Стол Паде

В комплексном анализе таблица Паде представляет собой массив, возможно, бесконечной протяженности, рациональных аппроксимаций Паде.

Рм _{, н}

к заданному комплексному формальному степенному ряду . Часто можно показать, что определенные последовательности аппроксимантов, лежащие в таблице Паде, соответствуют последовательным дробям подходящим функции в виде цепной дроби представления голоморфной или мероморфной .

История

Хотя раньше математики получали спорадические результаты, включающие последовательности рациональных приближений к трансцендентным функциям , Фробениус (в 1881 г.), по-видимому, был первым, кто организовал аппроксиманты в виде таблицы. Анри Паде еще больше расширил это понятие в своей докторской диссертации Sur la Representation approchee d'une fonction par des Fractionelles в 1892 году. В течение последующих 16 лет Паде опубликовал 28 дополнительных статей, исследующих свойства своей таблицы и связывающих ее с аналитическими. дроби. ^{[ 1 ]}

Современный интерес к таблицам Паде был возрожден Х. С. Уоллом и Оскаром Перроном , которые в первую очередь интересовались связями между таблицами и некоторыми классами непрерывных дробей. Дэниел Шэнкс и Питер Винн опубликовали влиятельные статьи примерно в 1955 году, а У. Б. Грэгг получил далеко идущие результаты конвергенции в 70-х годах. В последнее время широкое использование электронных компьютеров стимулировало большой дополнительный интерес к этому предмету. ^{[ 2 ]}

Обозначения

Функция f ( z ) представлена формальным степенным рядом :

f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots =\sum _{l=0}^{\infty }c_{l}z^{l},

где c ₀ ≠ 0, по соглашению. ( m , n )-я запись ^{[ 3 ]} R _{m, n} в таблице Паде для f ( z ) тогда определяется выражением

R_{m,n}(z)={\frac {P_{m}(z)}{Q_{n}(z)}}={\frac {a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{m}z^{m}}{b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots +b_{n}z^{n}}}

где P _m ( z ) и Q _n ( z ) — многочлены степеней не выше m и n соответственно. Коэффициенты { a _i } и { b _i } всегда можно найти, рассматривая выражение

f(z)\approx \sum _{l=0}^{m+n}c_{l}z^{l}=:f_{\mathrm {approx} }(z)

Q_{n}(z)f_{\mathrm {approx} }(z)=P_{m}(z)

Q_{n}(z)\left(c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots +c_{m+n}z^{m+n}\right)=P_{m}(z)

и приравнивание коэффициентов одинаковых степеней z до m + n . Для коэффициентов при степенях от m + 1 до m + n правая часть равна 0, и полученная система линейных уравнений содержит однородную систему из n уравнений с n + 1 неизвестными b _i , и поэтому допускает бесконечно много решений, каждое из которых из которых определяет возможное Q _n . Затем P _m легко найти путем приравнивания первых m коэффициентов приведенного выше уравнения. Однако можно показать, что из-за сокращения порожденные рациональные функции R _{m, n} одинаковы, так что ( m , n )-я запись в таблице Паде уникальна. ^{[ 2 ]} Альтернативно мы можем потребовать, чтобы b ₀ = 1, приведя таблицу к стандартному виду.

Хотя записи в таблице Паде всегда можно создать путем решения этой системы уравнений, этот подход требует больших вычислительных затрат. Использование таблицы Паде было расширено на мероморфные функции с помощью новых, экономящих время методов, таких как алгоритм эпсилон. ^{[ 4 ]}

Теорема блока и нормальные аппроксиманты

Из-за способа построения ( m , n )-го приближения разница

Q _п ( z ) ж ( z ) - п _м ( z )

представляет собой степенной ряд, первый член которого имеет степень не ниже

м + н + 1.

Если первый член этой разности имеет степень

м + п + г + 1, г > 0,

тогда рациональная функция R _{m, n} занимает

( р + 1) ²

ячейки в таблице Паде, от позиции ( m , n ) до позиции ( m + r , n + r ) включительно. Другими словами, если одна и та же рациональная функция встречается в таблице более одного раза, эта рациональная функция занимает квадратный блок ячеек внутри таблицы. Этот результат известен как теорема блока .

Если определенная рациональная функция встречается в таблице Паде ровно один раз, она называется нормальной аппроксимацией f ( z ). Если каждая запись в полной таблице Паде нормальна, сама таблица называется нормальной. Нормальные аппроксиманты Паде можно охарактеризовать с помощью определителей коэффициентов c _n ) в ряд Тейлора в разложении f ( z следующим образом. Определите ( m , n )-й определитель с помощью

D_{m,n}=\left|{\begin{matrix}c_{m}&c_{m-1}&\ldots &c_{m-n+2}&c_{m-n+1}\\c_{m+1}&c_{m}&\ldots &c_{m-n+3}&c_{m-n+2}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\c_{m+n-2}&c_{m+n-3}&\ldots &c_{m}&c_{m-1}\\c_{m+n-1}&c_{m+n-2}&\ldots &c_{m+1}&c_{m}\\\end{matrix}}\right|

с D _{m ,0} = 1, D _{m ,1} = c _m и c _k = 0 для k < 0. Тогда

( m , n )-я аппроксимация f ( z ) является нормальной тогда и только тогда, когда ни один из четырех определителей D _{m , n −1} , D _m,n , D _{m +1, n} и D _{m +1, n +1} исчезнуть; и
таблица Паде является нормальной тогда и только тогда, когда ни один из определителей D _m,n не равен нулю (заметим, в частности, что это означает, что ни один из коэффициентов c _k в последовательном представлении f ( z ) не может быть нулевым). ^{[ 5 ]}

Связь с цепными дробями

Одной из наиболее важных форм, в которых может появиться аналитическая цепная дробь, является обычная цепная дробь , которая представляет собой цепную дробь вида

f(z)=b_{0}+{\cfrac {a_{1}z}{1-{\cfrac {a_{2}z}{1-{\cfrac {a_{3}z}{1-{\cfrac {a_{4}z}{1-\ddots }}}}}}}}.

где a _i ≠ 0 — комплексные константы, а z — комплексная переменная.

Существует тесная связь между правильными цепными дробями и таблицами Паде с нормальными аппроксимантами вдоль главной диагонали: «ступенчатая» последовательность аппроксимаций Паде R _0,0 , R _1,0 , R _1,1 , R _2,1 , R _{2 ,2} , ... является нормальной тогда и только тогда, когда эта последовательность совпадает с последовательными подходящими дробями правильной цепной дроби. Другими словами, если таблица Паде нормальна вдоль главной диагонали, ее можно использовать для построения правильной цепной дроби, а если представление правильной цепной дроби для функции f ( z ) существует, то главная диагональ таблицы Паде представление f ( z ) является нормальным. ^{[ 2 ]}

Пример – показательная функция

Вот пример таблицы Паде для показательной функции .

Часть таблицы Паде для показательной функции *e ^С*
н м	0	1	2	3	4
0	${\frac {1}{1}}$	${\frac {1}{1-z}}$	${\frac {1}{1-z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}}}$	${\frac {1}{1-z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{3}}}$	${\frac {1}{1-z+{\frac {1}{2}}z^{2}-{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{4}}}$
1	${\frac {1+z}{1}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}z}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{2}}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{4}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}z^{3}}}$	${\frac {1+{\frac {1}{5}}z}{1-{\frac {4}{5}}z+{\frac {3}{10}}z^{2}-{\frac {1}{15}}z^{3}+{\frac {1}{120}}z^{4}}}$
2	${\frac {1+z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}}{1}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}z}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{12}}}z^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{12}}}z^{2}}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}z^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}z^{3}}}$	${\frac {1+{\frac {1}{3}}z+{\frac {1}{30}}z^{2}}{1-{\frac {2}{3}}z+{\frac {1}{5}}z^{2}-{\frac {1}{30}}z^{3}+{\frac {1}{360}}z^{4}}}$
3	${\frac {1+z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{3}}{1}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {3}{4}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}z^{2}}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{3}}}$	${\frac {1+{\frac {3}{7}}z+{\frac {1}{14}}z^{2}+{\frac {1}{210}}z^{3}}{1-{\frac {4}{7}}z+{\frac {1}{7}}z^{2}-{\frac {2}{105}}z^{3}+{\frac {1}{840}}z^{4}}}$
4	${\frac {1+z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}z^{4}}{1}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {4}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{10}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{15}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{5}}}z}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{5}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{30}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{360}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{30}}}z^{2}}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {4}{7}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{7}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {2}{105}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{840}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{7}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{14}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{210}}}z^{3}}}$	${\frac {1+{\frac {1}{2}}z+{\frac {3}{28}}z^{2}+{\frac {1}{84}}z^{3}+{\frac {1}{1680}}z^{4}}{1-{\frac {1}{2}}z+{\frac {3}{28}}z^{2}-{\frac {1}{84}}z^{3}+{\frac {1}{1680}}z^{4}}}$

Сразу бросаются в глаза несколько особенностей.

Первый столбец таблицы представляет собой последовательные усечения ряда Тейлора для e ^С.
Аналогично, первая строка содержит обратные значения последовательных усечений разложения в ряд e ^{- г}.
Аппроксиманты R _m,n и R _n,m вполне симметричны – числители и знаменатели поменяны местами, расположение знаков плюс и минус различно, но в обеих этих аппроксимациях фигурируют одни и те же коэффициенты. Они могут быть выражены через специальные функции как

R_{m,n}={\frac {{}_{1}F_{1}(-m;-m-n;z)}{{}_{1}F_{1}(-n;-m-n;-z)}}={\frac {n!\,2^{m}\theta _{m}\left({\frac {z}{2}};n-m+2,2\right)}{m!\,2^{n}\theta _{n}\left(-{\frac {z}{2}};m-n+2,2\right)}}

,

где

{}_{1}F_{1}(a;b;z)

является обобщенным гипергеометрическим рядом и

\theta _{n}(x;\alpha ,\beta )

— обобщенный обратный полином Бесселя . ^{[ 6 ]}

Выражения на главной диагонали сводятся к

R_{n,n}=\theta _{n}(z/2)/\theta _{n}(-z/2)

, где

\theta _{n}(x)

является обратным полиномом Бесселя . ^{[ 7 ]}

Вычисления с участием R _{n , n} (на главной диагонали) могут выполняться весьма эффективно. Например, R _3,3 прекрасно воспроизводит степенной ряд показательной функции вплоть до ¹/ ₇₂₀ з ⁶, но из-за симметрии двух кубических полиномов можно разработать очень быстрый алгоритм оценки.

Процедура, используемая для вывода непрерывной дроби Гаусса, может быть применена к определенному сливающемуся гипергеометрическому ряду для получения следующего разложения C-дроби для экспоненциальной функции, действительного на всей комплексной плоскости:

e^{z}=1+{\cfrac {z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{2}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1+-\ddots }}}}}}}}}}}}.

Применяя фундаментальные рекуррентные формулы, можно легко проверить, что последовательные подходящие дроби этой C-дроби представляют собой ступенчатую последовательность аппроксимаций Паде R _0,0 , R _1,0 , R _1,1 , ... В этом конкретном случае связанная цепная дробь может быть получена из тождества

e^{z}={\frac {1}{e^{-z}}};

эта непрерывная дробь выглядит так:

e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{2}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1-+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.

Последовательные подходящие дроби этой дроби также появляются в таблице Паде и образуют последовательность R _0,0 , R _0,1 , R _1,1 , R _1,2 , R _2,2 , ...

Обобщения

Формальный ряд Ньютона L имеет вид

L(z)=c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\prod _{k=1}^{n}(z-\beta _{k})

где последовательность {βk _} точек комплексной плоскости называется множеством точек интерполяции . последовательность рациональных аппроксимантов Rm _,n можно составить Для такого ряда L совершенно аналогично описанной выше процедуре и расположить аппроксиманты в таблице Ньютона-Паде . Было показано ^{[ 8 ]} что некоторые «лестничные» последовательности в таблице Ньютона-Паде соответствуют последовательным подходящим дробям цепной дроби типа Тиле, которая имеет вид

a_{0}+{\cfrac {a_{1}(z-\beta _{1})}{1-{\cfrac {a_{2}(z-\beta _{2})}{1-{\cfrac {a_{3}(z-\beta _{3})}{1-\ddots }}}}}}.

Математики также построили двухточечные таблицы Паде , рассмотрев два ряда, один по степеням z , другой по степеням 1/ z , которые поочередно представляют функцию f ( z ) в окрестности нуля и в окрестности бесконечности. ^{[ 2 ]}

См. также

Трансформация Шанкса

Примечания

^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Таблица Паде» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джонс и Трон, 1980.
^ ( m , n Считается, что )-я запись находится в строке m и столбце n , а нумерация строк и столбцов начинается с (0, 0).
^ Винн, Питер (апрель 1956 г.). «Об устройстве для вычисления ( _{преобразования em} S n ₎ ». Математические таблицы и другие средства вычислений . 10 (54). Американское математическое общество: 91–96. дои : 10.2307/2002183 . JSTOR 2002183 .
^ Грэгг, Всемирный банк (январь 1972 г.). «Таблица Паде и ее связь с некоторыми алгоритмами численного анализа» . Обзор СИАМ . 14 (1): 1–62. дои : 10.1137/1014001 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 2028911 .
^ * Андерхилл, К. (1986). «Некоторые асимптотические свойства аппроксимаций Паде $e^{-x}$ ". Математика вычислений . 47 (175): 253–263. JSTOR 2008092 .
^ * «Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей (ОЭИС)» . Основанная в 1964 году Слоаном, штат Нью-Джерси, The OEIS Foundation Inc. {{cite web}}: CS1 maint: другие ( ссылка ) (См. последовательность OEIS : A113025 .)
^ Тиле, Т.Н. (1909). Интерполяционный расчет . Лейпциг: Тойбнер. ISBN 1-4297-0249-4 .

Ссылки

Джонс, Уильям Б.; Трон, WJ (1980). Цепные дроби: теория и приложения . Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. стр. 185–197 . ISBN 0-201-13510-8 .
Уолл, HS (1973). Аналитическая теория цепных дробей . Издательская компания Челси . стр. 377–415. ISBN 0-8284-0207-8 .
(Это переиздание тома, первоначально опубликованного компанией D. Van Nostand Company, Inc. в 1948 году.)

[1] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Таблица Паде» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[JT-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джонс и Трон, 1980.

[3] ( m , n Считается, что )-я запись находится в строке m и столбце n , а нумерация строк и столбцов начинается с (0, 0).

[4] Винн, Питер (апрель 1956 г.). «Об устройстве для вычисления ( _{преобразования em} S n ₎ ». Математические таблицы и другие средства вычислений . 10 (54). Американское математическое общество: 91–96. дои : 10.2307/2002183 . JSTOR 2002183 .

[5] Грэгг, Всемирный банк (январь 1972 г.). «Таблица Паде и ее связь с некоторыми алгоритмами численного анализа» . Обзор СИАМ . 14 (1): 1–62. дои : 10.1137/1014001 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 2028911 .

[6] * Андерхилл, К. (1986). «Некоторые асимптотические свойства аппроксимаций Паде $e^{-x}$ ". Математика вычислений . 47 (175): 253–263. JSTOR 2008092 .

[7] * «Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей (ОЭИС)» . Основанная в 1964 году Слоаном, штат Нью-Джерси, The OEIS Foundation Inc. {{cite web}}: CS1 maint: другие ( ссылка ) (См. последовательность OEIS : A113025 .)

[8] Тиле, Т.Н. (1909). Интерполяционный расчет . Лейпциг: Тойбнер. ISBN 1-4297-0249-4 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]