Мера Планшереля

В математике — мера Планшереля это мера, определенная на множестве неприводимых унитарных представлений локально компактной группы. $G$, который описывает, как регулярное представление распадается на неприводимые унитарные представления. В некоторых случаях термин «мера Планшереля» применяется конкретно в контексте группы $G$ конечная симметрическая группа $S_{n}$ - см. ниже. Он назван в честь швейцарского математика Мишеля Планшереля за его работы в области теории представлений .

Определение конечных групп

Позволять $G$ — конечная группа , обозначим множество ее неприводимых представлений через $G^{\wedge }$. Соответствующая мера Планшереля на множестве $G^{\wedge }$ определяется

$\mu (\pi )={\frac {(\mathrm {dim} \,\pi )^{2}}{|G|}},$

где $\pi \in G^{\wedge }$, и $\mathrm {dim} \pi$ обозначает размерность неприводимого представления $\pi$.

Определение симметрической группы

Важным частным случаем является случай конечной симметрической группы $S_{n}$, где $n$ является положительным целым числом. Для этой группы набор $S_{n}^{\wedge }$ неприводимых представлений находится в естественной биекции с множеством целочисленных разбиений $n$. Для неприводимого представления, связанного с целочисленным разбиением $\lambda$, его размерность, как известно, равна $f^{\lambda }$, количество стандартных таблиц Юнга формы $\lambda$, поэтому в этом случае мера Планшереля часто рассматривается как мера на множестве целочисленных разбиений заданного порядка n , заданного формулой

$\mu (\lambda )={\frac {(f^{\lambda })^{2}}{n!}}.$

Тот факт, что сумма этих вероятностей равна 1, следует из комбинаторного тождества

$\sum _{\lambda \vdash n}(f^{\lambda })^{2}=n!,$

что соответствует биективному характеру соответствия Робинсона–Шенстеда .

Приложение

Мера Планшереля естественным образом появляется в комбинаторных и вероятностных задачах, особенно при исследовании самой длинной возрастающей подпоследовательности случайной перестановки. $\sigma$. Из-за своей важности в этой области во многих современных исследовательских работах термин « мера Планшереля» почти исключительно относится к случаю симметричной группы. $S_{n}$.

Соединение с самой длинной возрастающей подпоследовательностью

Позволять $L(\sigma )$ обозначают длину самой длинной возрастающей подпоследовательности случайной перестановки $\sigma$ в $S_{n}$ выбрано в соответствии с равномерным распределением. Позволять $\lambda$ обозначают форму соответствующих таблиц Юнга, связанных с $\sigma$ по переписке Робинсона-Шенстеда . Тогда имеет место тождество:

$L(\sigma )=\lambda _{1},$

где $\lambda _{1}$ обозначает длину первой строки $\lambda$. Более того, из того факта, что соответствие Робинсона–Шенстеда биективно, следует, что распределение $\lambda$ является в точности мерой Планшереля на $S_{n}$. Итак, чтобы понять поведение $L(\sigma )$, естественно смотреть на $\lambda _{1}$ с $\lambda$ выбрано по мере Планшереля в $S_{n}$, поскольку эти две случайные величины имеют одинаковое распределение вероятностей.

Пуассонизированная мера Планшереля

Мера Планшереля определяется на $S_{n}$ для каждого целого числа $n$. В различных исследованиях асимптотического поведения $L(\sigma )$ как $n\rightarrow \infty$, это оказалось полезным расширить меру до меры, называемой пуассонизированной мерой Планшереля , на множестве ${\mathcal {P}}^{*}$ всех целочисленных разделов. Для любого $\theta >0$, пуассонизированная мера Планшереля с параметром $\theta$ на съемочной площадке ${\mathcal {P}}^{*}$ определяется

$\mu _{\theta }(\lambda )=e^{-\theta }{\frac {\theta ^{|\lambda |}(f^{\lambda })^{2}}{(|\lambda |!)^{2}}},$

для всех $\lambda \in {\mathcal {P}}^{*}$.

Процесс роста Планшереля

Процесс роста Планшереля представляет собой случайную последовательность диаграмм Юнга. $\lambda ^{(1)}=(1),~\lambda ^{(2)},~\lambda ^{(3)},~\ldots ,$ такой, что каждый $\lambda ^{(n)}$ представляет собой случайную диаграмму порядка Юнга $n$ распределение вероятностей которого является n- й мерой Планшереля, а каждое последующее $\lambda ^{(n)}$ получен от своего предшественника $\lambda ^{(n-1)}$ путем добавления одного ящика в соответствии с вероятностью перехода

$p(\nu ,\lambda )=\mathbb {P} (\lambda ^{(n)}=\lambda ~|~\lambda ^{(n-1)}=\nu )={\frac {f^{\lambda }}{nf^{\nu }}},$

для любых заданных диаграмм Юнга $\nu$ и $\lambda$ размеров n − 1 и n соответственно.

Таким образом, процесс роста Планшереля можно рассматривать как естественную связь различных мер Планшереля всех симметричных групп или, альтернативно, как случайное блуждание по решетке Юнга . Нетрудно показать, что вероятностей распределение $\lambda ^{(n)}$ в этом блуждании совпадает с мерой Планшереля на $S_{n}$.

Компактные группы

Мера Планшереля для компактных групп аналогична мере для конечных групп, за исключением того, что мера не обязательно должна быть конечной. Унитарное двойственное представление представляет собой дискретное множество конечномерных представлений, а мера Планшереля неприводимого конечномерного представления пропорциональна его размерности.

Абелевы группы

Унитарная двойственная локально компактная абелева группа — это еще одна локально компактная абелева группа, а мера Планшереля пропорциональна мере Хаара дуальной группы.

Полупростые группы Ли

Мера Планшереля для полупростых групп Ли была найдена Хариш-Чандрой . Опора — это набор умеренных представлений , и, в частности, не все унитарные представления обязательно должны присутствовать в опоре.