Закаленное представление

В математике умеренным представлением линейной полупростой группы Ли является представление , имеющее базис, матричные коэффициенты которого лежат в L ^п космос

л ^2+е ( Г )

для любого ε > 0.

Формулировка

Это условие в только что приведенном виде немного слабее, чем условие интегрируемости матричных коэффициентов с квадратом , другими словами, лежит в

л ² ( Г ),

что будет определением представления дискретной серии . Если G — линейная полупростая группа Ли с максимальной компактной подгруппой K , то допустимое представление ρ группы G является умеренным, если указанное выше условие выполняется для K -конечных матричных коэффициентов группы ρ.

Приведенное выше определение также используется для более общих групп, таких как p -адические группы Ли и конечные центральные расширения полупростых вещественных алгебраических групп. Определение «умеренного представления» имеет смысл для произвольных унимодулярных локально компактных групп , но на группах с бесконечными центрами, таких как бесконечные центральные расширения полупростых групп Ли, оно ведет себя не очень хорошо и обычно заменяется несколько другим определением. Точнее, неприводимое представление называется умеренным, если оно унитарно при ограничении на центр Z и абсолютные значения матричных коэффициентов находятся в L ^2+е ( Г / З ).

Умеренные представления на полупростых группах Ли были впервые определены и изучены Хариш-Чандрой (используя другое, но эквивалентное определение), который показал, что они являются именно теми представлениями, которые необходимы для теоремы Планшереля . Они были классифицированы Кнаппом и Цукерманом и использованы Ленглендсом в Ленглендса классификации неприводимых представлений редуктивной группы Ли G в терминах умеренных представлений меньших групп.

История

Неприводимые умеренные представления были идентифицированы Хариш-Чандрой в его работе по гармоническому анализу полупростой группы Ли как те представления, которые вносят вклад в меру Планшереля . Первоначальное определение умеренного представления, которое имеет определенные технические преимущества, состоит в том, что его характер Хариш-Чандры должен быть «умеренным распределением» (см. раздел об этом ниже). Из результатов Хариш-Чандры следует, что оно эквивалентно более элементарному определению, данному выше. Умеренные представления также, по-видимому, играют фундаментальную роль в теории автоморфных форм . Эта связь, вероятно, была впервые осознана Сатаке (в контексте гипотезы Рамануджана-Петерссона ) и Робертом Ленглендсом и послужила мотивацией для Ленглендса разработать свою схему классификации неприводимых допустимых представлений вещественных и p -адических редуктивных алгебраических групп в терминах умеренные представления меньших групп. Точные гипотезы, определяющие место умеренных представлений в автоморфном спектре, были сформулированы позже Джеймса Артура и составляют одну из наиболее активно развивающихся частей современной теории автоморфных форм.

Гармонический анализ

Умеренные представления играют важную роль в гармоническом анализе полупростых групп Ли . Неприводимое G унитарное представление полупростой группы Ли является умеренным тогда и только тогда, когда оно имеет носитель меры Планшереля группы G . Другими словами, умеренные представления — это именно тот класс представлений G, который появляется в спектральном разложении L ² функции на группе (в то время как представления дискретных серий обладают более сильным свойством, заключающимся в том, что индивидуальное представление имеет положительную спектральную меру). Это контрастирует с ситуацией для абелевых и более общих разрешимых групп Ли, где для полного объяснения спектрального разложения необходим другой класс представлений. Это можно видеть уже на простейшем примере аддитивной группы R действительных чисел , для которой матричные элементы неприводимых представлений не уменьшаются до 0 на бесконечности.

В программе Ленглендса умеренными представлениями реальных групп Ли являются те, которые происходят из унитарных характеров торов в силу функториальности Ленглендса.

Примеры

• Теорема Планшереля для полупростой группы Ли включает представления, которые не являются дискретными рядами . Это становится ясно уже на примере группы SL ₂ ( R ) . SL Представления основной серии 2 ₍ R ) умерены и объясняют спектральное разложение функций, носителей на гиперболических элементах группы. Однако в регулярном представлении SL ₂ ( R ) они не встречаются дискретно.
• Два предела представлений дискретной серии SL ₂ ( R ) являются умеренными, но не дискретными сериями (хотя они встречаются «дискретно» в списке неприводимых унитарных представлений).
• Для неполупростых групп Ли представления с матричными коэффициентами из L ^2+е не всегда достаточны для теоремы Планшереля , как показано на примере аддитивной группы R действительных чисел и интеграла Фурье ; Фактически, все неприводимые унитарные представления R дают вклад в меру Планшереля, но ни одно из них не имеет матричных коэффициентов в L ^2+е .
• Представления дополнительных серий SL ₂ ( R ) являются неприводимыми унитарными представлениями, которые не являются умеренными.
• Тривиальное представление группы G — это неприводимое унитарное представление, которое не является умеренным, если G не компактна .

Классификация

Неприводимые умеренные представления полупростой группы Ли были классифицированы Кнаппом и Цукерманом ( 1976 , 1982 ). Фактически они классифицировали более общий класс представлений, названный базовыми представлениями . Если P = MAN — разложение Ленглендса каспидальной параболической подгруппы, то базовое представление определяется как параболически индуцированное представление, связанное с пределом представления дискретной серии M и унитарным представлением абелевой группы A . Если предел представления дискретной серии на самом деле является представлением дискретной серии, то базовое представление называется индуцированным представлением дискретной серии . Любое неприводимое умеренное представление является базовым представлением, и наоборот, любое базовое представление представляет собой сумму конечного числа неприводимых умеренных представлений. Точнее, это прямая сумма 2 ^р неприводимые умеренные представления, индексированные характерами элементарной абелевой группы R порядка 2 ^р (называемая R-группой ). Любое базовое представление и, следовательно, любое неприводимое умеренное представление является слагаемым индуцированного представления дискретной серии. Однако не всегда возможно представить неприводимое темперированное представление как индуцированное представление дискретной серии, поэтому рассматривается более общий класс базовых представлений.

Таким образом, неприводимые умеренные представления — это просто неприводимые базовые представления, и их можно классифицировать, перечислив все базовые представления и выделив те, которые неприводимы, то есть те, которые имеют тривиальную R-группу.

Умеренные дистрибутивы

Зафиксируем полупростую группу Ли G с максимальной компактной подгруппой K . Хариш-Чандра (1966 что распределение на G является умеренным, если оно определено в пространстве Шварца G , раздел 9) определил , . Пространство Шварца, в свою очередь, определяется как пространство гладких функций f на G таких, что для любого действительного r и любой функции g, полученной из f действием слева или справа элементами универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли группы G , функция

$(1+\sigma )^{r}g/\Xi$

ограничен. Здесь Ξ — некоторая сферическая функция на G , инвариантная относительно левого и правого умножения на K ,и σ — норма журнала p , где элемент g из G записывается как: g = kp для k в K и p в P .

Ссылки

• Коулинг М., Хаагеруп У., Хоу Р. Почти Л. ² матричные коэффициенты Дж. Рейн Ангью. Математика. 387 (1988), 97—110
• Хариш-Чандра (1966), «Дискретный ряд для полупростых групп Ли. II. Явное определение характеров» , Acta Mathematica , 116 (1): 1–111, doi : 10.1007/BF02392813 , ISSN   0001-5962 , MR   0219666 , S2CID   125806386
• Кнапп, Энтони В.; Цукерман, Грегг (1976), «Классификация неприводимых умеренных представлений полупростых групп Ли», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 73 (7): 2178–2180, Bibcode : 1976PNAS ... 73.2178K , doi : 10.1073/pnas.73.7.2178 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   65732 , MR   0460545 , PMC   430485 , PMID   16592331
• Кнапп, Энтони В.; Цукерман, Грегг Дж. (1982), «Классификация неприводимых умеренных представлений полупростых групп. Часть I», Annals of Mathematics , Second Series, 116 (2): 389–455, doi : 10.2307/2007066 , ISSN   0003-486X , JSTOR   2007066 , МР   0672840 Кнапп, Энтони В.; Цукерман, Грегг Дж. (1982), «Классификация неприводимых умеренных представлений полупростых групп. Часть II», Annals of Mathematics , Second Series, 116 (3): 457–501, doi : 10.2307/2007019 , ISSN   0003-486X , JSTOR   2007019 , МР   0672840 Кнапп, Энтони В.; Цукерман, Грегг Дж. (1984), «Коррекция», Анналы математики , вторая серия, 119 (3): 639, номер документа : 10.2307/2007089 , ISSN   0003-486X , JSTOR   2007089 , MR   0744867
• Кнапп, Энтони В. Теория представлений полупростых групп: обзор, основанный на примерах. ISBN   0-691-09089-0
• Уоллах, Нолан . Реальные редуктивные группы. Я. ​Чистая и прикладная математика, 132. Academic Press, Inc., Бостон, Массачусетс, 1988. xx+412 стр. ISBN   0-12-732960-9