Тау-функция Рамануджана

, Тау-функция Рамануджана изученная Рамануджаном ( 1916 ), представляет собой функцию $\tau :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z}$ определяется следующим тождеством:

\sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}\left(1-q^{n}\right)^{24}=q\phi (q)^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),

где $q = exp(2 πiz)$ с $Im z > 0$ , $\phi$ — функция Эйлера , $η$ — эта-функция Дедекинда , а функция $Δ(z)$ — голоморфная форма возврата веса 12 и уровня 1, известная как дискриминантная модулярная форма (некоторые авторы, особенно Апостол , пишут $\Delta /(2\pi )^{12}$ вместо $\Delta$ ). Оно появляется в связи с «термином ошибки», связанным с подсчетом количества способов выразить целое число в виде суммы 24 квадратов. Формула, принадлежащая Яну Г. Макдональду, была дана Дайсоном (1972) .

Ценности

Первые несколько значений тау-функции приведены в следующей таблице (последовательность A000594 в OEIS ):

$н$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$т (п)$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

Вычисление этой функции для нечетного квадратного числа (т. е. центрированного восьмиугольного числа ) дает нечетное число, тогда как для любого другого числа функция дает четное число. ^[1]

Предположения Рамануджана

Рамануджан (1916) наблюдал, но не доказал, следующие три свойства $τ (n)$ :

$τ (mn) = τ (m) τ (n),$ если $НОД (m, n) = 1$ (это означает, что $τ (n)$ является мультипликативной функцией )
$т (р р + 1) знак равно τ (п) τ (п р) - п 11 т (р р - 1)$ для $p$ простого числа и $r > 0$ .
$| τ (п) | \leq 2 п 11/2$ для всех простых чисел $p$ .

Первые два свойства были доказаны Морделлом (1917) , а третье, названное гипотезой Рамануджана , было доказано Делиньем в 1974 году как следствие его доказательства гипотез Вейля (в частности, он вывел ее, применив их к Куга- сорт Сато).

Сравнения для тау-функции

Для $\mathbb {Z}$ и $\mathbb {Z}$ функция делителя $σ k (n)$ представляет собой сумму $k -$ х степеней делителей $n$ . Тау-функция удовлетворяет нескольким соотношениям конгруэнтности; многие из них могут быть выражены через $σ k (n)$ . Вот некоторые из них: ^[2]

$\tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8$ ^[3]
$\tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ for }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8$ ^[3]
$\tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ for }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8$ ^[3]
$\tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ for }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8$ ^[3]
$\tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3$ ^[4]
$\tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ for }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3$ ^[4]
$\tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ for }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5$ ^[5]
$\tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7{\text{ for }}n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7$ ^[6]
$\tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ for }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7$ ^[6]
$\tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.$ ^[7]

Для $простого числа p \neq 23$ имеем ^[2]^[8]

$\tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ if }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1$
$\tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ if }}p{\text{ is of the form }}a^{2}+23b^{2}$ ^[9]
$\tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ otherwise}}.$

Явная формула

В 1975 году Дуглас Нибур доказал явную формулу для тау-функции Рамануджана: ^[10]

\tau (n)=n^{4}\sigma (n)-24\sum _{i=1}^{n-1}i^{2}(35i^{2}-52in+18n^{2})\sigma (i)\sigma (n-i).

где $σ(n)$ — сумма положительных делителей числа $n$ .

Гипотезы о τ ( n )

Предположим, что $f$ веса $k$ — целочисленная новая форма , а коэффициенты Фурье $a (n)$ — целые числа. Рассмотрим проблему:

Учитывая, что

f

не имеет комплексного умножения , обладают ли почти все простые числа

p

тем свойством, что

a (p) ≢ 0 (mod p)

?

Действительно, большинство простых чисел должны обладать этим свойством, и поэтому их называют обычными . Несмотря на большие успехи Делиня и Серра в представлениях Галуа, которые определяют $a (n) (mod p)$ для $n$ , взаимно простого с $p$ , неясно, как вычислить $a (p) (mod p)$ . Единственная теорема в этом отношении — знаменитый результат Элкиса для модулярных эллиптических кривых, который гарантирует, что существует бесконечно много простых чисел $p$ таких, что $a (p) = 0$ , которые, таким образом, конгруэнтны 0 по модулю $p$ . Не существует известных примеров не-CM $f$ с весом больше 2, для которых $a (p) ≢ 0 (mod p)$ для бесконечного числа простых $p$ (хотя это должно быть верно почти для всех $p$ ). Также не известны примеры с $a (p) \equiv 0 (mod p)$ для бесконечного числа $p$ . Некоторые исследователи начали сомневаться в том, что $a (p) \equiv 0 (mod p)$ для бесконечного числа $p$ . Рамануджана $В качестве доказательства многие приводили τ (p)$ (случай веса 12). Единственные решения до 10 ¹⁰ уравнению $τ (p) \equiv 0 (mod p)$ равны 2, 3, 5, 7, 2411 и 7 758 337 633 (последовательность A007659 в OEIS ). ^[11]

Лемер (1947) предположил, что $τ (n) \neq 0$ для всех $n$ , утверждение, иногда известное как гипотеза Лемера. Лемер подтвердил гипотезу для $n$ до 214 928 639 999 (Апостол 1997, стр. 22). В следующей таблице суммирован прогресс в поиске последовательно больших значений $N$ для которых это условие выполняется для всех $n \leq N.$ ,

$Н$	ссылка
3 316 799	Лемер (1947)
214 928 639 999	Лемер (1949)
1 000 000 000 000 000	Серр (1973, стр. 98), Серр (1985)
1 213 229 187 071 998	Дженнингс (1993)
22 689 242 781 695 999	Джордан и Келли (1999)
22 798 241 520 242 687 999	Босман (2007)
982 149 821 766 199 295 999	Цзэн и Инь (2013)
816 212 624 008 487 344 127 999	Дерикс, ван Хой и Зенг (2013)

Рамануджана L -функция

Рамануджана L -функция определяется формулой

L(s)=\sum _{n\geq 1}{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}

если $\Re s>6$ и аналитическим продолжением в противном случае. Он удовлетворяет функциональному уравнению

{\frac {L(s)\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}={\frac {L(12-s)\Gamma (12-s)}{(2\pi )^{12-s}}},\quad s\notin \mathbb {Z} _{0}^{-},\,12-s\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}

и имеет произведение Эйлера

L(s)=\prod _{p\,{\text{prime}}}{\frac {1}{1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}}},\quad \Re s>7.

Рамануджан предположил, что все нетривиальные нули $L$ иметь действительную часть, равную $6$ .

Примечания

^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A016754 (Нечетные квадраты: (2n-1)^2. Также восьмиугольные числа по центру.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Страница 4 Суиннертона-Дайера, 1973 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д По Кольбергу 1962 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б По словам Эшворта, 1968 г.
^ Из-за Лахиви
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Благодаря Д. Х. Лемеру
^ Из-за Рамануджана 1916 г.
^ По данным Уилтона, 1930 г.
^ По данным Ж.-П. Серра, 1968, раздел 4.5.
^ Нибур, Дуглас (сентябрь 1975 г.). «Формула $\tau$-функции Рамануджана» . Иллинойсский математический журнал . 19 (3): 448–449. дои : 10.1215/ijm/1256050746 . ISSN 0019-2082 .
^ Н. Лигерос и О. Розье (2010). «Новое решение уравнения $\tau (p)\equiv 0{\pmod {p}}$ » (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 13 : Статья 10.7.4.

Ссылки

Апостол, Т.М. (1997), «Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел», Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2-е изд.
Эшворт, М.Х. (1968), Конгруэнтность и тождественные свойства модульных форм (докторская диссертация, Оксфорд)
Дайсон, Ф.Дж. (1972), «Упущенные возможности», Bull. амер. Математика. Соц. , 78 (5): 635–652, doi : 10.1090/S0002-9904-1972-12971-9 , Збл 0271.01005
Кольберг, О. (1962), «Сравнения для функции Рамануджана τ( n )», Arbok Univ. Берген Мат.-Природа. Сер. (11), МР 0158873 , Збл 0168.29502
Лемер, Д.Х. (1947), «Исчезновение функции Рамануджана τ (n)», Duke Math. Ж. , 14 (2): 429–433, doi : 10.1215/s0012-7094-47-01436-1 , Збл 0029.34502
Лигерос, Н. (2010), «Новое решение уравнения τ(p) ≡ 0 (mod p)» (PDF) , Journal of Integer Sequences , 13 : Статья 10.7.4
Морделл, Луи Дж. (1917), «Об эмпирических расширениях г-на Рамануджана модульных функций». , Труды Кембриджского философского общества , 19 : 117–124, JFM 46.0605.01.
Ньюман, М. (1972), Таблица τ (p) по модулю p, p простое число, 3 ≤ p ≤ 16067 , Национальное бюро стандартов
Рэнкин, Роберт А. (1988), «Тау-функция Рамануджана и ее обобщения», в книге Эндрюса, Джорджа Э. (редактор), « Возвращение к Рамануджану» (Урбана-Шампейн, Иллинойс, 1987) , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 245–268, ISBN. 978-0-12-058560-1 , МР 0938968
Рамануджан, Шриниваса (1916), «О некоторых арифметических функциях», Пер. Кэмб. Филос. Соц. , 22 (9): 159–184, МР 2280861
Теплица, JP. (1968), «Интерпретация сравнений, относящихся к функции $\tau$ де Раманужан» , Семинар Деланж-Пизо-Пуату , 14
Суиннертон-Дайер, HPF (1973), «О l -адических представлениях и сравнениях для коэффициентов модулярных форм», у Куйка, Виллема; Серр, Жан-Пьер (ред.), Модульные функции одной переменной, III , Конспекты лекций по математике, том. 350, стр. 1–55, номер домена : 10.1007/978-3-540-37802-0 , ISBN. 978-3-540-06483-1 , МР 0406931
Уилтон, младший (1930), «Свойства конгруэнтности функции Рамануджана τ( n )», Труды Лондонского математического общества , 31 : 1–10, doi : 10.1112/plms/s2-31.1.1

[1] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A016754 (Нечетные квадраты: (2n-1)^2. Также восьмиугольные числа по центру.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[swd-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Страница 4 Суиннертона-Дайера, 1973 г.

[kolberg-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д По Кольбергу 1962 г.

[ashworth-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б По словам Эшворта, 1968 г.

[5] Из-за Лахиви

[Lehmer-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Благодаря Д. Х. Лемеру

[7] Из-за Рамануджана 1916 г.

[8] По данным Уилтона, 1930 г.

[9] По данным Ж.-П. Серра, 1968, раздел 4.5.

[10] Нибур, Дуглас (сентябрь 1975 г.). «Формула $\tau$-функции Рамануджана» . Иллинойсский математический журнал . 19 (3): 448–449. дои : 10.1215/ijm/1256050746 . ISSN 0019-2082 .

[Lygeros-11] Н. Лигерос и О. Розье (2010). «Новое решение уравнения $\tau (p)\equiv 0{\pmod {p}}$ » (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 13 : Статья 10.7.4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]