Модуль Хариш-Чандра

В математике , конкретно в теории представлений групп Ли , модуль Хариш-Чандры , названный в честь индийского математика и физика Хариш-Чандры , представляет собой представление реальной группы Ли , связанное с общим представлением, с условиями регулярности и конечности. Когда ассоциированное представление является $({\mathfrak {g}},K)$ -модуль, то его модуль Хариш-Чандры является представлением с желаемыми свойствами факторизации.

Определение

Пусть G — группа Ли и K компактная подгруппа в G. — Если $(\pi ,V)$ является представлением G , то модуль Хариш-Чандры группы $\pi$ — подпространство X пространства V, состоящее из K-конечных гладких векторов из V . Это означает, что X включает в себя именно те векторы v , что отображение $\varphi _{v}:G\longrightarrow V$ с помощью

\varphi _{v}(g)=\pi (g)v

гладко, а подпространство

{\text{span}}\{\pi (k)v:k\in K\}

является конечномерным.

Примечания

В 1973 году Леповски показал, что любые неприводимые $({\mathfrak {g}},K)$ -модуль X изоморфен модулю Хариш-Чандры неприводимого представления группы G в гильбертовом пространстве . Такие представления допустимы , то есть они разлагаются аналогично простой факторизации целых чисел. (Конечно, разложение может иметь бесконечно много различных факторов!) Кроме того, результат Хариш-Чандры показывает, что если G — редуктивная группа Ли с максимальной компактной подгруппой K и X — неприводимая $({\mathfrak {g}},K)$ -модуль с положительно определенной эрмитовой формой, удовлетворяющей

\langle k\cdot v,w\rangle =\langle v,k^{-1}\cdot w\rangle

и

\langle Y\cdot v,w\rangle =-\langle v,Y\cdot w\rangle

для всех $Y\in {\mathfrak {g}}$ и $k\in K$ , то X — модуль Хариш-Чандры единственного неприводимого унитарного представления G .

Ссылки

Воган-младший, Дэвид А. (1987), Унитарные представления редуктивных групп Ли , Анналы математических исследований, том. 118, Издательство Принстонского университета, ISBN 978-0-691-08482-4

См. также