуют простые методы непосредственного развития теории. Некоторые подгруппы этих групп можно рассматривать с помощью методов, обобщающих известный « метод спуска » Жака Адамара . В частности, Фленстед-Йенсен (1978) дал общий метод вывода свойств сферического преобразования вещественной полупростой группы из свойств ее комплексификации.

Одним из основных приложений и мотивов сферического преобразования была формула следа Сельберга . Классическая формула суммирования Пуассона сочетает в себе формулу обращения Фурье на векторной группе с суммированием по кокомпактной решетке. В аналоге этой формулы Сельберга векторная группа заменяется на G / K , преобразование Фурье - на сферическое преобразование, а решетка - на кокомпактную (или коконечную) дискретную подгруппу. Оригинальная статья Сельберга (1956) неявно использует сферическое преобразование; именно Годемент (1957) выдвинул преобразование на передний план, дав, в частности, элементарную трактовку SL(2, R ) в соответствии с линиями, набросанными Сельбергом.

Сферические функции

Основная статья: Зональная сферическая функция

Пусть G — полупростая группа Ли и K — максимальная компактная подгруппа в G . Алгебра Гекке Cc _, ( K \ G / K ), состоящая из K-биинвариантных непрерывных функций на G с компактным носителем действует сверткой на гильбертовом пространстве H = L ² ( Г / К ). Поскольку G / K — симметричное пространство , эта *-алгебра коммутативна . Замыкание ее образа (алгебры Гекке) в операторной норме есть неединичная коммутативная С*-алгебра ${\mathfrak {A}}$, поэтому по изоморфизму Гельфанда можно отождествить его с непрерывными функциями, исчезающими на бесконечности на его спектре X . Точки спектра задаются непрерывными *-гомоморфизмами ${\mathfrak {A}}$ в C , символы т.е. ${\mathfrak {A}}$.

Если S' обозначает коммутант множества операторов S на H , то ${\mathfrak {A}}^{\prime }$ можно отождествить с коммутантом регулярного представления группы G на H . Сейчас ${\mathfrak {A}}$ оставляет инвариантным подпространство H ₀ K -инвариантных векторов в H . Более того, абелева алгебра фон Неймана , которую оно порождает на H0 _, является максимальной абелевой. Согласно спектральной теории , существует по существу единственное мера µ на ​​локально компактном пространстве X и унитарное преобразование U между H ₀ и L ² ( X , µ), который переносит операторы в ${\mathfrak {A}}$ на соответствующие операторы умножения .

Преобразование U называется сферическим преобразованием Фурье или иногда просто сферическим преобразованием , а μ называется мерой Планшереля . Гильбертово пространство H ₀ можно отождествить с L ² ( K \ G / K ), пространство K -биинвариантных функций, интегрируемых с квадратом на G .

Символы _λ χ ${\mathfrak {A}}$ (т.е. точки X ) могут быть описаны положительно определенными сферическими функциями φ _λ на G по формуле $$\chi _{\lambda }(\pi (f))=\int _{G}f(g)\cdot \varphi _{\lambda }(g)\,dg.$$для f в C _c ( K \ G / K ), где π( f ) обозначает оператор свертки в ${\mathfrak {A}}$ и интеграл производится по мере Хаара на G .

Сферические функции φ _λ на G задаются формулой Хариш-Чандры :

$\varphi _{\lambda }(g)=\int _{K}\lambda ^{\prime }(gk)^{-1}\,dk.$

В этой формуле:

• интеграл ведется по мере Хаара на K ;
• λ — элемент A * =Hom( A , T ), где A — абелева векторная подгруппа в разложении Ивасавы G = KAN группы G ;
• λ' определяется на G путем сначала расширения λ до характера разрешимой подгруппы AN с использованием гомоморфизма группы на A и затем установки $$\lambda '(kx)=\Delta _{AN}(x)^{1/2}\lambda (x)$$ для k в K и x в AN , где _ΔAN — функция AN модулярная .
• Два разных характера λ ₁ и λ ₂ дают одну и ту же сферическую функцию тогда и только тогда, когда λ ₌ λ ₂ · s , где s находится в группе Вейля A. 1 $$W=N_{K}(A)/C_{K}(A),$$ фактор нормализатора A в , K по его централизатору конечной группе отражений .

Отсюда следует, что

• X можно отождествить с факторпространством A */ W .

Сферическая основная серия

См. Также: Представление основной серии.

Сферическую функцию φ _λ можно отождествить с матричным коэффициентом сферического главного G ряда . Если M является централизатором A характером в K , это определяется как унитарное представление π _λ группы G, индуцированное B = MAN , заданным композицией гомоморфизма MAN на A и характером λ.Индуцированное представление определяется на функциях f на G с условием $$f(gb)=\Delta (b)^{1/2}\lambda (b)f(g)$$для b в B по $$\pi (g)f(x)=f(g^{-1}x),$$где $$\|f\|^{2}=\int _{K}|f(k)|^{2}\,dk<\infty .$$

Функции f можно отождествить с функциями из L ² ( К / М ) и $$\chi _{\lambda }(g)=(\pi (g)1,1).$$

Как доказал Костант (1969) , представления сферической главной серии неприводимы, а два представления π _λ и π _µ унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда µ = σ(λ) для некоторого σ из группы Вейля A .

Пример: SL(2, C)

Группа G = SL(2, C ) действует транзитивно на кватернионном верхнем полупространстве $${\mathfrak {H}}^{3}=\{x+yi+tj\mid t>0\}$$с помощью преобразований Мёбиуса . Комплексная матрица $$g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$$действует как $$g(w)=(aw+b)(cw+d)^{-1}.$$

Стабилизатор точки j — это максимальная компактная подгруппа K = SU(2), так что ${\mathfrak {H}}^{3}=G/K.$ Он несет G -инвариантную риманову метрику

$$ds^{2}=r^{-2}\left(dx^{2}+dy^{2}+dr^{2}\right)$$

со связанным элементом тома

$$dV=r^{-3}\,dx\,dy\,dr$$

и оператор Лапласа

$$\Delta =-r^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{r}^{2})+r\partial _{r}.$$

Каждая точка в ${\mathfrak {H}}^{3}$ можно записать как k ( e ^т j ) с k в SU(2) и t , определенным с точностью до знака. Лапласиан имеет следующий вид на функциях, инвариантных относительно SU(2), рассматриваемых как функции действительного параметра t : $$\Delta =-\partial _{t}^{2}-2\coth t\partial _{t}.$$

Интеграл от SU(2)-инвариантной функции имеет вид $$\int f\,dV=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\sinh ^{2}t\,dt.$$

Отождествление квадратично интегрируемых SU(2)-инвариантных функций с L ² ( R ) унитарным преобразованием Uf ( t ) = f ( t ) sinh t , Δ преобразуется в оператор

$$U^{*}\Delta U=-{d^{2} \over dt^{2}}+1.$$

По теореме Планшереля и формуле обращения Фурье для R любая SU(2)-инвариантная функция f может быть выражена через сферические функции

$$\Phi _{\lambda }(t)={\sin \lambda t \over \lambda \sinh t},$$

сферическим преобразованием

$${\tilde {f}}(\lambda )=\int f\Phi _{-\lambda }\,dV$$

и формула сферической инверсии

$$f(x)=\int {\tilde {f}}(\lambda )\Phi _{\lambda }(x)\lambda ^{2}\,d\lambda .$$

принимая $f=f_{2}^{*}\star f_{1}$ с f _i в C _c ( G / K ) и $f^{*}(g)={\overline {f(g^{-1})}}$и оценка в i дает формулу Планшереля

$$\int _{G}f_{1}{\overline {f_{2}}}\,dg=\int {\tilde {f}}_{1}(\lambda ){\overline {{\tilde {f}}_{2}(\lambda )}}\,\lambda ^{2}\,d\lambda .$$

Для биинвариантных функций это устанавливает теорему Планшереля для сферических функций : отображение

$${\begin{cases}U:L^{2}(K\backslash G/K)\to L^{2}(\mathbb {R} ,\lambda ^{2}\,d\lambda )\\U:f\longmapsto {\tilde {f}}\end{cases}}$$

унитарен и отправляет оператор свертки, определенный $f\in L^{1}(K\backslash G/K)$ в оператор умножения, определенный формулой ${\tilde {f}}$.

Сферическая функция Φ _λ является собственной функцией лапласиана:

$$\Delta \Phi _{\lambda }=(\lambda ^{2}+1)\Phi _{\lambda }.$$

Функции Шварца на R являются сферическими преобразованиями функций f, принадлежащих пространству Хариш-Чандры Шварца.

$${\mathcal {S}}=\left\{f\left|\sup _{t}\left|(1+t^{2})^{N}(I+\Delta )^{M}f(t)\sinh(t)\right|<\infty \right\}\right..$$

По теореме Пэли-Винера сферические преобразования гладких SU(2)-инвариантных функций компактного носителя в точности равныфункции на R , которые являются ограничениями голоморфных функций на C, удовлетворяющих условию экспоненциального роста

$$|F(\lambda )|\leq Ce^{R\left|\operatorname {Im} \lambda \right|}.$$

Как функция на G , Φ _λ — матричный коэффициент сферического главного ряда, определенного на L ² ( C ), где C отождествляется с границей ${\mathfrak {H}}^{3}$. Представление дается формулой

$$\pi _{\lambda }(g^{-1})\xi (z)=|cz+d|^{-2-i\lambda }\xi (g(z)).$$

Функция

$$\xi _{0}(z)=\pi ^{-1}\left(1+|z|^{2}\right)^{-2}$$

фиксируется SU(2) и

$$\Phi _{\lambda }(g)=(\pi _{\lambda }(g)\xi _{0},\xi _{0}).$$

Представления π _λ неприводимы и унитарно эквивалентны только при изменении знака λ. Карта W ​ $L^{2}({\mathfrak {H}}^{3})$ на L ² ([0,∞) × C ) (с мерой λ ² d λ по первому множителю), определяемый формулой

$$Wf(\lambda ,z)=\int _{G/K}f(g)\pi _{\lambda }(g)\xi _{0}(z)\,dg$$

унитарна и дает разложение $L^{2}({\mathfrak {H}}^{3})$ как прямой интеграл от сферического главного ряда.

Пример: SL(2, R)

Группа G = SL(2, R ) действует транзитивно в верхней полуплоскости Пуанкаре

$${\mathfrak {H}}^{2}=\{x+ri\mid r>0\}$$

с помощью преобразований Мёбиуса . Настоящая матрица

$$g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$$

действует как

$$g(w)=(aw+b)(cw+d)^{-1}.$$

Стабилизатор точки i — это максимальная компактная подгруппа K = SO(2), так что ${\mathfrak {H}}^{2}$ = Г / К .Он несет G -инвариантную риманову метрику

$$ds^{2}=r^{-2}\left(dx^{2}+dr^{2}\right)$$

со связанным элементом площади

$$dA=r^{-2}\,dx\,dr$$

и оператор Лапласа

$$\Delta =-r^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{r}^{2}).$$

Каждая точка в ${\mathfrak {H}}^{2}$ можно записать как k ( e ^т i ) с k в SO(2) и t , определенным с точностью до знака. Лапласиан имеет следующую форму для функций, инвариантных относительно SO(2), рассматриваемых как функции действительного параметра t : $$\Delta =-\partial _{t}^{2}-\coth t\partial _{t}.$$

Интеграл от SO(2)-инвариантной функции имеет вид $$\int f\,dA=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\left|\sinh t\right|dt.$$

Существует несколько методов получения соответствующего разложения по собственным функциям для этого обыкновенного дифференциального уравнения, в том числе:

1. классическая спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений в применении к гипергеометрическому уравнению (Мелер, Вейль, Фок);
2. варианты метода спуска Адамара, реализующие 2-мерное гиперболическое пространство как фактор 3-мерного гиперболического пространства по свободному действию 1-параметрической подгруппы группы SL(2, C );
3. Интегральное уравнение Абеля по Сельбергу и Годементу;
4. орбитальные интегралы (Хариш-Чандра, Гельфанд и Наймарк).

Второй и третий методы будут описаны ниже с двумя различными методами спуска: классический метод Адамара, знакомый из рассмотрения уравнения теплопроводности. и волновое уравнение на гиперболическом пространстве; и метод Фленстеда-Йенсена на гиперболоиде.

Метод спуска Адамара

Если f ( x , r ) является функцией на ${\mathfrak {H}}^{2}$ и

$$M_{1}f(x,y,r)=r^{1/2}\cdot f(x,r)$$

затем

$$\Delta _{3}M_{1}f=M_{1}\left(\Delta _{2}+{\tfrac {3}{4}}\right)f,$$

где Δ _n — лапласиан на ${\mathfrak {H}}^{n}$.

Поскольку действие SL(2, C ) коммутирует с ∆ ₃ , оператор M ₀ на S0(2)-инвариантных функциях, полученный усреднением M ₁ f по действию SU(2), также удовлетворяет условию

$$\Delta _{3}M_{0}=M_{0}\left(\Delta _{2}+{\tfrac {3}{4}}\right).$$

Сопряженный оператор M ₁ *, определяемый формулой

$$M_{1}^{*}F(x,r)=r^{1/2}\int _{-\infty }^{\infty }F(x,y,r)\,dy$$

удовлетворяет

$$\int _{{\mathfrak {H}}^{3}}(M_{1}f)\cdot F\,dV=\int _{{\mathfrak {H}}^{2}}f\cdot (M_{1}^{*}F)\,dA.$$

Сопряженный M ₀ *, определяемый усреднением M * f по SO(2), удовлетворяет условию $$\int _{{\mathfrak {H}}^{3}}(M_{0}f)\cdot F\,dV=\int _{{\mathfrak {H}}^{2}}f\cdot (M_{0}^{*}F)\,dA$$для SU(2)-инвариантных функций F и SO(2)-инвариантных функций f . Отсюда следует, что $$M_{i}^{*}\Delta _{3}=\left(\Delta _{2}+{\tfrac {3}{4}}\right)M_{i}^{*}.$$

Функция $$f_{\lambda }=M_{1}^{*}\Phi _{\lambda }$$является SO(2)-инвариантным и удовлетворяет условиям $$\Delta _{2}f_{\lambda }=\left(\lambda ^{2}+{\tfrac {1}{4}}\right)f_{\lambda }.$$

С другой стороны, $$b(\lambda )=f_{\lambda }(i)=\int {\sin \lambda t \over \lambda \sinh t}\,dt={\pi \over \lambda }\tanh {\pi \lambda \over 2},$$

поскольку интеграл можно вычислить путем интегрирования $e^{i\lambda t}/\sinh t$ вокруг прямоугольного контура с отступом с вершинами в ± R и ± R + πi . Таким образом, собственная функция

$$\phi _{\lambda }=b(\lambda )^{-1}M_{1}\Phi _{\lambda }$$

удовлетворяет условию нормировки φ _λ ( i ) = 1. Такое решение может быть только одно, либо потому, что вронскиан обыкновенного дифференциального уравнения должен обращаться в нуль, либо путем разложения в степенной ряд по sinh r . Отсюда следует, что

$$\varphi _{\lambda }(e^{t}i)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\cosh t-\sinh t\cos \theta \right)^{-1-i\lambda }\,d\theta .$$

Аналогично следует, что

$$\Phi _{\lambda }=M_{1}\phi _{\lambda }.$$

Если сферическое преобразование SO(2)-инвариантной функции на ${\mathfrak {H}}^{2}$ определяется

$${\tilde {f}}(\lambda )=\int f\varphi _{-\lambda }\,dA,$$

затем

$${(M_{1}^{*}F)}^{\sim }(\lambda )={\tilde {F}}(\lambda ).$$

Принимая f = M ₁ * F , формула обращения SL(2, C ) для F немедленно дает

$$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{\lambda }(x){\tilde {f}}(\lambda ){\lambda \pi \over 2}\tanh \left({\pi \lambda \over 2}\right)\,d\lambda ,$$

формула сферического обращения для SO(2)-инвариантных функций на ${\mathfrak {H}}^{2}$.

Что касается SL(2, C ), то отсюда сразу следует формула Планшереля для в _fi C _c (SL(2, R )/SO(2)):

$$\int _{{\mathfrak {H}}^{2}}f_{1}{\overline {f_{2}}}\,dA=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}_{1}{\overline {\tilde {f_{2}}}}{\lambda \pi \over 2}\tanh \left({\pi \lambda \over 2}\right)\,d\lambda .$$

Сферическая функция φ _λ является собственной функцией лапласиана:

$$\Delta _{2}\varphi _{\lambda }=\left(\lambda ^{2}+{\tfrac {1}{4}}\right)\varphi _{\lambda }.$$

Функции Шварца на R являются сферическими преобразованиями функций f, принадлежащих пространству Хариш-Чандры Шварца.

$${\mathcal {S}}=\left\{f\left|\sup _{t}\left|(1+t^{2})^{N}(I+\Delta )^{M}f(t)\varphi _{0}(t)\right|<\infty \right\}\right..$$

Сферические преобразования гладких SO(2)-инвариантных функций с компактным носителем — это в точности функции на R , которые являются ограничениями голоморфных функций на C, удовлетворяющих условию экспоненциального роста

$$|F(\lambda )|\leq Ce^{R|\Im \lambda |}.$$

Оба эти результата могут быть выведены путем спуска из соответствующих результатов для SL(2, C ), проверив непосредственно, что сферическое преобразование удовлетворяет заданным условиям роста а затем используя соотношение $(M_{1}^{*}F)^{\sim }={\tilde {F}}$.

Как функция на G , φ _λ — матричный коэффициент сферического главного ряда, определенного на L ² ( R ), где R отождествляется с границей ${\mathfrak {H}}^{2}$. Представление дается формулой

$$\pi _{\lambda }(g^{-1})\xi (x)=|cx+d|^{-1-i\lambda }\xi (g(x)).$$

Функция

$$\xi _{0}(x)=\pi ^{-1}\left(1+|x|^{2}\right)^{-1}$$

фиксируется SO(2) и

$$\Phi _{\lambda }(g)=(\pi _{\lambda }(g)\xi _{0},\xi _{0}).$$

Представления π _λ неприводимы и унитарно эквивалентны только при изменении знака λ. Карта $W:L^{2}({\mathfrak {H}}^{2})\to L^{2}([0,\infty )\times \mathbb {R} )$ с мерой ${\textstyle {\frac {\lambda \pi }{2}}\tanh \left({\frac {\pi \lambda }{2}}\right)\,d\lambda }$ по первому множителю, определяется формулой

$$Wf(\lambda ,x)=\int _{G/K}f(g)\pi _{\lambda }(g)\xi _{0}(x)\,dg$$

унитарна и дает разложение $L^{2}({\mathfrak {H}}^{2})$ как прямой интеграл от сферического главного ряда.

Метод спуска Фленстеда-Дженсена.

Метод спуска Адамара основывался на функциях, инвариантных относительно действия однопараметрической подгруппы трансляций по параметру y в ${\mathfrak {H}}^{3}$. Метод Фленстеда-Йенсена использует централизатор SO(2) в SL(2, C ), который распадается как прямое произведение SO(2) и 1-параметрической подгруппы K1 _матриц .

$$g_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&i\sinh t\\-i\sinh t&\cosh t\end{pmatrix}}.$$

Симметрическое пространство SL(2, C )/SU(2) можно отождествить с пространством H ³ положительных матриц A размера 2×2 с определителем 1 $$A={\begin{pmatrix}a+b&x+iy\\x-iy&a-b\end{pmatrix}}$$с групповым действием, заданным $$g\cdot A=gAg^{*}.$$

Таким образом $$g_{t}\cdot A={\begin{pmatrix}a\cosh 2t+y\sinh 2t+b&x+i(y\cosh 2t+a\sinh 2t)\\x-i(y\cosh 2t+a\sinh 2t)&a\cosh 2t+y\sinh 2t-b\end{pmatrix}}.$$

Итак, на гиперболоиде $a^{2}=1+b^{2}+x^{2}+y^{2}$, g _t меняет только координаты y и a . Аналогичным образом действие SO(2) действует путем вращения координат ( b , x ), оставляя a и y неизменными. Пространство Н ² вещественных положительных матриц A с y = 0 можно отождествить с орбитой единичной матрицы при SL(2, R ). Взяв координаты ( b , x , y ) в H ³ и ( b , x ) на H ² элементы объема и площади определяются выражением

$$dV=(1+r^{2})^{-1/2}\,db\,dx\,dy,\,\,\,dA=(1+r^{2})^{-1/2}\,db\,dx,$$

где р ² равно б ² + х ² + и ² или б ² + х ² ,так что r связано с гиперболическим расстоянием от начала координат соотношением $r=\sinh t$.

Операторы Лапласа задаются формулой

$$\Delta _{n}=-L_{n}-R_{n}^{2}-(n-1)R_{n},\,$$

где

$$L_{2}=\partial _{b}^{2}+\partial _{x}^{2},\,\,\,R_{2}=b\partial _{b}+x\partial _{x}$$

и

$$L_{3}=\partial _{b}^{2}+\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2},\,\,\,R_{3}=b\partial _{b}+x\partial _{x}+y\partial _{y}.\,$$

Для SU(2)-инвариантной функции F на H ³ и SO(2)-инвариантная функция на H ² , рассматриваемые как функции r или t ,

$$\int _{H^{3}}F\,dV=4\pi \int _{-\infty }^{\infty }F(t)\sinh ^{2}t\,dt,\,\,\,\int _{H^{2}}f\,dV=2\pi \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sinh t\,dt.$$

Если f ( b , x ) — функция на H ² , Ef определяется формулой

$$Ef(b,x,y)=f(b,x).\,$$

Таким образом

$$\Delta _{3}Ef=E(\Delta _{2}-R_{2})f.\,$$

Если f является SO(2)-инвариантным, то, рассматривая f как функцию от r или t ,

$$(-\Delta _{2}+R_{2})f=\partial _{t}^{2}f+\coth t\partial _{t}f+r\partial _{r}f=\partial _{t}^{2}f+(\coth t+\tanh t)\partial _{t}f.$$

С другой стороны, $$\partial _{t}^{2}+(\coth t+\tanh t)\partial _{t}=\partial _{t}^{2}+2\coth(2t)\partial _{t}.$$

Таким образом, полагая Sf ( t ) = f (2t ) , $$(\Delta _{2}-R_{2})Sf=4S\Delta _{2}f,$$что приводит к фундаментальному соотношению спуска Фленстеда-Йенсена для M ₀ = ES : $$\Delta _{3}M_{0}f=4M_{0}\Delta _{2}f.$$

То же самое соотношение справедливо и для M ₀ по M , где Mf получается усреднением M ₀ f по SU(2).

Расширение Ef постоянно по переменной y и, следовательно, инвариантно относительно преобразований g _s . С другой стороны, для F подходящая функция на H ³ , функция QF, определенная формулой $$QF=\int _{K_{1}}F\circ g_{s}\,ds$$не зависит от переменной y . Непосредственная замена переменных показывает, что $$\int _{H^{3}}F\,dV=\int _{H^{2}}(1+b^{2}+x^{2})^{1/2}QF\,dA.$$

Поскольку K ₁ коммутирует с SO(2), QF является SO(2)-инвариантным, если F инвариантен, в частности, если F SU(2)-инвариантен. В этом случае QF является функцией r или t , так что M * F можно определить как $$M^{*}F(t)=QF(t/2).$$

Тогда интегральная формула, приведенная выше, дает $$\int _{H^{3}}F\,dV=\int _{H^{2}}M^{*}F\,dA$$и, следовательно, поскольку для f SO(2)-инварианта $$M^{*}((Mf)\cdot F)=f\cdot (M^{*}F),$$следующую сопряженную формулу: $$\int _{H^{3}}(Mf)\cdot F\,dV=\int _{H^{2}}f\cdot (M*F)\,dV.$$

Как следствие $$M^{*}\Delta _{3}=4\Delta _{2}M^{*}.$$

Таким образом, как и в случае с методом спуска Адамара.

$$M^{*}\Phi _{2\lambda }=b(\lambda )\varphi _{\lambda }$$с $$b(\lambda )=M^{*}\Phi _{2\lambda }(0)=\pi \tanh \pi \lambda$$и $$\Phi _{2\lambda }=M\varphi _{\lambda }.$$

Отсюда следует, что $${(M^{*}F)}^{\sim }(\lambda )={\tilde {F}}(2\lambda ).$$

Принимая f = M * F , формула обращения SL(2, C ) для F сразу дает $$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{\lambda }(x){\tilde {f}}(\lambda )\,{\lambda \pi \over 2}\tanh \left({\frac {\pi \lambda }{2}}\right)\,d\lambda ,$$

Интегральное уравнение Абеля

Сферическая функция φ _λ определяется выражением $$\varphi _{\lambda }(g)=\int _{K}\alpha '(kg)\,dk,$$так что $${\tilde {f}}(\lambda )=\int _{S}f(s)\alpha '(s)\,ds,$$

Таким образом $${\tilde {f}}(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f\!\left({\frac {a^{2}+a^{-2}+b^{2}}{2}}\right)a^{-i\lambda /2}\,da\,db,$$

так что определение F через

$$F(u)=\int _{-\infty }^{\infty }f\!\left(u+{\frac {t^{2}}{2}}\right)\,dt,$$

сферическое преобразование можно записать

$${\tilde {f}}(\lambda )=\int _{0}^{\infty }F\!\left({\frac {a^{2}+a^{-2}}{2}}\right)a^{-i\lambda }\,da=\int _{0}^{\infty }F(\cosh t)e^{-it\lambda }\,dt.$$

Связь между F и f классически инвертируется интегральным уравнением Абеля :

$$f(x)={\frac {-1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F'\!\left(x+{t^{2} \over 2}\right)\,dt.$$

Фактически

$$\int _{-\infty }^{\infty }F'\!\left(x+{\frac {t^{2}}{2}}\right)\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f'\!\left(x+{\frac {t^{2}+u^{2}}{2}}\right)\,dt\,du={2\pi }\int _{0}^{\infty }f'\!\left(x+{\frac {r^{2}}{2}}\right)r\,dr=2\pi f(x).$$

Связь между F и ${\tilde {f}}$ инвертируется по формуле обращения Фурье :

$$F(\cosh t)={2 \over \pi }\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}(i\lambda )\cos(\lambda t)\,d\lambda .$$

Следовательно

$$f(i)={1 \over 2\pi ^{2}}\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}(\lambda )\lambda \,d\lambda \int _{-\infty }^{\infty }{\sin \lambda t/2 \over \sinh t}\cosh {t \over 2}\,dt={1 \over 2\pi ^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(\lambda ){\lambda \pi \over 2}\tanh \left({\pi \lambda \over 2}\right)\,d\lambda .$$

Это дает сферическую инверсию для точки i . Теперь для фиксированного g в SL(2, R ) определим

$$f_{1}(w)=\int _{K}f(gkw)\,dk,$$

еще одна функция, инвариантная вращению ${\mathfrak {H}}^{2}$ с f ₁ (i) = f ( g ( i )). С другой стороны, для биинвариантных функций f ,

$$\pi _{\lambda }(f)\xi _{0}={\tilde {f}}(\lambda )\xi _{0}$$

так что

$${\tilde {f}}_{1}(\lambda )={\tilde {f}}(\lambda )\cdot \varphi _{\lambda }(w),$$

где ш знак равно г ( я ). Объединение этого с приведенной выше формулой обращения для f ₁ дает общую формулу сферической инверсии:

$$f(w)={1 \over \pi ^{2}}\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }(w){\lambda \pi \over 2}\tanh \left({\pi \lambda \over 2}\right)\,d\lambda .$$

Другие особые случаи

Все комплексные полупростые группы Ли или группы Лоренца SO ⁰ ( N ,1) с N нечетным можно рассматривать непосредственно путем сведения к обычному преобразованию Фурье. Остальные вещественные группы Лоренца могут быть выведены методом спуска Фленстеда-Йенсена, как и другие полупростые группы Ли вещественного ранга один. Метод спуска Фленстеда-Йенсена также применим к рассмотрению вещественных полупростых групп Ли, для которых алгебры Ли являются нормальными вещественными формами комплексных полупростых алгебр Ли. Особый случай SL(N, R ) подробно рассмотрен в Jorgenson & Lang (2001) ; эта группа также является нормальной вещественной формой SL(N, C ).

Подход Фленстеда-Йенсена (1978) применим к широкому классу вещественных полупростых групп Ли произвольного вещественного ранга и дает явную форму произведения меры Планшереля на ${\mathfrak {a}}$* без использования разложения Хариш-Чандры сферических функций φ _λ с точки зрения его c-функции, обсуждаемой ниже. Хотя он и менее общий, он дает более простой подход к теореме Планшереля для этого класса групп.

Комплексные полупростые группы Ли

Если G — комплексная полупростая группа Ли, это комплексификация ее максимальной компактной подгруппы U , компактной полупростой группы Ли. Если ${\mathfrak {g}}$ и ${\mathfrak {u}}$ являются их алгебрами Ли, то ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}\oplus i{\mathfrak {u}}.$ Пусть T — максимальный тор в U с алгеброй Ли ${\mathfrak {t}}.$ Затем установка

$$A=\exp i{\mathfrak {t}},\qquad P=\exp i{\mathfrak {u}},$$

существует разложение Картана :

$$G=P\cdot U=UAU.$$

Конечномерные неприводимые представления π _λ группы U индексируются некоторыми λ в ${\mathfrak {t}}^{*}$. Соответствующая формула характера и формула размерности Германа Вейля дают явные формулы для

$$\chi _{\lambda }(e^{X})=\operatorname {Tr} \pi _{\lambda }(e^{X}),(X\in {\mathfrak {t}}),\qquad d(\lambda )=\dim \pi _{\lambda }.$$

Эти формулы, первоначально определенные на ${\mathfrak {t}}^{*}\times {\mathfrak {t}}$ и ${\mathfrak {t}}^{*}$, голоморфно продолжим их комплексификации. Более того,

$$\chi _{\lambda }(e^{X})={\sum _{\sigma \in W}{\rm {sign}}(\sigma )e^{i\lambda (\sigma X)} \over \delta (e^{X})},$$

где W — группа Вейля $W=N_{U}(T)/T$ и δ( e ^Х ) задается формулой произведения (формула знаменателя Вейля), которая голоморфно продолжается до комплексификации ${\mathfrak {t}}$. Аналогичная формула произведения существует для d (λ), многочлена от λ.

На комплексной группе G интеграл от U -биинвариантной функции F можно вычислить как

$$\int _{G}F(g)\,dg={1 \over |W|}\int _{\mathfrak {a}}F(e^{X})\,|\delta (e^{X})|^{2}\,dX.$$

где ${\mathfrak {a}}=i{\mathfrak {t}}$.

Сферические функции группы G обозначаются буквой λ в ${\mathfrak {a}}=i{\mathfrak {t}}^{*}$ и определяется формулой Хариш-Чандры-Березина

$$\Phi _{\lambda }(e^{X})={\chi _{\lambda }(e^{X}) \over d(\lambda )}.$$

Они являются матричными коэффициентами неприводимой сферической главной серии группы G, индуцированной характером борелевской подгруппы группы G, соответствующей λ; эти представления неприводимы и все могут быть реализованы на L ² ( У / Т ).

Сферическое преобразование U -биинвариантной функции F имеет вид

$${\tilde {F}}(\lambda )=\int _{G}F(g)\Phi _{-\lambda }(g)\,dg$$

и формула сферической инверсии:

$$F(g)={1 \over |W|}\int _{{\mathfrak {a}}^{*}}{\tilde {F}}(\lambda )\Phi _{\lambda }(g)|d(\lambda )|^{2}\,d\,\lambda =\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {F}}(\lambda )\Phi _{\lambda }(g)|d(\lambda )|^{2}\,d\,\lambda ,$$

где ${\mathfrak {a}}_{+}^{*}$ представляет собой камеру Вейля . Фактически результат следует из формулы обращения Фурье для ${\mathfrak {a}}$ с $$d(\lambda )\delta (e^{X})\Phi _{\lambda }(e^{X})=\sum _{\sigma \in W}{\rm {sign}}(\sigma )e^{i\lambda (X)},$$так что ${\overline {d(\lambda )}}{\tilde {F}}(\lambda )$ это просто Фурье преобразование $F(e^{X})\delta (e^{X})$.

Заметим, что симметрическое пространство G / U имеет компактное двойственное компактное симметрическое пространство / U UxU где , U — диагональная подгруппа. Сферические функции для последнего пространства, которые можно отождествить с самим U , представляют собой нормированные характеры χ _λ / d (λ), индексированные точками решетки внутри пространства ${\mathfrak {a}}_{+}^{*}$ роль А играет Т. а Сферическое преобразование f на функции класса U определяется выражением

$${\tilde {f}}(\lambda )=\int _{U}f(u){{\overline {\chi _{\lambda }(u)}} \over d(\lambda )}\,du$$

и формула сферического обращения теперь следует из теории рядов Фурье по T :

$$f(u)=\sum _{\lambda }{\tilde {f}}(\lambda ){\chi _{\lambda }(u) \over d(\lambda )}d(\lambda )^{2}.$$

Между этими формулами и формулами для некомпактного дуала существует очевидная двойственность.

Вещественные полупростые группы Ли

Пусть G0 _Ли — нормальная вещественная форма комплексной полупростой группы Ли G , неподвижные точки инволюции σ, линейно сопряженные на алгебре G. группы Пусть τ — инволюция Картана группы G0 _, расширенная до инволюции группы G , комплексной, линейной на своей алгебре Ли, выбранной для коммутации с σ. Подгруппа неподвижных точек группы τσ — это компактная вещественная форма G , пересекающая G0 в _U максимальной компактной подгруппе K0 _группы . Подгруппа неподвижных точек группы τ — это , комплексификация K0 _K . Пусть G ₀ = K ₀ · P ₀ — соответствующее разложение Картана группы G ₀ , и пусть A — максимальная абелева подгруппа группы P ₀ . Фленстед-Йенсен (1978) доказал, что $$G=KA_{+}U,$$где А ₊ — образ замыкания камеры Вейля в ${\mathfrak {a}}$ под экспоненциальной картой. Более того, $$K\backslash G/U=A_{+}.$$

С $$K_{0}\backslash G_{0}/K_{0}=A_{+}$$

что существует каноническое отождествление K \ G / U , K0 ₊ \ G0 _, / K0 _между и A _{отсюда следует} . Таким образом, K ₀ -биинвариантные функции на G ₀ могут быть отождествлены с функциями на A _+, как и функции на G , инвариантные слева относительно K и инвариантные справа относительно U . Пусть f — функция из $C_{c}^{\infty }(K_{0}\backslash G_{0}/K_{0})$ и определим Mf в $C_{c}^{\infty }(U\backslash G/U)$ к $$Mf(a)=\int _{U}f(ua^{2})\,du.$$

Здесь третье разложение Картана G = UAU использовалось для отождествления U \ G / U с A ₊ .

Пусть ∆ — лапласиан на G0 _, / K0 _{лапласиан} и пусть ∆c _— на G / U . Затем $$4M\Delta =\Delta _{c}M.$$

Для F в $C_{c}^{\infty }(U\backslash G/U)$, определим M * F в $C_{c}^{\infty }(K_{0}\backslash G_{0}/K_{0})$ к $$M^{*}F(a^{2})=\int _{K}F(ga)\,dg.$$

Тогда М и М * удовлетворяют соотношениям двойственности $$\int _{G/U}(Mf)\cdot F=\int _{G_{0}/K_{0}}f\cdot (M^{*}F).$$

В частности $$M^{*}\Delta _{c}=4\Delta M^{*}.$$

для других операторов в центре универсальной обертывающей алгебры G0 _{Аналогичная совместимость имеется и} . Из характеристики собственных функций сферических функций следует, что $M^{*}\Phi _{2\lambda }$ пропорциональна φ _λ на G ₀ , константа пропорциональности определяется выражением $$b(\lambda )=M^{*}\Phi _{2\lambda }(1)=\int _{K}\Phi _{2\lambda }(k)\,dk.$$

Более того, в этом случае $$(M^{*}F)^{\sim }(\lambda )={\tilde {F}}(2\lambda ).$$

Если f = M * F , то формула сферического обращения для F на G означает, что для f на G ₀ : $$f(g)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }(g)\,\,2^{{\rm {dim}}\,A}\cdot |b(\lambda )|\cdot |d(2\lambda )|^{2}\,d\lambda ,$$с $$f(g)=M^{*}F(g)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {F}}(2\lambda )M^{*}\Phi _{2\lambda }(g)2^{{\rm {dim}}\,A}|d(2\lambda )|^{2}\,d\lambda =\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }(g)\,\,b(\lambda )2^{{\rm {dim}}\,A}|d(2\lambda )|^{2}\,d\lambda .$$

Прямое вычисление интеграла для b (λ), обобщающее вычисление Годемента (1957) для SL(2, R ), было оставлено открытой проблемой Фленстедом-Йенсеном (1978) . Явная формула произведения для b (λ) была известна благодаря предварительному определению меры Планшереля Хариш-Чандрой (1966) , что дает $$b(\lambda )=C\cdot d(2\lambda )^{-1}\cdot \prod _{\alpha >0}\tanh {\pi (\alpha ,\lambda ) \over (\alpha ,\alpha )},$$

где α пробегает положительные корни корневой системы в ${\mathfrak {a}}$ и C — нормализующая константа, заданная как частное произведений гамма-функций .

Теорема Планшереля Хариш-Чандры.

Пусть G — некомпактная связная вещественная полупростая группа Ли с конечным центром. Позволять ${\mathfrak {g}}$ обозначим ее алгебру Ли. Пусть K — максимальная компактная подгруппазадана как подгруппа неподвижных точек инволюции Картана σ. Позволять ${\mathfrak {g}}_{\pm }$ — собственные пространства ±1 σ в ${\mathfrak {g}}$, так что ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {g}}_{+}$ является алгеброй Ли группы K и ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {g}}_{-}$ дать разложение Картана

$${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}+{\mathfrak {p}},\,\,G=\exp {\mathfrak {p}}\cdot K.$$

Позволять ${\mathfrak {a}}$ — максимальная абелева подалгебра в ${\mathfrak {p}}$ и для α в ${\mathfrak {a}}^{*}$ позволять

$${\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{X\in {\mathfrak {g}}:[H,X]=\alpha (H)X\,\,(H\in {\mathfrak {a}})\}.$$

Если α ≠ 0 и ${\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq (0)$, то α называется ограниченным корнем и $m_{\alpha }=\dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }$ называется ее кратностью . Пусть A = exp ${\mathfrak {a}}$, так что G = KAK . Ограничение формы Киллинга определяет скалярный продукт на ${\mathfrak {p}}$ и, следовательно, ${\mathfrak {a}}$, что позволяет ${\mathfrak {a}}^{*}$ быть отождествленным с ${\mathfrak {a}}$. По отношению к этому скалярному произведению ограниченные корни Σ дают корневую систему . Его группу Вейля можно отождествить с $W=N_{K}(A)/C_{K}(A)$. Выбор положительных корней определяет камеру Вейля. ${\mathfrak {a}}_{+}^{*}$. Приведенная система корней Σ ₀ состоит из корней α таких, что α/2 не является корнем.

Определив сферические функции φ _λ, как указано выше для λ в ${\mathfrak {a}}^{*}$, сферическое преобразование f в C _c ^∞ ( K \ G / K ) определяется формулой $${\tilde {f}}(\lambda )=\int _{G}f(g)\varphi _{-\lambda }(g)\,dg.$$

Формула сферической инверсии гласит, что $$f(g)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }(g)\,|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda ,$$где c-функция Хариш-Чандры c (λ) определяется формулой $$c(\lambda )=c_{0}\cdot \prod _{\alpha \in \Sigma _{0}^{+}}{\frac {2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0}))}{\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0})\right]\right)\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0})\right]\right)}}$$с $\alpha _{0}=(\alpha ,\alpha )^{-1}\alpha$ и константа c ₀ выбрана так, что c (− iρ ) = 1, где $$\rho ={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in \Sigma ^{+}}m_{\alpha }\alpha .$$

Теорема Планшереля для сферических функций утверждает, что отображение $$W:f\mapsto {\tilde {f}},\,\,\,\ L^{2}(K\backslash G/K)\rightarrow L^{2}({\mathfrak {a}}_{+}^{*},|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda )$$унитарен и преобразует свертку путем $f\in L^{1}(K\backslash G/K)$ в умножение на ${\tilde {f}}$.

Расширение сферической функции Хариш-Чандры

Поскольку G = KAK , функции на G / K , инвариантные относительно K, можно отождествить с функциями на A , и, следовательно, ${\mathfrak {a}}$, инвариантные относительно группы Вейля W . В частности, поскольку лапласиан ∆ на G / K коммутирует с действием G второго порядка , он определяет дифференциальный оператор L на ${\mathfrak {a}}$, инвариантный относительно W , называемый радиальной частью лапласиана . В общем, если X находится в ${\mathfrak {a}}$, он определяет дифференциальный оператор первого порядка (или векторное поле) по формуле $$Xf(y)=\left.{\frac {d}{dt}}f(y+tX)\right|_{t=0}.$$

L можно выразить через эти операторы по формуле $$L=\Delta _{\mathfrak {a}}-\sum _{\alpha >0}m_{\alpha }\,\coth \alpha \,A_{\alpha },$$где A _α в ${\mathfrak {a}}$ определяется $$(A_{\alpha },X)=\alpha (X)$$и $$\Delta _{\mathfrak {a}}=-\sum X_{i}^{2}$$это лапласиан на ${\mathfrak {a}}$, соответствующий любому выбору ортонормированного базиса ( X _i ).

Таким образом $$L=L_{0}-\sum _{\alpha >0}m_{\alpha }\,(\coth \alpha -1)A_{\alpha },$$где $$L_{0}=\Delta _{\mathfrak {a}}-\sum _{\alpha >0}A_{\alpha },$$так что L можно рассматривать как возмущение оператора постоянного коэффициента L ₀ .

Теперь сферическая функция φ _λ является собственной функцией лапласиана: $$\Delta \varphi _{\lambda }=\left(\left\|\lambda \right\|^{2}+\left\|\rho \right\|^{2}\right)\varphi _{\lambda }$$и, следовательно, L , если рассматривать его как W -инвариантную функцию на ${\mathfrak {a}}$.

Поскольку е ^{иль – р} и ее преобразования под действием W являются собственными функциями L ₀ с тем же собственным значением, формулу для φ _λ естественно искать в терминах ряда теории возмущений $$f_{\lambda }=e^{i\lambda -\rho }\sum _{\mu \in \Lambda }a_{\mu }(\lambda )e^{-\mu },$$ конус всех неотрицательных целочисленных комбинаций положительных корней и преобразования f _λ при W. где Λ — Расширение $$\coth x-1=2\sum _{m>0}e^{-2mx},$$

приводит к рекурсивной формуле для коэффициентов a _µ (λ). В частности, они однозначно определены иряд и его производные сходятся абсолютно на ${\mathfrak {a}}_{+}$, фундаментальная область для W . Примечательно, что f _λ также является собственной функцией других G -инвариантных дифференциальных операторов на G / K , каждый из которых индуцирует W -инвариантный дифференциальный оператор на G/K. ${\mathfrak {a}}$.

Отсюда следует, что φ _λ можно выразить через линейную комбинацию f _λ и ее преобразований относительно W : $$\varphi _{\lambda }=\sum _{s\in W}c(s\lambda )f_{s\lambda }.$$

Здесь c (λ) — c-функция Хариш-Чандры . Он описывает асимптотическое поведение φ _λ в ${\mathfrak {a}}_{+}$, с $$\varphi _{\lambda }(e^{t}X)\sim c(\lambda )e^{(i\lambda -\rho )Xt}$$для X в ${\mathfrak {a}}_{+}$ и t > 0 большое.

Хариш-Чандра получил вторую интегральную формулу для φ _λ и, следовательно, c используя разложение Брюа G (λ) , : $$G=\bigcup _{s\in W}BsB,$$

где B = MAN и объединение непересекающееся. Беря элемент Кокстера s ₀ из W , единственное отображение элемента ${\mathfrak {a}}_{+}$ на $-{\mathfrak {a}}_{+}$, то σ( N ) имеет плотную открытую орбиту G / B = K / M, дополнение которой представляет собой объединение клеток строго меньшей размерности и, следовательно, имеет нулевую меру. Отсюда следует, что интегральная формуладля φ _λ, изначально определенного над K / M

$$\varphi _{\lambda }(g)=\int _{K/M}\lambda '(gk)^{-1}\,dk.$$

можно перевести в σ( N ): $$\varphi _{\lambda }(e^{X})=e^{i\lambda -\rho }\int _{\sigma (N)}{{\overline {\lambda '(n)}} \over \lambda '(e^{X}ne^{-X})}\,dn,$$для X в ${\mathfrak {a}}$.

С $$\lim _{t\to \infty }e^{tX}ne^{-tX}=1$$

для X в ${\mathfrak {a}}_{+}$, асимптотическое поведение φ _λ можно прочитать из этого интеграла, что приводит к формуле: $$c(\lambda )=\int _{\sigma (N)}{\overline {\lambda '(n)}}\,dn.$$

c-функция Хариш-Чандры

Основная статья: c-функция Хариш-Чандры

Многие роли c -функции Хариш-Чандры в некоммутативном гармоническом анализе рассмотрены в Helgason (2000) . Хотя первоначально он был введен Хариш-Чандрой в асимптотических разложениях сферических функций, обсуждавшихся выше, вскоре стало понятно, что он тесно связан с переплетающимися операторами между индуцированными представлениями, впервые изученными в этом контексте Брюа (1956) . Эти операторы демонстрируют унитарную эквивалентность между π _λ и π _{s λ} для s в группе Вейля, и к каждому такому оператору можно присоединить c -функцию c _s (λ), а именно значение в 1 сплетающего оператора, примененного к ξ ₀ , постоянная функция 1, в L ² ( К / М ). Эквивалентно, поскольку ξ ₀ с точностью до скалярного умножения является уникальным вектором, фиксированным K , он является собственным вектором сплетающего оператора с собственным значением c _s (λ).Все эти операторы действуют в одном и том же пространстве L ² ( K / M ), которое можно отождествить с представлением, индуцированным из 1-мерного представления, определенного λ на MAN . После A выбора компактная подгруппа M однозначно определяется как централизатор A в K . Нильпотентная подгруппа N , однако, зависит от выбора камеры Вейля в ${\mathfrak {a}}^{*}$ выбора переставляются группой Вейля W = M '/ M , где M ' — нормализатор A в K. различные варианты Стандартный сплетающий оператор , соответствующий ( s , λ), определяется на индуцированном представлении формулой $$A(s,\lambda )F(k)=\int _{\sigma (N)\cap s^{-1}Ns}F(ksn)\,dn,$$где σ — инволюция Картана. Он удовлетворяет переплетающему соотношению $$A(s,\lambda )\pi _{\lambda }(g)=\pi _{s\lambda }(g)A(s,\lambda ).$$

Ключевым свойством сплетающих операторов и их интегралов является свойство мультипликативного коцикла. $$A(s_{1}s_{2},\lambda )=A(s_{1},s_{2}\lambda )A(s_{2},\lambda ),$$в любое время $$\ell (s_{1}s_{2})=\ell (s_{1})+\ell (s_{2})$$

для функции длины на группе Вейля, связанной с выбором камеры Вейля. Для s в W это количество камер, пересекаемых отрезком прямой между X и sX для любой точки X внутри камеры. Единственный элемент наибольшей длины s ₀ , а именно количество положительно ограниченных корней, является единственным элементом, который несет камеру Вейля ${\mathfrak {a}}_{+}^{*}$ на $-{\mathfrak {a}}_{+}^{*}$. По интегральной формуле Хариш-Чандры это соответствует c -функции Хариш-Чандры:

$$c(\lambda )=c_{s_{0}}(\lambda ).$$

-функции С в общем случае определяются уравнением $$A(s,\lambda )\xi _{0}=c_{s}(\lambda )\xi _{0},$$где ξ ₀ — постоянная функция 1 в L ² ( К / М ). Свойство коцикла переплетающих операторов подразумевает аналогичное мультипликативное свойство для c -функций: $$c_{s_{1}s_{2}}(\lambda )=c_{s_{1}}(s_{2}\lambda )c_{s_{2}}(\lambda )$$предоставил $$\ell (s_{1}s_{2})=\ell (s_{1})+\ell (s_{2}).$$

Это сводит вычисление c _s к случаю, когда s = s _α , отражению в (простом) корне α, так называемому «редуцированию первого ранга» Гиндикина и Карпелевича (1962) . На самом деле в интеграле участвует только замкнутая связная подгруппа G ^а соответствующую подалгебре Ли, порожденной ${\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }$ где α лежит в Σ ₀ ⁺ . Тогда Г ^а — вещественная полупростая группа Ли вещественного ранга один, т. е. dim A ^а = 1, а c _s Хариш-Чандры — это просто c -функция группы G ^а . В этом случае c -функция может быть вычислена напрямую различными способами:

• отметив, что φ _λ можно выразить через гипергеометрическую функцию , для которой асимптотическое разложение известно из классических формул Гаусса для коэффициентов связи ;
• путем непосредственного вычисления интеграла, который может быть выражен как интеграл от двух переменных и, следовательно, как произведение двух бета-функций .

Это дает следующую формулу: $$c_{s_{\alpha }}(\lambda )=c_{0}{\frac {2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0}))}{\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0})\right)\right)\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0})\right)\right)}},$$где $$c_{0}=2^{m_{\alpha }/2+m_{2\alpha }}\Gamma \!\left({\tfrac {1}{2}}(m_{\alpha }+m_{2\alpha }+1)\right).$$

Общая формула Гиндикина–Карпелевича для c (λ) является непосредственным следствием этой формулы и мультипликативных свойств c _s (λ).

Теорема Пэли – Винера

Теорема Пэли-Винера обобщает классическую теорему Пэли-Винера, характеризуя сферические преобразования гладких K -бивариантных функций с компактным носителем на G . Необходимым и достаточным условием является то, что сферическое преобразование W -инвариантно и что существует R > 0 такое, что для каждого N существует оценка

$$|{\tilde {f}}(\lambda )|\leq C_{N}(1+|\lambda |)^{-N}e^{R\left|\operatorname {Im} \lambda \right|}.$$

В этом случае f поддерживается в замкнутом шаре радиуса R вокруг начала координат в G / K .

Это доказали Хельгасон и Ганголли ( Хельгасон (1970), стр. 37).

Позднее эта теорема была доказана Фленстедом-Йенсеном (1986) независимо от теоремы сферического обращения, используя модификацию его метода сведения к комплексному случаю.

Доказательство формулы обращения Розенберга

Розенберг (1977) заметил, что теорема Пэли-Винера и теорема сферического обращения могут быть доказаны одновременно с помощью трюка, который значительно упростил предыдущие доказательства.

Первый шаг его доказательства состоит в том, чтобы напрямую показать, что обратное преобразование, определенное с помощью c -функции Хариш-Чандры, определяет функцию, поддерживаемую в замкнутом шаре радиуса R относительно начала координат, если выполняется оценка Пэли-Винера. Это следует изпоскольку подынтегральная функция, определяющая обратное преобразование, продолжается до мероморфной функции комплексификации при ${\mathfrak {a}}^{*}$; интеграл можно перевести в ${\mathfrak {a}}^{*}+i\mu t$ для µ в ${\mathfrak {a}}_{+}^{*}$ и t > 0. Используя расширение Хариш-Чандрыφ _λ и формул для c (λ) в терминах гамма-функций , интеграл может быть ограничен при больших t и, следовательно, можно показать, что он обращается в нуль вне замкнутого шара радиуса R вокруг начала координат.

Эта часть теоремы Пэли-Винера показывает, что $$T(f)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda$$определяет распределение на G / K с носителем в начале координат o . Дальнейшая оценка интеграла показывает, что на самом деле он задается мерой и, следовательно, существует константа C такая, что $$T(f)=Cf(o).$$

Применяя этот результат к $$f_{1}(g)=\int _{K}f(x^{-1}kg)\,dk,$$отсюда следует, что $$Cf=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda .$$

неравенство C = 1 из теоремы Планшереля и теоремы Пэли-Винера о Дополнительный аргумент масштабирования позволяет вывести ${\mathfrak {a}}$.

Функции Шварца

Пространство Хариш-Чандры Шварца можно определить как

$${\mathcal {S}}(K\backslash G/K)=\left\{f\in C^{\infty }(G/K)^{K}:\sup _{x}\left|(1+d(x,o))^{m}(\Delta +I)^{n}f(x)\right|<\infty \right\}.$$

При сферическом преобразовании он отображается на ${\mathcal {S}}({\mathfrak {a}}^{*})^{W},$ пространство W -инварианта Функции Шварца на ${\mathfrak {a}}^{*}.$

Первоначальное доказательство Хариш-Чандры представляло собой длинный аргумент, основанный на индукции. Анкер (1991) нашел короткое и простое доказательство, позволяющее вывести результат непосредственно из версий формулы Пэли-Винера и формулы сферической инверсии. Он доказал, что сферическое преобразование функции Хариш-Чандры Шварца является классической функцией Шварца. Его ключевым наблюдением было показать, что обратное преобразование непрерывно в пространстве Пэли-Винера, наделенном классическими полунормами пространства Шварца , с использованием классических оценок.

Ссылки

• Анкер, Жан-Филипп (1991), «Сферическое преобразование Фурье быстро убывающих функций. Простое доказательство характеристики Хариш-Чандры, Хельгасона, Тромби и Варадараджана», J. Funct. Анальный. , 96 (2): 331–349, doi : 10.1016/0022-1236(91)90065-D
• Берендс, Р.Дж. (1987), "Преобразование Фурье c-функции Хариш-Чандры и инверсия преобразования Абеля", Math. Энн. , 277 : 1–23, doi : 10.1007/BF01457275 , S2CID   123060173
• Брюа, Франсуа (1956), «Об индуцированных представлениях групп Ли» , Bulletin de la Société Mathématique de France , 84 : 97–205, MR   0084713
• Дэвис, Э.Б. (1989), Тепловые ядра и спектральная теория , издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-40997-7
• Дьедонне, Жан (1978), Трактат об анализе, Vol. VI , Академическое издательство, ISBN  0-12-215506-8
• Фленстед-Йенсен, Могенс (1978), "Сферические функции вещественной полупростой группы Ли. Метод сведения к комплексному случаю", J. Funct. Анальный. , 30 : 106–146, дои : 10.1016/0022-1236(78)90058-7
• Фленстед-Йенсен, Могенс (1986), Анализ неримановых симметричных пространств , серия региональных конференций CBMS по математике, том. 61, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-0711-0
• Гельфанд, ИМ ; Наймарк, М.А. (1948), "Аналог формулы Планшереля для комплексной унимодулярной группы", Доклады АН СССР , 63 : 609–612.
• Gindikin, Simon G. ; Karpelevich, Fridrikh I. (1962), Мера Планшереля для римановых симметрических пространств неположительной кривизны Мера Планшереля для симметричных римановых пространств неположительной кривизны, Доклады АН СССР , 145 : 252–255, МР   0150239 .
• Гиндикин, С.Г. (2008), «Оросферическое преобразование на римановых симметричных многообразиях некомпактного типа», Функциональный анализ и его приложения , 42 (4): 290–297, doi : 10.1007/s10688-008-0042-2 , S2CID   120718983
• Годеман, Роджер (1957), Введение в работы А. Сельберга (Разоблачение № 144, февраль 1957 г.) , Семинар Бурбаки , том. 4, Соц. Математика. Франция, с. 95–110
• Гиймен, Виктор ; Штернберг, Шломо (1977), Геометрическая асимптотика , Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1633-0 , Приложение к главе VI, Формула Планшереля для комплексных полупростых групп Ли .
• Хариш-Чандра (1951), «Формула Планшереля для комплексных полупростых групп Ли», Proc. Натл. акад. наук. США , 37 (12): 813–818, Bibcode : 1951PNAS...37..813H , doi : 10.1073/pnas.37.12.813 , JSTOR   88521 , PMC   1063477 , PMID   16589034
• Хариш-Чандра (1952), «Формула Планшереля для вещественной унимодулярной группы 2 x 2», Proc. Натл. акад. наук. США , 38 (4): 337–342, doi : 10.1073/pnas.38.4.337 , JSTOR   88737 , PMC   1063558 , PMID   16589101
• Хариш-Чандра (1958a), «Сферические функции в полупростой группе Ли. I», American Journal of Mathematics , 80 (2), American Journal of Mathematics, Vol. 80, № 2: 241–310, номер документа : 10.2307/2372786 , JSTOR   2372786 , MR   0094407.
• Хариш-Чандра (1958b), «Сферические функции в полупростой группе Ли II», American Journal of Mathematics , 80 (3), The Johns Hopkins University Press: 553–613, doi : 10.2307/2372772 , JSTOR   2372772
• Хариш-Чандра (1966), «Дискретный ряд для полупростых групп Ли, II» , Acta Mathematica , 116 : 1–111, doi : 10.1007/BF02392813 , S2CID   125806386 , раздел 21.
• Хельгасон, Сигурдур (1970), «Двойственность симметричных пространств с приложениями к групповым представлениям», Успехи в математике , 5 : 1–154, doi : 10.1016/0001-8708(70)90037-X
• Хельгасон, Сигурдур (1968), Группы Ли и симметрические пространства , Battelle Rencontres, Бенджамин, стр. 1–71 (общее введение для физиков)
• Хельгасон, Сигурдур (1984), Группы и геометрический анализ. Интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции , Academic Press, ISBN  0-12-338301-3
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, Группы Ли и симметрические пространства , Чистая и прикладная математика 80, Нью-Йорк: Academic Press, стр. xvi + 628, ISBN  0-12-338460-5 .

• -функция Хариш-Чандры Хельгасон, Сигурдур (2000), « С : математическая жемчужина», Proceedings of Symposium in Pure Mathematics , 68 : 273–284, doi : 10.1090/pspum/068/0834
• Йоргенсон, Джей; Ланг, Серж (2001), Сферическая инверсия на SL (n, R) , Монографии Springer по математике, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95115-6
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп: обзор, основанный на примерах , Princeton University Press, ISBN  0-691-09089-0
• Костант, Бертрам (1969), «О существовании и неприводимости некоторых серий представлений» (PDF) , Bull. амер. Математика. Соц. , 75 (4): 627–642, номер документа : 10.1090/S0002-9904-1969-12235-4.
• Ланг, Серж (1998), SL (2, R) , Спрингер, ISBN  0-387-96198-4
• Лакс, Питер Д .; Филлипс, Ральф (1976), Теория рассеяния для автоморфных функций , Анналы математических исследований, том. 87, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-08184-0
• Леб, Жак (1979), Гармонический анализ симметричных пространств ранга 1. Сведение к вещественным гиперболическим пространствам нечетной размерности , Конспекты лекций по математике, том. 739, Спрингер, стр. 623–646
• Розенберг, Джонатан (1977), «Быстрое доказательство теоремы Планшереля Хариш-Чандры для сферических функций в полупростой группе Ли», Proceedings of the American Mathematical Society , 63 (1): 143–149, doi : 10.1090/S0002-9939 -1977-0507231-8 , JSTOR   2041084
• Сельберг, Атле (1956), «Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле», J. Indian Math. Соц. , 20 : 47–87
• Стаде, Э. (1999), «Гиперболический тангенс и обобщенная инверсия Меллина», Rocky Mountain Journal of Mathematics , 29 (2): 691–707, doi : 10.1216/rmjm/1181071659
• Такахаши, Р. (1963), “Об унитарных представлениях обобщенных групп Лоренца”, Bull. Соц. Математика. Франция (на французском языке), 91 : 289–433, doi : 10.24033/bsmf.1598.