Jump to content

Формула цепной дроби Эйлера

В теории формула цепных дробей аналитической Эйлера в виде цепной дроби представляет собой тождество, связывающее некий очень общий бесконечный ряд с бесконечной цепной дробью . Впервые опубликованная в 1748 году, она сначала рассматривалась как простое тождество, связывающее конечную сумму с конечной цепной дробью таким образом, что расширение на бесконечный случай сразу же стало очевидным. [ 1 ] Сегодня его более полно ценят как полезный инструмент при аналитическом подходе к общей проблеме сходимости бесконечных цепных дробей с комплексными элементами.

Оригинальная формула

[ редактировать ]

Эйлер вывел формулу как соединяющее конечную сумму произведений с конечной цепной дробью .

Тождество легко устанавливается индукцией по n и, следовательно, применимо в пределе: если выражение слева расширяется для представления сходящегося бесконечного ряда , выражение справа также может быть расширено для представления сходящейся бесконечной цепной дроби .

Это записывается более компактно с использованием обобщенной записи цепной дроби:

Формула Эйлера

[ редактировать ]

Если r i — комплексные числа и x определяется формулой

то это равенство можно доказать по индукции

.

Здесь под равенством следует понимать эквивалентность в том смысле, что n подходящая дробь каждой цепной дроби равна n -й частичной сумме ряда, показанного выше. Таким образом, если показанный ряд сходится – или сходится равномерно , когда r i являются функциями некоторой комплексной переменной z – тогда непрерывные дроби также сходятся или сходятся равномерно. [ 2 ]

Доказательство по индукции

[ редактировать ]

Теорема: Пусть быть натуральным числом. Для сложные значения ,

и для сложные значения ,

Доказательство: Проведем двойную индукцию. Для , у нас есть

и

Теперь предположим, что оба утверждения верны для некоторых .

У нас есть где

применив гипотезу индукции к .

Но если подразумевает подразумевает , противоречие. Следовательно

завершая эту индукцию.

Обратите внимание, что для ,

если , то обе части равны нулю.

С использованием и , и применив гипотезу индукции к значениям ,

завершая другую индукцию.

Например, выражение можно переставить в непрерывную дробь.

Это можно применить к последовательности любой длины и, следовательно, применимо и в бесконечном случае.

Показательная функция

[ редактировать ]

Показательная функция e х представляет собой целую функцию с разложением в степенной ряд, которая сходится равномерно в каждой ограниченной области комплексной плоскости.

Применение формулы непрерывной дроби Эйлера простое:

Применяя преобразование эквивалентности , заключающееся в очистке дробей, этот пример упрощается до

и мы можем быть уверены, что эта цепная дробь сходится равномерно в каждой ограниченной области комплексной плоскости, поскольку она эквивалентна степенному ряду для e х .

Натуральный логарифм

[ редактировать ]

Ряд Тейлора для главной ветви натурального логарифма в окрестности единицы хорошо известен:

Этот ряд сходится, когда | х | < 1 и также может быть выражен как сумма произведений: [ 3 ]

Применение формулы непрерывной дроби Эйлера к этому выражению показывает, что

и использование преобразования эквивалентности для очистки всех дробей приводит к


Эта непрерывная дробь сходится, когда | х | < 1, поскольку он эквивалентен ряду, из которого он был получен. [ 3 ]

Тригонометрические функции

[ редактировать ]

Ряд Тейлора синусоидальной функции сходится на всей комплексной плоскости и может быть выражен как сумма произведений.

Затем можно применить формулу непрерывной дроби Эйлера.

Для очистки знаменателей используется преобразование эквивалентности:

Тот же аргумент можно применить к функции косинуса :

Обратные тригонометрические функции

[ редактировать ]

Обратные тригонометрические функции можно представить в виде цепных дробей.

Преобразование эквивалентности дает

Непрерывная дробь для обратного тангенса проста:

Цепная дробь для π

[ редактировать ]

Мы можем использовать предыдущий пример с обратным тангенсом, чтобы построить в виде цепной дроби представление числа π . Мы отмечаем, что

А полагая x = 1 в предыдущем результате, сразу получаем

Гиперболические функции

[ редактировать ]

Вспоминая связь между гиперболическими функциями и тригонометрическими функциями,

И это следующие непрерывные дроби легко получить из приведенных выше:

Обратные гиперболические функции

[ редактировать ]

Обратные гиперболические функции связаны с обратными тригонометрическими функциями аналогично тому, как гиперболические функции связаны с тригонометрическими функциями:

И эти непрерывные дроби легко выводятся:

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Леонард Эйлер (1748), «18», Введение в анализ бесконечно малых , т. 1, с. я
  2. ^ Х.С. Уолл, Аналитическая теория цепных дробей , D. Van Nostand Company, Inc., 1948; перепечатано (1973) издательством Chelsea Publishing Company. ISBN   0-8284-0207-8 , с. 17.
  3. ^ Перейти обратно: а б Этот ряд сходится при | х | < 1 по критерию Абеля (применённому к ряду для log(1 − x )).
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1cce0fe0d68919e553fe4faf41f86ad9__1722928980
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/1c/d9/1cce0fe0d68919e553fe4faf41f86ad9.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Euler's continued fraction formula - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)