Унитарное представительство

В математике унитарное представление группы g G — это линейное представление π группы в комплексном гильбертовом пространстве V такое, что π( ) — унитарный оператор для каждого g ∈ G. G Общая теория хорошо разработана в случае, когда G — локально компактная ( хаусдорфова ) топологическая группа и представления сильно непрерывны .

Эта теория широко применялась в квантовой механике с 1920-х годов, особенно под влиянием книги Германа Вейля 1928 года «Групповая теория и квантовая механика» . Одним из пионеров построения общей теории унитарных представлений для любой группы G , а не только для конкретных групп, полезных в приложениях, был Джордж Макки .

Контекст в гармоническом анализе

Теория унитарных представлений топологических групп тесно связана с гармоническим анализом . В случае абелевой группы G достаточно полную картину теории представлений G дает двойственность Понтрягина . В общем, классы унитарной эквивалентности (см. ниже ) неприводимых унитарных представлений группы G составляют ее унитарное двойственное представление . Это множество можно отождествить со спектром С*-алгебры, ассоциированной с G с помощью конструкции групповой С*-алгебры . Это топологическое пространство .

Общая форма Планшереля пытается описать регулярное представление G теоремы на L. ²( G ) с использованием меры на унитарном двойственном. Для габелиана это дается теорией двойственности Понтрягина. Для G компакта это делается по теореме Питера-Вейля ; в этом случае унитарное двойственное пространство представляет собой дискретное пространство , и мера присоединяет атом к каждой точке массы, равной ее степени.

Формальные определения

Пусть G — топологическая группа. Сильно непрерывное унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве H — это групповой гомоморфизм группы G в унитарную группу группы H ,

\pi :G\rightarrow \operatorname {U} (H)

такой, что → π( g ) ξ — непрерывная по норме функция для любого ξ ∈ H. g

Обратите внимание, что если G — группа Ли , гильбертово пространство также допускает лежащие в его основе гладкие и аналитические структуры. Вектор ξ в H называется гладким или аналитическим, если отображение g → π( g ) ξ является гладким или аналитическим (в норме или слабых топологиях на H ). ^[1] Гладкие векторы плотны в H по классическому аргументу Ларса Гординга , поскольку свертка с помощью гладких функций с компактным носителем дает гладкие векторы. Аналитические векторы плотны согласно классическому аргументу Эдварда Нельсона , усиленному Роу Гудманом, поскольку векторы в образе оператора теплопроводности e ^–tD, соответствующие эллиптическому дифференциальному оператору D в универсальной обертывающей алгебре G , являются аналитическими. Не только гладкие или аналитические векторы образуют плотные подпространства; но они также образуют общие ядра для неограниченных кососопряженных операторов, соответствующих элементам алгебры Ли , в смысле спектральной теории . ^[2]

Два унитарных представления π ₁ : G → U( H ₁ ), π ₂ : G → U( H ₂ ) называются унитарно эквивалентными, если существует унитарное преобразование A : H ₁ → H ₂ такое, что π ₁ ( g ) = А ^* ∘ π ₂ ( г ) ∘ A для всех г в G . Когда это справедливо, говорят, что A является сплетающим оператором для представлений $(\pi _{1},H_{1}),(\pi _{2},H_{2})$ . ^[3]

Если $\pi$ является представлением связной группы Ли $G$ в конечномерном гильбертовом пространстве $H$ , затем $\pi$ унитарно тогда и только тогда, когда ассоциированное представление алгебры Ли $d\pi :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {End} (H)$ отображается в пространство кососамосопряженных операторов на $H$ . ^[4]

Полная сводимость

Унитарное представление полностью приводимо в том смысле, что для любого замкнутого инвариантного подпространства ортогональное дополнение снова является замкнутым инвариантным подпространством. Это на уровне наблюдения, но является фундаментальным свойством. Например, из этого следует, что конечномерные унитарные представления всегда являются прямой суммой неприводимых представлений в алгебраическом смысле.

Поскольку с унитарными представлениями гораздо проще обращаться, чем в общем случае, естественно рассматривать унитаризуемые представления , те, которые становятся унитарными при введении подходящей комплексной структуры гильбертова пространства. Это очень хорошо работает для конечных групп и, в более общем смысле, для компактных групп , благодаря аргументу усреднения, применяемому к произвольной эрмитовой структуре. ^[5] Например, получить естественное доказательство теоремы Машке этим путем можно .

Унитаризуемость и унитарный двойственный вопрос

Вообще для некомпактных групп более серьезен вопрос, какие представления унитаризуемы. Одной из важных нерешенных проблем математики является описание унитарно-двойственной — эффективная классификация неприводимых унитарных представлений всех вещественных редуктивных групп Ли . Все неприводимые унитарные представления допустимы (точнее, их модули Хариш-Чандры ), причем допустимые представления задаются классификацией Ленглендса , и легко сказать, какие из них имеют нетривиальную инвариантную полуторалинейную форму . Проблема в том, что обычно трудно определить, является ли квадратичная форма положительно определенной . Для многих редуктивных групп Ли эта проблема решена; см . в теории представлений SL2(R) и теории представлений группы Лоренца примеры .

Примечания

^ Уорнер (1972)
^ Рид и Саймон (1975)
^ Пол Салли (2013) Основы математического анализа , Американское математическое общество, стр. 234
^ Зал 2015 г., Предложение 4.8.
^ Зал 2015 г., раздел 4.4.

Ссылки

Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики, Vol. 2: Анализ Фурье, самосопряженность , Academic Press, ISBN 0-12-585002-6
Уорнер, Гарт (1972), Гармонический анализ полупростых групп Ли I , Springer-Verlag, ISBN 0-387-05468-5

См. также

[1] Уорнер (1972)

[2] Рид и Саймон (1975)

[3] Пол Салли (2013) Основы математического анализа , Американское математическое общество, стр. 234

[4] Зал 2015 г., Предложение 4.8.

[5] Зал 2015 г., раздел 4.4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]