Классификация Ленглендса

В математике — классификация Ленглендса это описание неприводимых представлений редуктивной группы Ли G , предложенное Робертом Ленглендсом (1973). Существуют две несколько разные версии классификации Ленглендса. Один из них описывает неприводимые допустимые ( g , K ) -модули :для g — алгебра Ли редуктивной группы Ли G с максимальной компактной подгруппой K в терминах умеренных представлений меньших групп. Умеренные изображения, в свою очередь, были классифицированы Энтони Кнаппом и Греггом Цукерманом . Другая версия классификации Ленглендса делит неприводимые представления на L-пакеты терминах некоторых гомоморфизмов группы Вейля R и классифицирует L-пакеты в или C в двойственную группу Ленглендса .

Обозначения

• g — алгебра Ли вещественной редуктивной группы Ли G в классе Хариш-Чандры .
• K — максимальная компактная подгруппа группы G с алгеброй Ли k .
• — инволюция Картана группы G , фиксирующая K. ω
• p — собственное пространство −1 картановской инволюции g .
• a — максимальное абелевое подпространство в p .
• — корневая система a Σ в g .
• ∆ — множество простых корней Σ.

Классификация

Классификация Ленглендса утверждает, что неприводимые допустимые представления ( g , K ) параметризуются тройками

( Ж , п, л)

где

• F является подмножеством ∆
• Q — стандартная параболическая подгруппа группы F с разложением Ленглендса Q = MAN.
• σ — неприводимое умеренное представление полупростой группы Ли M (с точностью до изоморфизма).
• λ — элемент Hom( a _F , C ) такой, что α(Re(λ)) > 0 для всех простых корней α не из F .

Точнее, неприводимое допустимое представление, заданное приведенными выше данными, является неприводимым фактором параболически индуцированного представления.

Пример классификации Ленглендса см. в теории представлений SL2(R) .

Вариации

Существует несколько незначительных вариаций классификации Ленглендса. Например:

• Вместо неприводимого фактора можно взять неприводимый подмодуль.
• Поскольку умеренные представления, в свою очередь, задаются как определенные представления, индуцированные из дискретных рядов или предела представлений дискретных рядов, можно выполнить обе индукции одновременно и получить классификацию Ленглендса, параметризованную дискретными рядами или пределом представлений дискретных рядов, вместо умеренных представлений. Проблема в том, что сложно решить, являются ли два неприводимых представления одинаковыми.

Ссылки

• Адамс, Джеффри; Барбаш, Дэн; Воган, Дэвид А. (1992), Классификация Ленглендса и неприводимые характеры для реальных редуктивных групп , Progress in Mathematics, vol. 104, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон, ISBN  978-0-8176-3634-0 , МР   1162533
• Э. П. ван ден Бан, Индуцированные представления и классификация Ленглендса, в ISBN   0-8218-0609-2 (Т. Бейли и А. В. Кнапп, ред.).
• Борель А. и Уоллах Н. Непрерывные когомологии, дискретные подгруппы и представления редуктивных групп . Второе издание. Математические обзоры и монографии, 67. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2000. xviii+260 стр. ISBN   0-8218-0851-6
• Ленглендс, Роберт П. (1989) [1973], «О классификации неприводимых представлений вещественных алгебраических групп» , в Салли, Пол Дж.; Воган, Дэвид А. (ред.), Теория представлений и гармонический анализ полупростых групп Ли , Math. Обзоры Моногр., вып. 31, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 101–170, ISBN.  978-0-8218-1526-7 , МР   1011897
• Воган, Дэвид А. (2000), «Классификация Ленглендса для унитарных представлений» (PDF) , в Кобаяши, Тосиюки; Касивара, Масаки ; Мацуки, Тошихико; Нисияма, Кё; Осима, Тосио (ред.), Анализ однородных пространств и теория представлений групп Ли, Окаяма-Киото (1997) , Adv. Стад. Чистая математика., вып. 26, Токио: Матем. Соц. Япония, стр. 299–324, ISBN.  978-4-314-10138-7 , МР   1770725
• Д. Воган, Представления вещественных редуктивных групп Ли , ISBN   3-7643-3037-6