Допустимое представительство

В математике допустимые представления — это класс представлений используемый в теории представлений редуктивных с хорошим поведением , групп Ли и локально компактных полностью несвязных групп . Их представил Хариш-Чандра .

Действительные или комплексные редуктивные группы Ли.

Пусть G — связная редуктивная (вещественная или комплексная) группа Ли. Пусть K — максимальная компактная подгруппа. Непрерывное представление (π, V ) группы G в комплексном гильбертовом пространстве V ^[1] называется допустимым, если π, ограниченное на K , унитарно и каждое неприводимое унитарное представление K встречается в нем с конечной кратностью. Прототипическим примером является неприводимое унитарное представление G .

Допустимое представление π индуцирует $({\mathfrak {g}},K)$ -модуль , с которым легче иметь дело, поскольку это алгебраический объект. Два допустимых представления называются бесконечно эквивалентными , если ассоциированные с ними представления $({\mathfrak {g}},K)$ -модули изоморфны. Хотя для общих допустимых представлений это понятие отличается от обычной эквивалентности, важным результатом является то, что два понятия эквивалентности согласуются для унитарных (допустимых) представлений. Кроме того, существует понятие унитарности $({\mathfrak {g}},K)$ -модули. Это сводит изучение классов эквивалентности неприводимых унитарных представлений группы G к изучению бесконечно малых классов эквивалентности допустимых представлений и определению того, какие из этих классов бесконечно унитарны. Проблема параметризации бесконечно малых классов эквивалентности допустимых представлений была полностью решена Робертом Ленглендсом и называется классификацией Ленглендса .

Полностью разобщенные группы

Пусть G — локально компактная полностью несвязная группа (такая как редуктивная алгебраическая группа над неархимедовым локальным полем или над конечными аделями глобального поля ). Представление (π, V ) группы G в комплексном векторном пространстве V называется гладким, если подгруппа группы G, фиксирующая любой вектор из V открыта , . Если, кроме того, пространство векторов, фиксированных какой-либо компактной открытой подгруппой, конечномерно, то π называется допустимым . Допустимые представления p -адических групп допускают более алгебраическое описание через действие алгебры Гекке локально постоянных функций на G .

Глубокие исследования допустимых представлений p -адических редуктивных групп были предприняты Кассельманом , Бернштейном и Зелевинским в 1970-х годах. Прогресс был достигнут совсем недавно ^{[ когда? ]} Хоу и классифицировали допустимые двойственные представления , Мой, Гопал Прасад , Бушнелл и Куцко, которые разработали теорию типов (т.е. набор классов эквивалентности неприводимых допустимых представлений) во многих случаях. ^{[ нужна ссылка ]}

Примечания

^ Т.е. гомоморфизм π : G → GL( V ) (где GL( V ) — группа ограниченных линейных операторов на V , обратный которых также ограничен и линейен) такой, что ассоциированное отображение G × V → V непрерывно.

Ссылки

Бушнелл, Колин Дж .; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) , Фундаментальные принципы математических наук, том. 335, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/3-540-31511-X , ISBN. 978-3-540-31486-8 , МР 2234120
Бушнелл, Колин Дж.; Филип К. Куцко (1993). Допустимая двойственная группа GL(N) через компактные открытые подгруппы . Анналы математических исследований 129. Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02114-7 .
Глава VIII Кнапп, Энтони В. (2001). Теория представлений полупростых групп: обзор на примерах . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-09089-0 .

[1] Т.е. гомоморфизм π : G → GL( V ) (где GL( V ) — группа ограниченных линейных операторов на V , обратный которых также ограничен и линейен) такой, что ассоциированное отображение G × V → V непрерывно.

[1]