Форма острия

В теории чисел , разделе математики , форма возврата представляет собой особый вид модулярной формы с нулевым постоянным коэффициентом в в ряд Фурье разложении .

Введение

Форма возврата отличается в случае модулярных форм модулярной группы обращением в нуль постоянного коэффициента а ₀ в разложении в ряд Фурье (см. q -разложение )

\sum a_{n}q^{n}.

Это разложение Фурье существует вследствие присутствия в действии модулярной группы на верхней полуплоскости посредством преобразования

z\mapsto z+1.

Для других групп может иметь место некоторый перевод на несколько единиц, и в этом случае разложение Фурье осуществляется по другому параметру. Однако во всех случаях предел при q → 0 является пределом в верхней полуплоскости как мнимая часть z → ∞. Факторизируя по модулярной группе, этот предел соответствует точке возврата модулярной кривой (в смысле точки, добавленной для компактификации ). Итак, определение сводится к тому, что форма возврата — это модульная форма, которая исчезает в точке возврата. В случае других групп точек сборки может быть несколько, и определение становится модульной формой, исчезающей на всех точках сборки. Это может включать в себя несколько расширений.

Измерение

Размерности пространств параболических форм в принципе вычислимы с помощью теоремы Римана–Роха . Например, тау-функция Рамануджана τ ( n ) возникает как последовательность коэффициентов Фурье параболической формы веса 12 для модулярной группы с 1 _{определение} = 1. Пространство таких форм имеет размерность 1, что означает, что это возможный; и это объясняет действие операторов Гекке в пространстве путем скалярного умножения (доказательство Морделла тождеств Рамануджана). Явно это модульный дискриминант

\Delta (z,q),

который представляет (с точностью до нормирующей константы ) дискриминант кубики в правой части уравнения Вейерштрасса эллиптической кривой ; и 24-я степень эта-функции Дедекинда . Коэффициенты Фурье здесь записаны $\tau (n)$ и называется « тау-функцией Рамануджана » с нормировкой τ (1) = 1.

Связанные понятия

В более широкой картине автоморфных форм формы возврата дополняют ряды Эйзенштейна в дискретном спектре / непрерывном спектре или в дискретном спектральном / индуцированном представлении, что типично для различных частей спектральной теории . То есть ряд Эйзенштейна можно «спроектировать» так, чтобы он принимал заданные значения на точках возврата. Существует большая общая теория, основанная, однако, на довольно сложной теории параболических подгрупп и соответствующих каспидальных представлениях .

Учитывать $P=MU$ стандартная параболическая подгруппа некоторой редуктивной группы $G$ (над $\mathbb {A}$ , кольцо аделей ), автоморфная форма $\phi$ на $U(\mathbb {A} )M(k)\backslash G$ называется каспидальным, если для всех параболических подгрупп $P'$ такой, что $P_{0}\subset P'\subsetneq P$ у нас есть $\phi _{P'}=0$ , где $P_{0}$ — стандартная минимальная параболическая подгруппа. Обозначения $\phi _{P}$ для $P=MU$ определяется как $\phi _{P}(g)=\int _{U(k)\backslash U(\mathbb {A} )}\phi (ug)du$ .