Непрерывная дробь Гаусса

В комплексном анализе цепная дробь Гаусса представляет собой особый класс цепных дробей, полученных из гипергеометрических функций . Это была одна из первых аналитических цепных дробей, известных математике, и ее можно использовать для представления нескольких важных элементарных функций , а также некоторых более сложных трансцендентных функций .

История

Ламберт опубликовал несколько примеров непрерывных дробей в этой форме в 1768 году, а Эйлер и Лагранж исследовали аналогичные конструкции. но именно Карл Фридрих Гаусс в 1813 году использовал алгебру, описанную в следующем разделе, чтобы вывести общий вид этой цепной дроби.

Хотя Гаусс дал форму этой цепной дроби, он не дал доказательства ее свойств сходимости. Бернхард Риман и Л.В. Томе получили частичные результаты, но окончательное слово об области, в которой сходится эта цепная дробь, было дано только в 1901 году Эдвардом Берром Ван Флеком .

Вывод

Позволять $f_{0},f_{1},f_{2},\dots$ — последовательность аналитических функций такая, что

$f_{i-1}-f_{i}=k_{i}\,z\,f_{i+1}$

для всех $i>0$, где каждый $k_{i}$ является константой.

Затем

${\frac {f_{i-1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}},{\text{ and so }}{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}}}$

Параметр $g_{i}=f_{i}/f_{i-1},$

$g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}},$

Так

$g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}}=\cdots .\$

Повторение этого до бесконечности дает выражение непрерывной дроби.

${\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+{\cfrac {k_{3}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}$

В цепной дроби Гаусса функции $f_{i}$ являются гипергеометрическими функциями вида ${}_{0}F_{1}$, ${}_{1}F_{1}$, и ${}_{2}F_{1}$и уравнения $f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}$ возникают как тождества между функциями, параметры которых отличаются на целые числа. Эти тождества можно доказать несколькими способами, например, разложив ряд и сравнив коэффициенты, или взяв производную несколькими способами и исключив ее из созданных уравнений.

Серия ₀ Ф ₁

Самый простой случай предполагает

$\,_{0}F_{1}(a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .$

Начиная с личности

$\,_{0}F_{1}(a-1;z)-\,_{0}F_{1}(a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\,_{0}F_{1}(a+1;z),$

мы можем взять

$f_{i}={}_{0}F_{1}(a+i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{(a+i)(a+i-1)}},$

предоставление

${\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}$

или

${\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{a+{\cfrac {z}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}\ddots }}}}}}}}.$

Это разложение сходится к мероморфной функции, определяемой отношением двух сходящихся рядов (при условии, конечно, что а не является ни нулем, ни отрицательным целым числом).

Серия ₁ Ф ₁

Следующий случай касается

${}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}}z^{3}+\cdots$

для которого два тождества

$\,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)$

$\,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)$

используются попеременно.

Позволять

$f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z),$

$f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),$

$f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z),$

$f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z),$

$f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z),$

и т. д.

Это дает $f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}$ где $k_{1}={\tfrac {a-b}{b(b+1)}},k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+1)(b+2)}},k_{3}={\tfrac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}},k_{4}={\tfrac {a+2}{(b+3)(b+4)}}$, производство

${\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}$

или

${\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(a-b)z}{(b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}$

Сходным образом

${\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}$

или

${\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {az}{(b+1)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a-b-2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}$

С ${}_{1}F_{1}(0;b;z)=1$, установив a равным 0 и заменив b + 1 на b в первой цепной дроби, получим упрощенный особый случай:

${}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{b+{\cfrac {z}{(b+1)+{\cfrac {-bz}{(b+2)+{\cfrac {2z}{(b+3)+{\cfrac {-(b+1)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}$

Серия ₂ Ф ₁

Последний случай включает в себя

${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .\,$

Опять же, поочередно используются две личности.

$\,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z),$

$\,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z).$

По сути, это одна и та же идентичность с поменянными местами a и b .

Позволять

$f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),$

$f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z),$

$f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+2;z),$

$f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z),$

$f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),$

и т. д.

Это дает $f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}$ где $k_{1}={\tfrac {(a-c)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},k_{3}={\tfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}={\tfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}$, производство

${\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}$

или

${\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{c{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{c+{\cfrac {(a-c)bz}{(c+1)+{\cfrac {(b-c-1)(a+1)z}{(c+2)+{\cfrac {(a-c-1)(b+1)z}{(c+3)+{\cfrac {(b-c-2)(a+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}$

С ${}_{2}F_{1}(0,b;c;z)=1$, установка a на 0 и замена c + 1 на c дает упрощенный частный случай цепной дроби:

${}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(b-c)z}{(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z}{(c+2)+{\cfrac {2(b-c-1)z}{(c+3)+{\cfrac {-(c+1)(b+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}$

Свойства сходимости

В этом разделе исключены случаи, когда один или несколько параметров являются отрицательным целым числом, поскольку в этих случаях либо гипергеометрический ряд не определен, либо они являются полиномами, поэтому непрерывная дробь завершается. Другие тривиальные исключения также исключены.

В случаях ${}_{0}F_{1}$ и ${}_{1}F_{1}$, ряд сходится всюду, поэтому дробь в левой части является мероморфной функцией . Цепные дроби в правой части будут сходиться равномерно на любом замкнутом и ограниченном множестве, не содержащем полюсов этой функции.

В случае ${}_{2}F_{1}$, радиус сходимости ряда равен 1, а дробь в левой части является мероморфной функцией внутри этого круга. Цепные дроби в правой части будут сходиться к функции всюду внутри этого круга.

Вне круга непрерывная дробь представляет собой аналитическое продолжение функции на комплексную плоскость с удаленной положительной вещественной осью от +1 до точки на бесконечности. В большинстве случаев +1 является точкой ветвления, а линия от +1 до положительной бесконечности является разрезом этой функции. Цепная дробь сходится к мероморфной функции на этой области и сходится равномерно на любом замкнутом и ограниченном подмножестве этой области, не содержащем полюсов.

Приложения

Серия ₀ Ф ₁

У нас есть

$\cosh(z)=\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),$

$\sinh(z)=z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),$

так

$\tanh(z)={\frac {z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}{\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}}={\cfrac {z/2}{{\tfrac {1}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {3}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {5}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {7}{2}}+{}\ddots }}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}{5+{\cfrac {z^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}.$

Это конкретное расширение известно как непрерывная дробь Ламберта и датируется 1768 годом.

Отсюда легко следует, что

$\tan(z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{3-{\cfrac {z^{2}}{5-{\cfrac {z^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.$

Разложение tanh можно использовать, чтобы доказать, что e ^н иррационально для любого ненулевого целого числа n чего, увы, недостаточно для доказательства e трансцендентности ( ). Расширение tan использовалось как Ламбертом, так и Лежандром, чтобы доказать, что π иррационально .

Бесселя Функция $J_{\nu }$ можно написать

$J_{\nu }(z)={\frac {({\tfrac {1}{2}}z)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\,_{0}F_{1}(\nu +1;-{\frac {z^{2}}{4}}),$

из чего следует

${\frac {J_{\nu }(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu -{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{}\ddots }}}}}}}}.$

Эти формулы также действительны для любого комплексного z .

Серия ₁ Ф ₁

С $e^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)$, $1/e^{z}=e^{-z}$

$e^{z}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{1+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {-z}{3+{\cfrac {2z}{4+{\cfrac {-2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}}$

$e^{z}=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {-z}{2+{\cfrac {z}{3+{\cfrac {-2z}{4+{\cfrac {2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}.$

После некоторых манипуляций это можно использовать для доказательства простого представления цепной дроби. е ,

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}$

Функция ошибок erf ( z ), заданная формулой

$\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt,$

также можно вычислить с помощью гипергеометрической функции Куммера:

$\operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}(1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};z^{2}).$

Применяя непрерывную дробь Гаусса, полезное разложение, справедливое для любого комплексного числа z : можно получить

${\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{{\frac {3}{2}}+{\cfrac {z^{2}}{{\frac {5}{2}}-{\cfrac {{\frac {3}{2}}z^{2}}{{\frac {7}{2}}+{\cfrac {2z^{2}}{{\frac {9}{2}}-{\cfrac {{\frac {5}{2}}z^{2}}{{\frac {11}{2}}+{\cfrac {3z^{2}}{{\frac {13}{2}}-{\cfrac {{\frac {7}{2}}z^{2}}{{\frac {15}{2}}+-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.$

Аналогичный аргумент можно привести для получения разложений в цепные дроби для интегралов Френеля , для функции Доусона и для неполной гамма-функции . Более простая версия аргумента дает два полезных разложения экспоненциальной функции в непрерывную дробь .

Серия ₂ Ф ₁

От

$(1-z)^{-b}={}_{1}F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z),$

$(1-z)^{-b}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{1+{\cfrac {(b-1)z}{2+{\cfrac {-(b+1)z}{3+{\cfrac {2(b-2)z}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}$

Это легко показано что разложение арктанса z в ряд Тейлора в окрестности нуля определяется выражением

$\arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{2}}},1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};-z^{2}).$

К этому тождеству можно применить непрерывную дробь Гаусса, что даст разложение

$\arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}},$

которая сходится к главной ветви обратной касательной функции на комплексной плоскости разреза, при этом разрез продолжается вдоль мнимой оси от i до точки на бесконечности и от - i до точки на бесконечности.

Эта конкретная цепная дробь сходится довольно быстро, когда z = 1, давая значение π/4 с точностью до семи знаков после запятой по девятой дроби. Соответствующая серия

${\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\pm \cdots$

сходится гораздо медленнее: для достижения точности семь десятичных знаков требуется более миллиона членов.

Вариации этого аргумента можно использовать для получения разложений в непрерывные дроби для натурального логарифма , функции arcsin и обобщенного биномиального ряда .

Ссылки

• Джонс, Уильям Б.; Трон, WJ (1980). Цепные дроби: теория и приложения . Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. стр. 198–214 . ISBN  0-201-13510-8 .
• Уолл, HS (1973). Аналитическая теория цепных дробей . Издательская компания Челси . стр. 335–361. ISBN  0-8284-0207-8 .
  (Это переиздание тома, первоначально опубликованного компанией D. Van Nostand Company, Inc. в 1948 году.)
• Вайсштейн, Эрик В. «Продолжительная дробь Гаусса» . Математический мир .