Обобщенная непрерывная дробь

В комплексном анализе , разделе математики , обобщенная цепная дробь — это обобщение правильных цепных дробей в канонической форме, в которой частичные числители и частичные знаменатели могут принимать произвольные комплексные значения.

Обобщенная цепная дробь является выражением вида

$x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}$

где a _n ( n > 0 ) — частичные числители, b _n — частичные знаменатели, а главный член b ₀ называется целой частью цепной дроби.

Последовательные подходящие дроби цепной дроби образуются путем применения фундаментальных рекуррентных формул :

${\begin{aligned}x_{0}&={\frac {A_{0}}{B_{0}}}=b_{0},\\[4px]x_{1}&={\frac {A_{1}}{B_{1}}}={\frac {b_{1}b_{0}+a_{1}}{b_{1}}},\\[4px]x_{2}&={\frac {A_{2}}{B_{2}}}={\frac {b_{2}(b_{1}b_{0}+a_{1})+a_{2}b_{0}}{b_{2}b_{1}+a_{2}}},\ \dots \end{aligned}}$

где A _n — числитель , а B _n — знаменатель , называемые континуантами , -й сходящейся n . Они задаются рекурсией

${\begin{aligned}A_{n}&=b_{n}A_{n-1}+a_{n}A_{n-2},\\B_{n}&=b_{n}B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$

с начальными значениями

${\begin{aligned}A_{-1}&=1,&A_{0}&=b_{0},\\B_{-1}&=0,&B_{0}&=1.\end{aligned}}$

Если последовательность подходящих дробей { x _n } приближается к пределу, цепная дробь сходится и имеет определенное значение. Если последовательность подходящих дробей никогда не приближается к пределу, то непрерывная дробь расходится. Он может расходиться в результате колебаний (например, нечетные и четные дроби могут приближаться к двум разным пределам) или может давать бесконечное количество нулевых знаменателей B _n .

История

История цепных дробей начинается с алгоритма Евклида . процедура нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел m и n . Этот алгоритм представил идею деления для извлечения нового остатка, а затем многократного деления на новый остаток.

Прошло почти две тысячи лет, прежде чем Бомбелли (1579) разработал метод аппроксимации корней квадратных уравнений в середине шестнадцатого века цепными дробями. Теперь темпы развития ускорились. Всего 24 года спустя, в 1613 году, Пьетро Катальди ввел первые формальные обозначения обобщенной цепной дроби. Катальди представлял собой непрерывную фракцию, поскольку

${a_{0}\cdot }\,\&\,{\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{3}}{d_{3}}}$

точки указывают, куда идет следующая дробь, а каждая & представляет собой современный знак плюса.

В конце семнадцатого века Джон Уоллис ввел в математическую литературу термин «непрерывная дробь». Недавно на сцену вышли новые методы математического анализа ( Ньютона и Лейбница исчисление ), и поколение современников Уоллиса использовало эту новую фразу.

В 1748 году Эйлер опубликовал теорему, показывающую, что определенный вид цепной дроби эквивалентен некоторому очень общему бесконечному ряду . Формула Эйлера в виде цепной дроби до сих пор является основой многих современных доказательств сходимости цепных дробей .

В 1761 году Иоганн Генрих Ламберт дал первое доказательство того, что π иррационально , используя следующую цепную дробь для tan x :

$\tan(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {-x^{2}}{3+{\cfrac {-x^{2}}{5+{\cfrac {-x^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}$

Цепные дроби также можно применять к задачам теории чисел и особенно полезны при изучении диофантовых уравнений . В конце восемнадцатого века Лагранж использовал непрерывные дроби для построения общего решения уравнения Пелла , ответив таким образом на вопрос, который интересовал математиков более тысячи лет. Открытие Лагранжа подразумевает, что разложение квадратного корня каждого неквадратного целого числа в каноническую цепную дробь является периодическим и что, если период имеет длину p > 1 , он содержит палиндромную строку длины p − 1 .

В 1813 году Гаусс вывел из комплексных гипергеометрических функций то, что сейчас называется цепными дробями Гаусса . Их можно использовать для выражения многих элементарных функций и некоторых более сложных функций (таких как функции Бесселя ) в виде непрерывных дробей, которые быстро сходятся почти всюду на комплексной плоскости.

Обозначения

Выражение длинной непрерывной дроби, представленное во введении, легко интерпретировать незнакомому читателю. Однако он занимает много места и его может быть сложно набрать. Поэтому математики разработали несколько альтернативных обозначений. Один из удобных способов выражения обобщенной цепной дроби помещает каждую вложенную дробь в одну и ту же строку, указывая вложенность с помощью висячих знаков плюс в знаменателях:

$x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}+}}\,{\frac {a_{2}}{b_{2}+}}\,{\frac {a_{3}}{b_{3}+}}\cdots$

Иногда знаки плюс набираются так, чтобы выровнять их по вертикали со знаменателями, но не под чертами дробей:

$x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}{{} \atop +}{\frac {a_{2}}{b_{2}}}{{} \atop +}{\frac {a_{3}}{b_{3}}}{{} \atop +\cdots }$

Прингсхайм написал обобщенную цепную дробь следующим образом:

$x=b_{0}+{\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid b_{3}}}+\cdots .\,$

Карл Фридрих Гаусс вспомнил о более знакомом бесконечном произведении Π, когда разработал это обозначение:

$x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,$

Здесь « К » означает Kettenbruch , немецкое слово, означающее «непрерывная дробь». Вероятно, это самый компактный и удобный способ выражения непрерывных дробей; однако он не широко используется английскими наборщиками.

Некоторые элементарные соображения

Вот некоторые элементарные результаты, имеющие фундаментальное значение для дальнейшего развития аналитической теории цепных дробей.

Частичные числители и знаменатели

Если один из частичных числителей a _{n + 1} равен нулю, бесконечная цепная дробь

$b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

это просто конечная цепная дробь с n дробными членами и, следовательно, рациональная функция от a ₁ до a _n и от b ₀ до bn _{на самом деле + 1} . Такой объект малоинтересен с точки зрения, принятой в математическом анализе, поэтому обычно полагают, что все a _i ≠ 0 . Нет необходимости накладывать это ограничение на частичные знаменатели b _i .

Формула определителя

Когда n- я подходящая дробь цепной дроби

$x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

выражается простой дробью x _n = A _n / B _n мы можем использовать определительную формулу

$A_{n-1}B_{n}-A_{n}B_{n-1}=\left(-1\right)^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})$ ( 1 )

связать числители и знаменатели последовательных подходящих чисел x _n и x _{n − 1} друг с другом. Доказательство этого легко найти по индукции.

Базовый вариант

Случай n = 1 является результатом очень простого вычисления.

Индуктивный шаг

Предположим, что ( 1 ) выполнено для n − 1 . Тогда нам нужно увидеть, что то же соотношение справедливо и для n . Подставляя значения An _: и B _n в ( 1 ), получаем

${\begin{aligned}&=b_{n}A_{n-1}B_{n-1}+a_{n}A_{n-1}B_{n-2}-b_{n}A_{n-1}B_{n-1}-a_{n}A_{n-2}B_{n-1}\\&=a_{n}(A_{n-1}B_{n-2}-A_{n-2}B_{n-1})\end{aligned}}$

что верно в силу нашей гипотезы индукции.

$A_{n-1}B_{n}-A_{n}B_{n-1}=\left(-1\right)^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})\,$

В частности, если ни B _n, ни B _{n − 1} не равны нулю ( n > 0 ), мы можем выразить разницу между ( n − 1) -й и n -й подходящими дробями следующим образом:

$x_{n-1}-x_{n}={\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}-{\frac {A_{n}}{B_{n}}}=\left(-1\right)^{n}{\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{B_{n}B_{n-1}}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})}{B_{n}B_{n-1}}}.\,$

Преобразование эквивалентности

Если { c _i } = { c ₁ , c ₂ , c ₃ , ...} — любая бесконечная последовательность ненулевых комплексных чисел, мы можем доказать по индукции , что

$b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}=b_{0}+{\cfrac {c_{1}a_{1}}{c_{1}b_{1}+{\cfrac {c_{1}c_{2}a_{2}}{c_{2}b_{2}+{\cfrac {c_{2}c_{3}a_{3}}{c_{3}b_{3}+{\cfrac {c_{3}c_{4}a_{4}}{c_{4}b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}$

где под равенством понимается эквивалентность, то есть последовательные дроби цепной дроби слева точно такие же, как и дроби справа.

Преобразование эквивалентности является совершенно общим, но два частных случая заслуживают особого упоминания. Во-первых, если ни один из a _i последовательность { c _i }, не равен нулю, можно выбрать чтобы сделать каждый частичный числитель равным 1:

$b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {1}{c_{i}b_{i}}}\,$

где с ₁ = 1 / а ₁ , с ₂ = а ₁ / а ₂ , c ₃ = a ₂ / a ₁ a ₃ , и вообще c _{n + 1} = 1 / а _{н + 1} ц _н .

Во-вторых, если ни один из частичных знаменателей b _i не равен нулю, мы можем использовать аналогичную процедуру, чтобы выбрать другую последовательность { d _i }, чтобы сделать каждый частичный знаменатель a равным 1:

$b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {d_{i}a_{i}}{1}}\,$

где d ₁ = 1 / b ₁ и в противном случае d _{n + 1} = 1 / б _н б _{н + 1} .

Эти два частных случая преобразования эквивалентности чрезвычайно полезны при общей проблемы сходимости анализе .

Понятия конвергенции

Как упоминалось во введении, непрерывная дробь

$x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

сходится, если последовательность подходящих чисел { x _n } стремится к конечному пределу. Это понятие конвергенции очень естественно, но иногда оно слишком ограничительно. Поэтому полезно ввести понятие общей сходимости цепной дроби. Грубо говоря, это заключается в замене $\operatorname {K} _{i=n}^{\infty }{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}$ часть дроби на w _n вместо 0, чтобы вычислить подходящие дроби. Полученные таким образом конвергенты называются модифицированными конвергентами . Будем говорить, что цепная дробь сходится вообще, если существует последовательность $\{w_{n}^{*}\}$ такая, что последовательность модифицированных подходящих сходится для всех $\{w_{n}\}$ достаточно отличается от $\{w_{n}^{*}\}$. Последовательность $\{w_{n}^{*}\}$ тогда называется исключительной последовательностью для цепной дроби. в главе 2 работы Lorentzen & Waadeland (1992) Строгое определение см. .

Существует также понятие абсолютной сходимости цепных дробей, основанное на понятии абсолютной сходимости ряда: цепная дробь называется абсолютно сходящейся, если ряд

$f=\sum _{n}\left(f_{n}-f_{n-1}\right),$

где $f_{n}=\operatorname {K} _{i=1}^{n}{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}$ являются подходящими дробями цепной дроби, сходится абсолютно . Теорема Слешинского–Прингсгейма дает достаточное условие абсолютной сходимости.

Наконец, непрерывная дробь одной или нескольких комплексных переменных равномерно сходится в открытой окрестности Ω, когда ее подходящие дроби сходятся равномерно на Ω ; то есть, когда для любого ε > 0 существует M такое, что для всех n > M для всех $z\in \Omega$,

$|f(z)-f_{n}(z)|<\varepsilon .$

Четные и нечетные подходящие

Иногда необходимо разделить непрерывную дробь на четную и нечетную части. Например, если цепная дробь расходится из-за колебаний между двумя различными предельными точками p и q , то последовательность { x ₀ , x ₂ , x ₄ , ...} должна сходиться к одной из них, и { x ₁ , x ₃ , x ₅ , ...} должно сходиться к другому. В такой ситуации может оказаться удобным выразить исходную цепную дробь как две разные цепные дроби, одна из которых сходится к p , а другая — к q .

Формулы четной и нечетной частей цепной дроби можно записать наиболее компактно, если дробь уже преобразована так, что все ее частные знаменатели равны единице. В частности, если

$x={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{1}}\,$

является непрерывной дробью, то четная часть x _четная и нечетная часть x _{нечетная} определяются выражением

$x_{\text{even}}={\cfrac {a_{1}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{2}a_{3}}{1+a_{3}+a_{4}-{\cfrac {a_{4}a_{5}}{1+a_{5}+a_{6}-{\cfrac {a_{6}a_{7}}{1+a_{7}+a_{8}-\ddots }}}}}}}}\,$

и

$x_{\text{odd}}=a_{1}-{\cfrac {a_{1}a_{2}}{1+a_{2}+a_{3}-{\cfrac {a_{3}a_{4}}{1+a_{4}+a_{5}-{\cfrac {a_{5}a_{6}}{1+a_{6}+a_{7}-{\cfrac {a_{7}a_{8}}{1+a_{8}+a_{9}-\ddots }}}}}}}}\,$

соответственно. Точнее, если последовательными подходящими дробями цепной дроби x являются { x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...} , то последовательными подходящими дробями x _{даже так,} как написано выше, являются { x ₂ , x ₄ , x ₆ , . ..} , а последовательными подходящими дробями x _{нечетного} являются { x ₁ , x ₃ , x ₅ , ...} .

Условия иррациональности

Если a ₁ , a ₂ ,... и b ₁ , b ₂ ,... — целые положительные числа с a _k ≤ b _k для всех достаточно больших k , то

$x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

сходится к иррациональному пределу.

Фундаментальные рекуррентные формулы

Частные числители и знаменатели последовательных дробей связаны фундаментальными рекуррентными формулами :

${\begin{aligned}A_{-1}&=1&B_{-1}&=0\\A_{0}&=b_{0}&B_{0}&=1\\A_{n+1}&=b_{n+1}A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}&B_{n+1}&=b_{n+1}B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}\,\end{aligned}}$

Последовательные подходящие дроби непрерывной дроби тогда определяются выражением

$x_{n}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}.\,$

Эти рекуррентные соотношения принадлежат Джону Уоллису (1616–1703) и Леонарду Эйлеру (1707–1783). Эти рекуррентные отношения представляют собой просто другое обозначение отношений, полученных Пьетро Антонио Катальди (1548–1626).

В качестве примера рассмотрим правильную цепную дробь в канонической форме , которая представляет собой золотое сечение φ :

$x=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots \,}}}}}}}}$

Применяя фундаментальные рекуррентные формулы, мы находим, что последовательные числители A _n равны {1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}, а последовательные знаменатели B _n равны {1, 1, 2, 3, 5, 8. , ...} Фибоначчи числа . Поскольку все частичные числители в этом примере равны единице, формула определителя гарантирует нам, что абсолютное значение разности между последовательными подходящими числами довольно быстро приближается к нулю.

Линейные дробные преобразования

Дробно-линейное преобразование (ДЛП) — это комплексная функция вида

$w=f(z)={\frac {a+bz}{c+dz}},\,$

где z — комплексная переменная, а a , b , c , d — произвольные комплексные константы такие, что c + dz ≠ 0 . Дополнительное ограничение, что ad ≠ bc, обычно налагается, чтобы исключить случаи, когда w = f ( z ) является константой. Дробно-линейное преобразование, также известное как преобразование Мёбиуса , обладает множеством интересных свойств. Четыре из них имеют первостепенное значение для развития аналитической теории цепных дробей.

• Если d ≠ 0, LFT имеет одну или две фиксированные точки . В этом можно убедиться, рассмотрев уравнение

$f(z)=z\Rightarrow dz^{2}+cz=a+bz\,$

которое, очевидно, является квадратным уравнением относительно z . Корнями этого уравнения являются неподвижные точки f ( z ) . Если дискриминант ( c − b ) ² + 4 объявления равно нулю, LFT фиксирует одну точку; в противном случае он имеет две неподвижные точки.

• Если ad ≠ bc, LFT является обратимым конформным отображением расширенной комплексной плоскости на себя. Другими словами, этот LFT имеет обратную функцию

$z=g(w)={\frac {-a+cw}{b-dw}}\,$

такой, что f ( g ( z )) = g ( f ( z )) = z для каждой точки z в расширенной комплексной плоскости, и оба f и g сохраняют углы и формы в исчезающе малых масштабах. Из формы z = g ( w ) мы видим, что g также является LFT.

• Композиция ad двух разных LFT, для которых ≠ bc , сама по себе является LFT, для которой ad ≠ bc . Другими словами, множество всех ЛПФ, для которых ad ≠ bc , замкнуто относительно композиции функций. Совокупность всех таких ЛПФ вместе с композицией функций «групповой операции» известна как группа автоморфизмов расширенной комплексной плоскости.
• Если b = 0, LFT сводится к

$w=f(z)={\frac {a}{c+dz}},\,$

которая представляет собой очень простую мероморфную функцию от z с одним простым полюсом (в точке — c / d ) и остаток, равный а / д . (См. также серию Лорана .)

Цепная дробь как композиция ЛФТ

Рассмотрим последовательность простых дробно-линейных преобразований

${\begin{aligned}\tau _{0}(z)&=b_{0}+z,\\[4px]\tau _{1}(z)&={\frac {a_{1}}{b_{1}+z}},\\[4px]\tau _{2}(z)&={\frac {a_{2}}{b_{2}+z}},\\[4px]\tau _{3}(z)&={\frac {a_{3}}{b_{3}+z}},\\&\;\vdots \end{aligned}}$

Здесь мы используем τ для обозначения каждого простого LFT и принимаем общепринятое обозначение круга для композиции функций. Мы также вводим новый символ Τ _n для обозначения композиции n + 1 преобразований τ _i ; то есть,

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)=\tau _{0}{\big (}\tau _{1}(z){\big )},\\{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)=\tau _{0}{\Big (}\tau _{1}{\big (}\tau _{2}(z){\big )}{\Big )},\,\end{aligned}}$

и так далее. Непосредственной подстановкой первого набора выражений во второй видим, что

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+z}}\\[4px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+z}}}}\,\end{aligned}}$

и вообще,

${\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}\circ \cdots \circ \tau _{n}(z)=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

конечной цепной дроби K понимается как bn _{где последний частичный знаменатель} + z . И, поскольку bn _при + 0 = bn _{повторении} , образ точки z = 0 LFT Τ _n действительно является значением конечной цепной дроби с n частичными числителями:

${\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,$

Геометрическая

Определение конечной цепной дроби как образа точки при повторном линейном функциональном преобразовании Τ _n ( z ) приводит к интуитивно привлекательной геометрической интерпретации бесконечных цепных дробей.

Отношения

$x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )\,$

переписав Тn _{можно понять ,} ( z ) и Тn _{: 1} ( z ) в терминах фундаментальных рекуррентных формул +

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {(b_{n}+z)A_{n-1}+a_{n}A_{n-2}}{(b_{n}+z)B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}};\\[6px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {(b_{n+1}+z)A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}}{(b_{n+1}+z)B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {zA_{n}+A_{n+1}}{zB_{n}+B_{n+1}}}.\,\end{aligned}}$

В первом из этих уравнений соотношение стремится к A _n / B _n, когда z стремится к нулю. Во втором случае соотношение стремится к A _n / B _n при z стремится к бесконечности. Это подводит нас к нашей первой геометрической интерпретации. Если непрерывная дробь сходится, то последовательные дроби A _n / B _n в конечном итоге оказываются сколь угодно близко друг к другу . Поскольку дробно-линейное преобразование Тп _{, должна} ( z ) является непрерывным отображением существовать окрестность точки z = 0 , отображающаяся в сколь угодно малую окрестность точки ( _Тп 0) = А _н / Б _н . Аналогично должна существовать окрестность бесконечно удаленной точки, отображающаяся в сколь угодно малую окрестность Τ _n (∞) = А _{п - 1} / B _{п - 1} . Таким образом, если непрерывная дробь сходится, преобразование Τ _n ( z ) отображает как очень маленькое z , так и очень большое z в сколь угодно малую окрестность x , значение цепной дроби по мере того, как n становится все больше и больше.

Для промежуточных значений z , поскольку последовательные сходящиеся точки приближаются друг к другу, мы должны иметь

${\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}\approx {\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}=k\,$

где k — константа, введенная для удобства. Но тогда, подставив в выражение для Тп _, ( z ) получим

${\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {z{\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}+1}{z{\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}+1}}\right)\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {zk+1}{zk+1}}\right)={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\,$

так что даже промежуточные значения z (за исключением случаев, когда z ≈ − k ⁻¹ ) отображаются в сколь угодно малую окрестность x , значения цепной дроби, по мере того, как n становится все больше и больше. Интуитивно это похоже на то, как если бы сходящаяся цепная дробь отображала всю расширенную комплексную плоскость в одну точку.

что последовательность { Тn _{Обратите внимание ,} } лежит внутри группы автоморфизмов расширенной комплексной плоскости, поскольку каждое Тn _{которого} является дробно-линейным преобразованием, для ab ≠ cd . И каждый член этой группы автоморфизмов отображает расширенную комплексную плоскость в себя: ни один из Тп _не может отобразить плоскость в одну точку. Однако в пределе последовательность { Тп _{определяет бесконечную цепную дробь, которая ( если} } она сходится) представляет одну точку на комплексной плоскости.

Когда бесконечная цепная дробь сходится, соответствующая последовательность { Τ _n } LFT «фокусирует» плоскость в направлении x , значения цепной дроби. На каждом этапе процесса все большая и большая область плоскости отображается в окрестность x , а оставшаяся меньшая и меньшая часть плоскости растягивается все тоньше, чтобы охватить все за пределами этой окрестности.

Для расходящихся цепных дробей можно выделить три случая:

1. Две последовательности { Τ _{2 n − 1} } и { Τ _{2 n} } сами по себе могут определять две сходящиеся цепные дроби, которые имеют два разных значения: x _{нечетное} и x _четное . В этом случае цепная дробь, определяемая последовательностью { Тп _{расходится} }, путем колебаний между двумя различными предельными точками. деле эту идею можно обобщить: последовательности { Тп _} И на самом можно построить случая возникают, когда последовательность { Тп _{, которые колеблются между тремя, четырьмя или даже любым количеством предельных точек. Интересные случаи этого} } образует подгруппу конечного порядка внутри группы автоморфизмов над расширенной комплексной плоскостью.
2. Последовательность { Тn _, } может давать бесконечное число нулевых знаменателей Bi _а также создавать подпоследовательность конечных подходящих чисел. Эти конечные конвергенты не могут повторяться или попадать в узнаваемую колебательную структуру. Или они могут сходиться к конечному пределу или даже колебаться между несколькими конечными пределами. Независимо от того, как ведут себя конечные подходящие дроби, цепная дробь, определяемая последовательностью { Тп _} , в этом случае расходится колебанием с точкой, обращенной на бесконечность.
3. Последовательность { Тn _} может давать не более чем конечное число нулевых Bi _{знаменателей} . в то время как подпоследовательность конечных сходящихся дико танцует вокруг плоскости по шаблону, который никогда не повторяется и никогда не приближается к какому-либо конечному пределу.

Интересные примеры случаев 1 и 3 можно построить, изучая простую цепную дробь

$x=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}}}\,$

где z — любое действительное число такое, что z < − 1 / 4 .

Формула непрерывной дроби Эйлера

Основная статья: формула непрерывной дроби Эйлера

Эйлер доказал следующее тождество:

$a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\frac {a_{0}}{1-}}{\frac {a_{1}}{1+a_{1}-}}{\frac {a_{2}}{1+a_{2}-}}\cdots {\frac {a_{n}}{1+a_{n}}}.\,$

Из этого можно получить множество других результатов, например

${\frac {1}{u_{1}}}+{\frac {1}{u_{2}}}+{\frac {1}{u_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{u_{n}}}={\frac {1}{u_{1}-}}{\frac {u_{1}^{2}}{u_{1}+u_{2}-}}{\frac {u_{2}^{2}}{u_{2}+u_{3}-}}\cdots {\frac {u_{n-1}^{2}}{u_{n-1}+u_{n}}},\,$

и

${\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {x}{a_{0}a_{1}}}+{\frac {x^{2}}{a_{0}a_{1}a_{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{a_{0}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}={\frac {1}{a_{0}-}}{\frac {a_{0}x}{a_{1}+x-}}{\frac {a_{1}x}{a_{2}+x-}}\cdots {\frac {a_{n-1}x}{a_{n}+x}}.\,$

Формула Эйлера, соединяющая непрерывные дроби и ряды, является мотивацией фундаментальных неравенств. , а также основы элементарных подходов к проблеме сходимости .

Примеры

и

Вот две цепные дроби, которые можно построить с помощью тождества Эйлера .

$e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}$

$\log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}$

Вот дополнительные обобщенные цепные дроби:

$\arctan {\cfrac {x}{y}}={\cfrac {xy}{1y^{2}+{\cfrac {(1xy)^{2}}{3y^{2}-1x^{2}+{\cfrac {(3xy)^{2}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cfrac {(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {x}{1y+{\cfrac {(1x)^{2}}{3y+{\cfrac {(2x)^{2}}{5y+{\cfrac {(3x)^{2}}{7y+\ddots }}}}}}}}$

$e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}\quad \Rightarrow \quad e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}$

$\log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}$

Последний основан на алгоритме, разработанном Алексеем Николаевичем Хованским в 1970-х годах.

Пример: натуральный логарифм числа 2 (= [0; 1, 2, 3, 1, 5, 2 / 3 , 7, 1 / 2 , 9, 2 / 5 ,..., 2 k − 1, 2 / k ,...] ≈ 0,693147...):

$\log 2=\log(1+1)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}$

п

Вот три π самые известные обобщенные цепные дроби числа , первая и третья из которых получены из соответствующих формул арктангенса , приведенных выше, путем установки x = y = 1 и умножения на 4. Формула Лейбница для π :

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+-\cdots$

сходится слишком медленно, требуя примерно 3 × 10 ^н условия для достижения n правильных десятичных знаков. Серия, созданная Нилакантой Сомаяджи :

$\pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots }}}}}}=3-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n+1)(2n+1)}}=3+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-+\cdots$

это гораздо более очевидное выражение, но оно все равно сходится довольно медленно, требуя почти 50 членов для пяти десятичных знаков и почти 120 для шести десятичных знаков. Оба сходятся сублинейно к π . С другой стороны:

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}=4-1+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{34}}+{\frac {16}{3145}}-{\frac {4}{4551}}+{\frac {1}{6601}}-{\frac {1}{38341}}+-\cdots$

сходится линейно к π , добавляя по крайней мере три цифры точности на четыре члена, что немного быстрее, чем формула арксинуса для π :

$\pi =6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!$

что добавляет не менее трех десятичных цифр на пять членов.

• Примечание: этой цепной дроби скорость сходимости µ стремится к 3 − √ 8 ≈ 0,1715729 , следовательно 1 / μ стремится к 3 + √ 8 ≈ 5,828427 , чей десятичный логарифм равен 0,7655... ≈ 13 / 17 > 3 / 4 . Одинаковый 1 / μ = 3 + √ 8 ( квадрат отношения серебра ) также наблюдается в развернутых общих цепных дробях как натурального логарифма 2 , так и n- корня й степени из 2 (который работает для любого целого числа n > 1 ), если вычисляется с использованием 2 = 1 + 1 . Для сложенных общих цепных дробей обоих выражений скорость сходимости µ = (3 − √ 8 ) ² = 17 − √ 288 ≈ 0,02943725 , следовательно 1 / μ = (3 + √ 8 ) ² = 17 + √ 288 ≈ 33,97056 , чей десятичный логарифм равен 1,531... ≈ 26 / 17 > 3/2 , таким . образом добавляя не менее трех цифр на два члена Это связано с тем, что свернутый GCF складывает каждую пару фракций развернутого GCF в одну фракцию, тем самым удваивая скорость сходимости. Ссылка Мэнни Сардина далее объясняет «сложенные» цепные дроби.
• Примечание. Использование цепной дроби для арктана. x / y, приведенная выше, с самой известной формулой типа Мачина дает еще более быстрое, хотя и линейное, сходящееся выражение:

$\pi =16\tan ^{-1}{\cfrac {1}{5}}\,-\,4\tan ^{-1}{\cfrac {1}{239}}={\cfrac {16}{u+{\cfrac {1^{2}}{3u+{\cfrac {2^{2}}{5u+{\cfrac {3^{2}}{7u+\ddots }}}}}}}}\,-\,{\cfrac {4}{v+{\cfrac {1^{2}}{3v+{\cfrac {2^{2}}{5v+{\cfrac {3^{2}}{7v+\ddots }}}}}}}}.$

с u = 5 и v = 239 .

Корни положительных чисел

Корень n-й степени из любого положительного числа z ^м можно выразить, переформулировав z = x ^н + y , что приводит к

${\sqrt[{n}]{z^{m}}}={\sqrt[{n}]{\left(x^{n}+y\right)^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{n-m}+{\cfrac {(n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{n-m}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{n-m}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}$

которую можно упростить, сложив каждую пару дробей в одну дробь, до

${\sqrt[{n}]{z^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {2x^{m}\cdot my}{n(2x^{n}+y)-my-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{3n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{5n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{7n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(4^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{9n(2x^{n}+y)-\ddots }}}}}}}}}}.$

Квадратный корень из z является особым случаем с m = 1 и n = 2 :

${\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {3y}{6x+{\cfrac {3y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {1\cdot 3y^{2}}{6(2x^{2}+y)-{\cfrac {3\cdot 5y^{2}}{10(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}$

которое можно упростить, заметив, что 5 / 10 = 3 / 6 = 1 / 2 :

${\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}.$

Квадратный корень также может быть выражен через периодическую цепную дробь , но приведенная выше форма сходится быстрее с правильными x и y .

Пример 1

Кубический корень из двух (2 ^1/3 или ³ √ 2 ≈ 1,259921...) можно рассчитать двумя способами:

Во-первых, «стандартные обозначения» x = 1 , y = 1 и 2 z − y = 3 :

${\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {4}{9+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {7}{15+{\cfrac {8}{2+{\cfrac {10}{21+{\cfrac {11}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{9-1-{\cfrac {2\cdot 4}{27-{\cfrac {5\cdot 7}{45-{\cfrac {8\cdot 10}{63-{\cfrac {11\cdot 13}{81-\ddots }}}}}}}}}}.$

Во-вторых, быстрая сходимость при x = 5 , y = 3 и 2 z − y = 253 :

${\sqrt[{3}]{2}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {0.5}{50+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {4}{150+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {7}{250+{\cfrac {8}{5+{\cfrac {10}{350+{\cfrac {11}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {2.5\cdot 1}{253-1-{\cfrac {2\cdot 4}{759-{\cfrac {5\cdot 7}{1265-{\cfrac {8\cdot 10}{1771-\ddots }}}}}}}}.$

Пример 2

Коэффициент Погсона (100 ^1/5 или ⁵ √ 100 ≈ 2,511886...), где x = 5 , y = 75 и 2 z − y = 6325 :

${\sqrt[{5}]{100}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {3}{250+{\cfrac {12}{5+{\cfrac {18}{750+{\cfrac {27}{5+{\cfrac {33}{1250+{\cfrac {42}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {5\cdot 3}{1265-3-{\cfrac {12\cdot 18}{3795-{\cfrac {27\cdot 33}{6325-{\cfrac {42\cdot 48}{8855-\ddots }}}}}}}}.$

Пример 3

Корень двенадцатой степени из двух (2 ^1/12 или ¹² √ 2 ≈ 1,059463...), используя «стандартные обозначения»:

${\sqrt[{12}]{2}}=1+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {11}{2+{\cfrac {13}{36+{\cfrac {23}{2+{\cfrac {25}{60+{\cfrac {35}{2+{\cfrac {37}{84+{\cfrac {47}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{36-1-{\cfrac {11\cdot 13}{108-{\cfrac {23\cdot 25}{180-{\cfrac {35\cdot 37}{252-{\cfrac {47\cdot 49}{324-\ddots }}}}}}}}}}.$

Пример 4

равного темперамента ( Идеальная квинта 2 ^7/12 или ¹² √ 2 ⁷ ≈ 1,498307...), при m = 7 :

Со «стандартными обозначениями»:

${\sqrt[{12}]{2^{7}}}=1+{\cfrac {7}{12+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {19}{36+{\cfrac {17}{2+{\cfrac {31}{60+{\cfrac {29}{2+{\cfrac {43}{84+{\cfrac {41}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 7}{36-7-{\cfrac {5\cdot 19}{108-{\cfrac {17\cdot 31}{180-{\cfrac {29\cdot 43}{252-{\cfrac {41\cdot 55}{324-\ddots }}}}}}}}}}.$

Быстрая сходимость с x = 3 , y = −7153 и 2 z − y = 2 ¹⁹ + 3 ¹² :

${\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {1}{2}}{\sqrt[{12}]{3^{12}-7153}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {0.5\cdot 7153}{4\cdot 3^{12}-{\cfrac {11\cdot 7153}{6-{\cfrac {13\cdot 7153}{12\cdot 3^{12}-{\cfrac {23\cdot 7153}{6-{\cfrac {25\cdot 7153}{20\cdot 3^{12}-{\cfrac {35\cdot 7153}{6-{\cfrac {37\cdot 7153}{28\cdot 3^{12}-{\cfrac {47\cdot 7153}{6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}$

${\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {3\cdot 7153}{12(2^{19}+3^{12})+7153-{\cfrac {11\cdot 13\cdot 7153^{2}}{36(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {23\cdot 25\cdot 7153^{2}}{60(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {35\cdot 37\cdot 7153^{2}}{84(2^{19}+3^{12})-\ddots }}}}}}}}.$

Более подробную информацию об этом методе можно найти в разделе « Общий метод извлечения корней с использованием (сложенных) цепных дробей» .

Высшие измерения

Другое значение обобщенной цепной дроби — это обобщение на более высокие измерения. Например, существует тесная связь между простой цепной дробью в канонической форме для иррационального действительного числа α и тем, как точки решетки в двух измерениях лежат по обе стороны от линии y = αx . Обобщая эту идею, можно задать вопрос о чем-то, связанном с узлами решетки в трех или более измерениях. Одной из причин изучения этой области является количественная оценка идеи математического совпадения ; например, для мономов из нескольких действительных чисел примите логарифмическую форму и подумайте, насколько малыми они могут быть. Другая причина — найти возможное решение проблемы Эрмита .

Было предпринято множество попыток построить обобщенную теорию. Заметные усилия в этом направлении предприняли Феликс Кляйн (« Многогранник Клейна» ), Жорж Пуату и Жорж Секерес .

См. также

• Непрерывная дробь Гаусса
• Стол Паде
• Решение квадратных уравнений с цепными дробями
• Проблема сходимости
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Алгоритм Ленца

Ссылки

• Энджелл, Дэвид (2010). «Семейство цепных дробей» (PDF) . Журнал теории чисел . 130 (4). Эльзевир: 904–911. дои : 10.1016/j.jnt.2009.12.003 .

• Энджелл, Дэвид (2021). Иррациональность и трансцендентность в теории чисел . Чепмен и Холл/CRC. ISBN  9780367628376 .

• Бекманн, Петр (1971). История Пи . Martin's Press, Inc., стр. 131–133, 140–143 . ISBN  0-88029-418-3 .

• Бомбелли, Рафаэль (1579). Алгебра .

• Борвейн, Джонатан Майкл ; Крэндалл, Ричард Э .; Плата, Грег (2004). «О фракции AGM Рамануджана I: случай с реальными параметрами» . Экспериментальная математика . 13 (3): 275–285. дои : 10.1080/10586458.2004.10504540 . S2CID   17758274 .

• Катальди, Пьетро Антонио (1613). быстром нахождении квадратных корней из чисел Трактат о .

• Кристал, Джордж (1999). Алгебра, начальный учебник для старших классов средних школ и для колледжей: Ч. 1 . Американское математическое общество. п. 500. ИСБН  0-8218-1649-7 .

• Кьюсик, Томас В.; Флахайв, Мэри Э. (1989). Спектры Маркова и Лагранжа . Американское математическое общество. стр. 89 . ISBN  0-8218-1531-8 .

• Евклид (2008) [300 г. до н. э.]. «Элементы» . Математический институт Клея.

• Эйлер, Леонард (1748). «E101 – Введение в анализ infinitorum, том 1» . Архив Эйлера . Проверено 2 мая 2022 г.

• Гаусс, Карл Фридрих (1813). Общие рассуждения о бесконечных рядах .

• Хэвил, Джулиан (2012). Иррациональное: история чисел, на которые нельзя рассчитывать . Издательство Принстонского университета. п. 280. ИСБН  978-0691143422 . JSTOR   j.ctt7smdw .

• Джонс, Уильям Б.; Трон, WJ (1980). Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 11. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-13510-8 . Збл   0445.30003 . (Охватывает как аналитическую теорию, так и историю.)

• Лоренцен, Лиза ; Вааделанд, Хокон (1992). Продолжительные дроби с приложениями . Ридинг, Массачусетс: Северная Голландия. ISBN  978-0-444-89265-2 . (Охватывает в основном аналитическую теорию и некоторую арифметическую теорию.)

• Перрон, Оскар (1977a) [1954]. Учение о цепных дробях . Том I: Элементарные цепные дроби (3-е изд.). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN  9783519020219 .

• Перрон, Оскар (1977b) [1954]. Учение о цепных дробях . Том II: Аналитико-функциональные цепные дроби (3-е изд.). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN  9783519020226 .

• Порубский, Штефан (2008). «Основные определения цепных дробей» . Интерактивный информационный портал по алгоритмической математике . Прага, Чехия: Институт компьютерных наук Чешской академии наук . Проверено 2 мая 2022 г.

• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Раздел 5.2. Вычисление цепных дробей» . Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8 . Архивировано из оригинала 06 мая 2021 г. Проверено 8 августа 2011 г.

• Сардина, Мэнни (2007). «Общий метод извлечения корней с использованием (сложенных) цепных дробей» (PDF) . Суррей (Великобритания).

• Секерес, Джордж (1970). «Многомерные цепные дроби». Энн. Университет Будапешта. Этвёш, секта математики . 13 : 113–140.

• Фон Кох, Хельге (1895). «Об одной теореме Стилтьеса и о функциях, определяемых цепными дробями» . Бюллетень Математического общества Франции . 23 :33–40. дои : 10.24033/bsmf.508 . ЖФМ   26.0233.01 .

• Уолл, Хьюберт Стэнли (1967). Аналитическая теория цепных дробей (переиздание). паба «Челси» ISBN  0-8284-0207-8 . (Это переиздание издания Д. Ван Ностранда 1948 года охватывает как историю, так и аналитическую теорию.)

• Уоллис, Джон (1699). Opera mathematica [ Математические труды ].

Внешние ссылки

• Первые двадцать страниц Стивена Р. Финча, Математические константы , Cambridge University Press , 2003, ISBN   0-521-81805-2 содержит обобщенные цепные дроби для √ 2 и золотого сечения.
• Последовательность OEIS A133593 («Точная» непрерывная дробь для числа Пи)