функция Эйлера

График раскраски области φ на комплексной плоскости

Чтобы узнать о других значениях, см. Список тем, названных в честь Леонарда Эйлера .

Не путать с функцией Эйлера .

В математике функция Эйлера определяется выражением

$\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),\quad |q|<1.$

Названный в честь Леонарда Эйлера , он является модельным примером q -ряда и представляет собой прототипный пример связи между комбинаторикой и комплексным анализом .

Характеристики

Коэффициент ​ $p(k)$ в формальном разложении в степенной ряд для $1/\phi (q)$ количество разделов k . дает То есть,

${\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}$

где $p$ это функция распределения .

Тождество Эйлера , также известное как теорема о пятиугольных числах , представляет собой

$\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.$

$(3n^{2}-n)/2$ является пятиугольным числом .

Функция Эйлера связана с эта-функцией Дедекинда следующим образом:

$\phi (e^{2\pi i\tau })=e^{-\pi i\tau /12}\eta (\tau ).$

Функцию Эйлера можно выразить в виде символа q -Похгаммера :

$\phi (q)=(q;q)_{\infty }.$

Логарифм q функции Эйлера представляет собой сумму логарифмов в выражении произведения, каждый из которых можно разложить примерно до = 0, что дает

$\ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}},$

который представляет собой ряд Ламберта с коэффициентами -1/ n . Таким образом, логарифм функции Эйлера можно выразить как

$\ln(\phi (q))=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}q^{n}$

где $b_{n}=-\sum _{d|n}{\frac {1}{d}}=$ -[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (см. OEIS A000203 )

В связи с личностью $\sigma (n)=\sum _{d|n}d=\sum _{d|n}{\frac {n}{d}}$ , где $\sigma (n)$ — функция суммы делителей , ее также можно записать как

$\ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}\ q^{n}$.

Также, если $a,b\in \mathbb {R} ^{+}$ и $ab=\pi ^{2}$, затем

$a^{1/4}e^{-a/12}\phi (e^{-2a})=b^{1/4}e^{-b/12}\phi (e^{-2b}).$

Особые значения

Следующие личности взяты из Рамануджана : «Записных книжек»

$\phi (e^{-\pi })={\frac {e^{\pi /24}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}$

$\phi (e^{-2\pi })={\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}$

$\phi (e^{-4\pi })={\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}$

$\phi (e^{-8\pi })={\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{29/16}\pi ^{3/4}}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}$

Используя теорему о пятиугольных числах , меняя местами сумму и интеграл , а затем применяя комплексно-аналитические методы, можно получить

$\int _{0}^{1}\phi (q)\,\mathrm {d} q={\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}}\right)-1}}.$

Ссылки

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001