Изотипическое представление

В теории групп изотипическое . , первичное или факторное представление группы G является унитарным представлением $\pi :G\longrightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ такие, что любые два подпредставления имеют эквивалентные подпредставления. Это связано с понятием первичного или факторного представления C *-алгебры или фактора алгебры фон Неймана : представления $\pi$ группы G изотипична тогда и только тогда, когда $\pi (G)^{''}$ является фактором.

Этот термин чаще используется в контексте полупростых модулей .

Свойство

Одно из интересных свойств этого понятия заключается в том, что два изотипических представления либо квазиэквивалентны, либо не пересекаются (по аналогии с тем, что неприводимые представления либо унитарно эквивалентны, либо не пересекаются).

Это можно понять через соответствие между факторными представлениями и минимальной центральной проекцией (в алгебре фон Неймана). Тогда две минимальные центральные проекции либо равны, либо ортогональны.

Пример

Пусть G — компактная группа. Следствием теоремы Петера – Вейля является то, что любое унитарное представление $\pi :G\longrightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ в сепарабельном гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ является возможно бесконечной прямой суммой конечномерных неприводимых представлений. Изотипическое представление — это любая прямая сумма эквивалентных неприводимых представлений, которые появляются (обычно несколько раз) в ${\mathcal {H}}$.

Библиография

• Дейтмар, А.; Эхтерхофф, С. (2014). Принципы гармонического анализа . Университеттекст. Международное издательство Спрингер. ISBN  978-3-319-05792-7 .
• Диксмье, Жак (1982). С*-алгебры . Издательство Северной Голландии. компании ISBN  0-444-86391-5 . OCLC   832825844 .

Дальнейшее чтение

• Макки
• «Группы лжи», Клаудио Процессези, поб. п. 156.
• «Группа и симметрии», Иветт Косман-Шварцбах.