Гипотеза Рамануджана-Петерссона

В математике , гипотеза Рамануджана принадлежащая Шринивасе Рамануджану ( 1916 , стр. 176), утверждает, что тау-функция Рамануджана, заданная коэффициентами Фурье τ ( n ) формы возврата Δ( z ) веса 12

$\Delta (z)=\sum _{n>0}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n>0}\left(1-q^{n}\right)^{24}=q-24q^{2}+252q^{3}-1472q^{4}+4830q^{5}-\cdots ,$

где $q=e^{2\pi iz}$, удовлетворяет

$|\tau (p)|\leq 2p^{11/2},$

когда p — простое число . Обобщенная гипотеза Рамануджана или гипотеза Рамануджана-Петерссона , введенная Петерссоном ( 1930 ), является обобщением на другие модульные формы или автоморфные формы.

L-функция Рамануджана

Дзета -функция Римана и L-функция Дирихле произведению Эйлера удовлетворяют

$L(s,a)=\prod _{p}\left(1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+\dots \right)$ ( 1 )

и в силу их вполне мультипликативного свойства

$L(s,a)=\prod _{p}\left(1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}\right)^{-1}.$ ( 2 )

Существуют ли L-функции, кроме дзета-функции Римана и L-функций Дирихле, удовлетворяющие указанным выше соотношениям? Действительно, L-функции автоморфных форм удовлетворяют произведению Эйлера (1), но не удовлетворяют (2), поскольку не обладают вполне мультипликативным свойством. Однако Рамануджан обнаружил, что L-функция модульного дискриминанта удовлетворяет модифицированному соотношению

$L(s,\tau )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\tau (p)}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s-11}}}\right)^{-1},$ ( 3 )

где τ ( p ) — тау-функция Рамануджана . Термин

${\frac {1}{p^{2s-11}}}$

рассматривается как отличие от полностью мультипликативного свойства. Вышеуказанная L-функция называется L-функцией Рамануджана .

Гипотеза Рамануджана

Рамануджан предположил следующее:

1. τ мультипликативен ​ ,
2. τ не является полностью мультипликативным, но для простых p и j из N имеем: τ ( p ^{й +1} ) знак равно τ ( п ) τ ( п ^дж ) − п ¹¹ т ( р ^{j −1} ) , и
3. | τ ( п )| ≤ 2 п ^11/2 .

Рамануджан заметил, что квадратное уравнение u = p ^{− с} в знаменателе правой части (3) ,

$1-\tau (p)u+p^{11}u^{2}$

всегда имело бы мнимые корни из многих примеров. Связь между корнями и коэффициентами квадратных уравнений приводит к третьему соотношению, называемому гипотезой Рамануджана . Более того, для тау-функции Рамануджана пусть корнями приведенного выше квадратного уравнения будут α и β , тогда

$\operatorname {Re} (\alpha )=\operatorname {Re} (\beta )=p^{11/2},$

что похоже на гипотезу Римана . Отсюда следует оценка, которая лишь немного слабее для всех τ ( n ) , а именно для любого ε > 0 :

$O\left(n^{11/2+\varepsilon }\right).$

В 1917 году Л. Морделл доказал первые два соотношения, используя методы комплексного анализа, в частности то, что сейчас известно как операторы Гекке . Третье утверждение вытекало из доказательства гипотез Вейля Делинь (1974) . Формулировки, необходимые для того, чтобы показать, что это было следствием, были деликатными и совсем не очевидными. Это была работа Мичио Куги с участием также Микио Сато , Горо Шимуры и Ясутаки Ихара , за которым последовал Делинь (1971) . Существование связи вдохновило на некоторые глубокие работы в конце 1960-х годов, когда этальных когомологий разрабатывались следствия теории .

Гипотеза Рамануджана–Петерсона для модульных форм.

В 1937 году Эрих Хекке использовал операторы Гекке для обобщения метода доказательства Морделла первых двух гипотез на автоморфную L-функцию дискретных подгрупп Γ группы SL(2, Z ) . Для любой модульной формы

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}\qquad q=e^{2\pi iz},$

можно составить ряд Дирихле

$\varphi (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.$

Для модулярной формы f ( z ) веса k ≥ 2 для Γ , φ ( s ) абсолютно сходится в Re( s ) > k , поскольку a _n = O( n ^{к −1+ е} ) . Поскольку f является модулярной формой веса k , ( s − k ) φ ( s ) оказывается целым и R ( s ) = (2 π ) ^{− с} Γ( s ) φ ( s ) удовлетворяет функциональному уравнению :

$R(k-s)=(-1)^{k/2}R(s);$

это было доказано Уилтоном в 1929 году. Это соответствие между f и φ взаимно однозначно ( a ₀ = (−1) ^{к /2} Res _{s знак равно k}   р ( s ) ). Пусть g ( x ) = f ( ix ) − a ₀ для x > 0 , тогда g ( x ) связано с R ( s ) через преобразование Меллина

$R(s)=\int _{0}^{\infty }g(x)x^{s-1}\,dx\Leftrightarrow g(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\operatorname {Re} (s)=\sigma _{0}}R(s)x^{-s}\,ds.$

Это соответствие связывает ряд Дирихле, удовлетворяющий приведенному выше функциональному уравнению, с автоморфной формой дискретной подгруппы SL(2, Z ) .

В случае k ≥ 3 Ханс Петерссон ввел метрику в пространстве модулярных форм, названную метрикой Петерссона (см. также метрику Вейля – Петерссона ). Эта гипотеза была названа в его честь. В рамках метрики Петерссона показано, что мы можем определить ортогональность в пространстве модульных форм как пространство параболических форм и его ортогональное пространство, и они имеют конечные размерности. Более того, мы можем конкретно вычислить размерность пространства голоморфных модулярных форм, используя теорему Римана – Роха (см. Размерности модулярных форм ).

Делинь (1971) использовал изоморфизм Эйхлера – Шимуры , чтобы свести гипотезу Рамануджана к гипотезам Вейля , которые он позже доказал. Более общая гипотеза Рамануджана-Петерсона для голоморфных параболических форм в теории эллиптических модулярных форм для конгруэнтных подгрупп имеет аналогичную формулировку с показателем ( k - 1)/2 , где k - вес формы. Эти результаты также следуют из гипотез Вейля , за исключением случая k = 1 , где это результат Делиня и Серра (1974) .

Гипотеза Рамануяна-Петерссона для форм Мааса все еще открыта (по состоянию на 2022 год), поскольку метод Делиня, который хорошо работает в голоморфном случае, не работает в реальном аналитическом случае.

Гипотеза Рамануджана–Петерссона для автоморфных форм

Сатаке (1966) переформулировал гипотезу Рамануджана-Петерссона в терминах автоморфных представлений для GL(2), заявив, что локальные компоненты автоморфных представлений лежат в главной серии, и предложил это условие как обобщение гипотезы Рамануджана-Петерссона на автоморфный случай. формы на другие группы. Другими словами, локальные компоненты форм возврата должны быть смягчены. Однако несколько авторов нашли контрпримеры для анизотропных групп , в которых компонент на бесконечности не был смягчен. Курокава (1978) и Хоу и Пятецкий-Шапиро (1979) показали, что эта гипотеза также неверна даже для некоторых квазирасщепленных и расщепляемых групп, построив автоморфные формы для унитарной группы U(2, 1) и симплектической группы Sp( 4), которые почти всюду не темперированы, связанные с представлением θ ₁₀ .

После того, как контрпримеры были найдены, Пятецкий-Шапиро (1979) предположил, что переформулировка гипотезы все еще должна оставаться в силе. Текущая формулировка обобщенной гипотезы Рамануджана предназначена для глобально общего каспидального автоморфного представления связной редуктивной группы , где общее предположение означает, что представление допускает модель Уиттекера . В нем говорится, что каждый локальный компонент такого представления должен быть смягчен. заметил, Ленглендс что установление функториальности симметричных степеней автоморфных представлений GL( n ) даст доказательство гипотезы Рамануджана-Петерссона.

Связано с Рамануджаном через числовые поля

Получение наилучших возможных оценок обобщенной гипотезы Рамануджана в случае числовых полей привлекло внимание многих математиков. Каждое улучшение считается важной вехой в мире современной теории чисел . Чтобы понять границы Рамануджана для GL( n ) , рассмотрим унитарное каспидальное автоморфное представление :

$\pi =\bigotimes \pi _{v}.$

Классификация Бернштейна – Зелевинского говорит нам, что каждый p-адик π _v может быть получен с помощью унитарной параболической индукции из представления

$\tau _{1,v}\otimes \cdots \otimes \tau _{d,v}.$

Здесь каждый $\tau _{i,v}$ является представлением GL( ni _в ) над местом v форме

$\tau _{i_{0},v}\otimes \left|\det \right|_{v}^{\sigma _{i,v}}$

с $\tau _{i_{0},v}$ закаленный. Для n ≥ 2 граница Рамануджана — это число δ ≥ 0 такое, что

$\max _{i}\left|\sigma _{i,v}\right|\leq \delta .$

Классификацию Ленглендса можно использовать для архимедовых мест . Обобщенная гипотеза Рамануджана эквивалентна оценке δ = 0 .

Жаке, Пятецкий-Шапиро и Шалика (1983) получили первую оценку δ ≤ 1/2 для общей линейной группы GL( n ) , известную как тривиальная оценка. Важный прорыв был сделан Луо, Рудником и Сарнаком (1999) , которые в настоящее время придерживаются наилучшей общей оценки δ ≡ 1/2 − ( n ² +1) ⁻¹ для произвольного n и любого числового поля . В случае GL(2) Ким и Сарнак установили границу прорыва δ = 7/64 , когда числовое поле является полем рациональных чисел , что получается как следствие результата функториальности Кима (2002) на симметричная кварта, полученная методом Ленглендса – Шахиди . Обобщение границ Кима-Сарнака на произвольное числовое поле возможно благодаря результатам Бломера и Брамли (2011) .

Для редуктивных групп, отличных от GL( n ) , обобщенная гипотеза Рамануджана будет следовать из принципа функториальности Ленглендса . Важным примером являются классические группы , где наилучшие оценки были получены Cogdell et al. (2004) как следствие их функториального подъема Ленглендса .

Гипотеза Рамануджана–Петерссона о глобальных функциональных полях.

Доказательство Дринфельда глобального соответствия Ленглендса для GL(2) над полем глобальных функций ведет к доказательству гипотезы Рамануджана-Петерссона. Лаффорг (2002) успешно распространил технику штуки Дринфельда на случай GL( n ) с положительной характеристикой. Используя другой метод, который расширяет метод Ленглендса-Шахиди , включив в него глобальные функциональные поля, Ломели (2009) доказывает гипотезу Рамануджана для классических групп .

Приложения

Приложением гипотезы Рамануджана является явное построение графов Любоцким Рамануджана , Филлипсом и Сарнаком . Действительно, название «граф Рамануджана» произошло от этой связи. Другое приложение состоит в том, что из гипотезы Рамануяна-Петерссона для общей линейной группы GL( n ) следует гипотеза Сельберга о собственных значениях лапласиана для некоторых дискретных групп.

Ссылки

• Бломер, В.; Брамли, Ф. (2011), «О гипотезе Рамануджана о числовых полях», Annals of Mathematics , 174 : 581–605, arXiv : 1003.0559 , doi : 10.4007/annals.2011.174.1.18 , MR   2811610 , S2CID   54686173
• Когделл, JW; Ким, ХХ; Пятецкий-Шапиро, II; Шахиди, Ф. (2004), «Функториальность для классических групп» , IHES Mathematical Publications , 99 : 163–233, CiteSeerX   10.1.1.495.6662 , doi : 10.1007/s10240-004-0020-z , S2CID   7731057
• Делинь, Пьер (1971), «Модулярные формы и l-адические представления» , Семинар Бурбаки, том. 1968/69 Лекции 347–363 , Конспекты лекций по математике, том. 179, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0058801 , ISBN.  978-3-540-05356-9
• Делинь, Пьер (1974), «Гипотеза Вейля. I». , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 43 : 273–307, doi : 10.1007/BF02684373 , ISSN   1618-1913 , MR   0340258 , S2CID   123139343
• Делинь, Пьер ; Серр, Жан-Пьер (1974), «Модульные формы веса 1», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 7 (4): 507–530, doi : 10.24033/asens.1277 , ISSN   0012-9593 , МР   0379379
• Хоу, Роджер ; Пятецкий-Шапиро, II (1979), «Контрпример к «обобщенной гипотезе Рамануджана» для (квази) расщепленных групп», в Borel, Armand ; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Корваллис, Орегон, 1977), Часть 1 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXIII, Провиденс, Род-Айленд, стр. 315–322, ISBN.  978-0-8218-1435-2 , МР   0546605 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Жаке, Х.; Пятецкий-Шапиро, II; Шалика, Дж. А. (1983), «Извилины Рэнкина-Сельберга», амер. Дж. Математика. , 105 (2): 367–464, doi : 10.2307/2374264 , JSTOR   2374264 , S2CID   124304599
• Ким, Х.Х. (2002), «Функториальность внешнего квадрата GL (4) и симметричной четверти GL (2)», Journal of the AMS , 16 : 139–183.
• Курокава, Нобусигэ (1978), «Примеры собственных значений операторов Гекке на параболических формах Зигеля второй степени», Inventiones Mathematicae , 49 (2): 149–165, Bibcode : 1978InMat..49..149K , doi : 10.1007/BF01403084 , ISSN   0020-9910 , MR   0511188 , S2CID   120041528
• Ленглендс, Р.П. (1970), «Проблемы теории автоморфных форм» , Лекции по современному анализу и приложениям, III , Конспекты лекций по математике, том. 170, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, doi : 10.1007/BFb0079065 , ISBN.  978-3-540-05284-5 , МР   0302614
• Ломели, Л. (2009), «Функториальность классических групп над функциональными полями» , Международные уведомления о математических исследованиях : 4271–4335, doi : 10.1093/imrn/rnp089 , MR   2552304 , заархивировано из оригинала 27 мая 2007 г.
• Луо, В.; Рудник З.; Сарнак, П. (1999), «Об обобщенной гипотезе Рамануджана для GL (n)», Proc. Симпозиумы. Чистая математика. , Труды симпозиумов по чистой математике, 66 : 301–310, doi : 10.1090/pspum/066.2/1703764 , ISBN  9780821810514
• Петерссон, Х. (1930), «Теория автоморфных форм произвольной вещественной размерности и их представление новым типом рядов Пуанкаре», Mathematical Annals (на немецком языке), 103 (1): 369–436, doi : 10.1007/ БФ01455702 , ISSN   0025-5831 , S2CID   122378161
• Пятецкий-Шапиро, II (1979), «Теоремы о кратности один», в Бореле, Армане ; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Корваллис, Орегон, 1977), Часть 1 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 209–212, ISBN.  978-0-8218-1435-2 МР  0546599
• Рамануджан, Шриниваса (1916), «О некоторых арифметических функциях», Труды Кембриджского философского общества , XXII (9): 159–184. Перепечатано в Рамануджан, Шриниваса (2000), «Документ 18» , Сборник статей Шринивасы Рамануджана , AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, стр. 136–162, ISBN  978-0-8218-2076-6 , МР   2280843
• Сарнак, Питер (2005), «Заметки об обобщенных гипотезах Рамануджана» (PDF) , у Артура, Джеймса; Эллвуд, Дэвид; Котвитц, Роберт (ред.), Гармонический анализ, формула следа и разновидности Шимуры , Clay Math. Учеб., вып. 4, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 659–685, ISBN.  978-0-8218-3844-0 , МР   2192019
• Сатаке, Ичиро (1966), «Сферические функции и гипотеза Рамануджана», в Бореле, Армане ; Мостоу, Джордж Д. (ред.), Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Боулдер, Колорадо, 1965) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. IX, Провиденс, Род-Айленд, стр. 258–264, ISBN.  978-0-8218-3213-4 , МР   0211955 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )