Внутренний продукт Петерссона

В математике — внутренний продукт Петерссона это внутренний продукт, определенный в пространстве целых модульных форм . Его ввел немецкий математик Ганс Петерссон .

Определение

Позволять $\mathbb {M} _{k}$ быть пространством целых модульных форм веса $k$ и $\mathbb {S} _{k}$ пространство касповых форм .

Отображение $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {M} _{k}\times \mathbb {S} _{k}\rightarrow \mathbb {C}$,

$\langle f,g\rangle :=\int _{\mathrm {F} }f(\tau ){\overline {g(\tau )}}(\operatorname {Im} \tau )^{k}d\nu (\tau )$

называется внутренним продуктом Петерсона, где

$\mathrm {F} =\left\{\tau \in \mathrm {H} :\left|\operatorname {Re} \tau \right|\leq {\frac {1}{2}},\left|\tau \right|\geq 1\right\}$

является фундаментальной областью модульной группы $\Gamma$ и для $\tau =x+iy$

$d\nu (\tau )=y^{-2}dxdy$

- гиперболическая форма объема.

Характеристики

Интеграл абсолютно сходится , а скалярное произведение Петерсона представляет собой положительно определенную эрмитову форму .

Для операторов Hecke $T_{n}$и для форм $f,g$ уровня $\Gamma _{0}$, у нас есть:

$\langle T_{n}f,g\rangle =\langle f,T_{n}g\rangle$

Это можно использовать, чтобы показать, что пространство возврата образует уровень $\Gamma _{0}$ имеет ортонормированный базис, состоящий из одновременные собственные функции операторов Гекке и коэффициентов Фурье этих формы все настоящие.

См. также

• Метрика Вейля – Петерссона

Ссылки

• Т.М. Апостол, Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1990, ISBN   3-540-97127-0
• М. Кехер, А. Криг, Эллиптические функции и модульные формы , Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN   3-540-63744-3
• С. Ланг, Введение в модульные формы , Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2001, ISBN   3-540-07833-9