(g,K)-модуль

В математике , точнее в теории представлений редуктивных групп Ли , $({\mathfrak {g}},K)$-модуль — алгебраический объект, впервые представленный Хариш-Чандрой , используется для работы с непрерывными бесконечномерными представлениями с использованием алгебраических методов. Хариш-Чандра показал, что изучение неприводимых унитарных представлений вещественной редуктивной группы Ли G можно свести к изучению неприводимых $({\mathfrak {g}},K)$-модули, где ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли группы G а K — максимальная компактная подгруппа группы G. ,

Определение

Пусть G — вещественная группа Ли. Позволять ${\mathfrak {g}}$ — ее алгебра Ли, а K — максимальная компактная подгруппа с алгеброй Ли ${\mathfrak {k}}$. А $({\mathfrak {g}},K)$-модуль определяется следующим образом: это векторное пространство V , которое одновременно является алгебры Ли представлением ${\mathfrak {g}}$ и групповое представление K условиям (без учета топологии K ) , удовлетворяющее следующим трем

1. для любых v € V , k € K и X € ${\mathfrak {g}}$

$k\cdot (X\cdot v)=(\operatorname {Ad} (k)X)\cdot (k\cdot v)$

для любого v ∈ V 2. Kv охватывает конечномерное подпространство V , на котором действие K непрерывно.

3. для любых v ∈ V и Y ∈ ${\mathfrak {k}}$

$\left.\left({\frac {d}{dt}}\exp(tY)\cdot v\right)\right|_{t=0}=Y\cdot v.$

В приведенном выше примере точка $\cdot$, обозначает как действие ${\mathfrak {g}}$ на V на К. и Обозначение Ad( k ) обозначает присоединенное действие группы G на ${\mathfrak {g}}$, Kv — набор векторов $k\cdot v$ поскольку k меняется по всему K .

Первое условие можно понять так: если G — общая линейная группа GL( n , R ), то ${\mathfrak {g}}$ — алгебра всех n × n матриц, а присоединенное действие k на X есть kXk ⁻¹ ; тогда условие 1 можно прочитать как

$kXv=kXk^{-1}kv=\left(kXk^{-1}\right)kv.$

Другими словами, это требование совместимости действий K на V , ${\mathfrak {g}}$ на V и K на ${\mathfrak {g}}$. Третье условие также является условием совместимости, на этот раз между действием ${\mathfrak {k}}$ на V, рассматриваемом как субалгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ и его действие рассматривается как дифференциал действия K на V .

Ссылки

• Доран, Роберт С.; Варадараджан, В.С., ред. (2000), Математическое наследие Хариш-Чандры , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 68, АМС , ISBN  978-0-8218-1197-9 , МР   1767886
• Уоллах, Нолан Р. (1988), Реальные редуктивные группы I , Чистая и прикладная математика, том. 132, Академическое издательство, ISBN  978-0-12-732960-4 , МР   0929683