Математическое совпадение

Эта статья о числовых диковинках. О технической математической концепции совпадения см. Точка совпадения .

Говорят, что математическое совпадение происходит, когда два выражения, не имеющие прямой связи, показывают почти равенство, которое не имеет очевидного теоретического объяснения.

Например, существует почти равенство, близкое к круглому числу между степенями 2 и степенями 10 1000:

$2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}.$

Некоторые математические совпадения используются в технике , когда одно выражение принимается за приближение другого.

Введение

Математическое совпадение часто связано с целым числом , и удивительной особенностью является тот факт, что действительное число, возникающее в некотором контексте, рассматривается в некотором стандарте как «близкое» приближение к небольшому целому числу, кратному или степени десяти, или, в более общем смысле, , к рациональному числу с малым знаменателем . Также могут быть рассмотрены другие виды математических совпадений, такие как целые числа, одновременно удовлетворяющие множеству, казалось бы, несвязанных критериев, или совпадения относительно единиц измерения. В классе совпадений чисто математического характера некоторые просто возникают в результате иногда очень глубоких математических фактов, тогда как другие кажутся возникающими «из ниоткуда».

Учитывая бесконечное количество способов формирования математических выражений с использованием конечного числа символов, количество используемых символов и точность приблизительного равенства могут быть наиболее очевидным способом оценки математических совпадений; но стандарта не существует, и строгий закон малых чисел — это то, к чему следует обращаться без формального противодействующего математического руководства. Помимо этого, некоторый смысл математической эстетики для определения ценности математического совпадения можно использовать , и на самом деле существуют исключительные случаи истинного математического значения (см. константу Рамануджана ниже, которая была напечатана несколько лет назад в качестве научного первоапрельского дурака). ' шутить ). В целом, однако, их обычно следует рассматривать из-за их любознательности или, возможно, из-за того, что они поощряют новых изучающих математику на элементарном уровне.

Несколько примеров

Рациональные

Иногда простые рациональные приближения исключительно близки к интересным иррациональным значениям. Это объяснимо с точки зрения больших членов в представлении иррационального значения в виде непрерывной дроби , но дальнейшее понимание того, почему возникают такие невероятно большие члены, часто невозможно.

Также часто используются рациональные аппроксиманты (сходящиеся числа непрерывных дробей) к отношениям журналов разных чисел, что обеспечивает совпадение степеней этих чисел.

Многие другие совпадения представляют собой комбинации чисел, придающие им форму, которую такие рациональные аппроксиманты обеспечивают тесные связи.

Относительно π

• Вторая подходящая дробь π , [3; 7] = 22/7 = 3,1428..., было известно Архимеду , и соответствует примерно 0,04%. Четвертая подходящая дробь π , [3; 7, 15, 1] ​​= 355/113 = 3,1415929..., найдено Цзу Чунчжи , верно до шести десятичных знаков; такая высокая точность достигается потому, что π имеет необычно большой следующий член в представлении цепной дроби: π = [3; 7, 15, 1, 292, ...].
• Совпадение с участием π и золотого сечения φ определяется выражением $\pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}=3.1446\dots$. Следовательно, квадрат на ребре среднего размера треугольника Кеплера по периметру подобен описанной окружности. Некоторые полагают, что то или иное из этих совпадений можно найти в Великой пирамиде Гизы , но маловероятно, что это было сделано намеренно.
• Существует последовательность из шести девяток числа Пи , широко известная как точка Фейнмана , начинающаяся с 762-го десятичного знака ее десятичного представления. Для случайно выбранного нормального числа вероятность того, что определенная последовательность из шести последовательных цифр (любого типа, а не только повторяющаяся) появится так рано, составляет 0,08%. Предполагается, но не известно, что Пи является нормальным числом.
• Первая константа Фейгенбаума примерно равна ${\tfrac {10}{\pi -1}}$, с погрешностью 0,0015%.

Относительно базы 2

• Совпадение $2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}$, с точностью до 2,4%, относится к рациональному приближению $\textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\approx 3.3219\approx {\frac {10}{3}}$, или $2\approx 10^{3/10}$с точностью до 0,3%. Это соотношение используется в технике, например, для аппроксимации коэффициента мощности в два раза равным 3 дБ (фактическое значение составляет 3,0103 дБ – см. Точка половинной мощности ) или для соотнесения кибибайта с килобайтом ; см . двоичный префикс . Это же числовое совпадение ответственно за почти равенство между одной третью октавы и одной десятой декады.
• Это совпадение можно также выразить как $128=2^{7}\approx 5^{3}=125$ (исключая общий фактор $2^{3}$, поэтому также поправим на 2,4%), что соответствует рациональному приближению $\textstyle {\frac {\log 5}{\log 2}}\approx 2.3219\approx {\frac {7}{3}}$, или $2\approx 5^{3/7}$(также с точностью до 0,4%). Это вызывается, например, в настройках выдержки на камерах как приближение к степени двойки (128, 256, 512) в последовательности выдержек 125, 250, 500 и т. д. и в оригинале «Кто хочет стать миллионером?» игровое шоу в значениях вопросов... £16 000, £32 000, £64 000, £125 000 , £250 000,...

О музыкальных интервалах

Смотрите также: Музыкальный темперамент

В музыке расстояния между нотами (интервалы) измеряются как отношения их частот, причем почти рациональные соотношения часто звучат гармонично. В западной двенадцатитоновой одинаковой темперации соотношение частот последовательных нот равно ${\sqrt[{12}]{2}}$.

• Совпадение $2^{19}\approx 3^{12}$, от ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$, тесно связывает интервал в 7 полутонов равной темперации с идеальной квинтой чистой интонации : $2^{7/12}\approx 3/2$, поправка примерно на 0,1%. Пятая часть является основой пифагорейской настройки ; разница между двенадцатью всего лишь пятыми и семью октавами — это пифагорейская запятая .
• Совпадение ${(3/2)}^{4}=(81/16)\approx 5$ позволило развить средний темперамент , в котором просто идеальные квинты (соотношение $3/2$) и мажорные трети ( $5/4$) «закалены» так, что четыре $3/2$'s примерно равен $5/1$или $5/4$мажорная треть вверх на две октавы. Разница ( $81/80$) между этими стопками интервалов стоит синтонная запятая .
• Совпадение ${\sqrt[{12}]{2}}{\sqrt[{7}]{5}}=1.33333319\ldots \approx {\frac {4}{3}}$ приводит к рациональной версии 12 -TET , как заметил Иоганн Кирнбергер .
• Совпадение ${\sqrt[{8}]{5}}{\sqrt[{3}]{35}}=4.00000559\ldots \approx 4$ приводит к рациональной версии: четверть запятой означает темперамент.
• Совпадение степеней двойки, приведенное выше, приводит к приближению, согласно которому три основные трети объединяются в октаву, ${(5/4)}^{3}\approx {2/1}$. Это и подобные приближения в музыке называются диезами .

Числовые выражения

Относительно степеней π

• $\pi ^{2}\approx 10;$ правильно около 1,32%. Это можно понять с помощью формулы для дзета-функции $\zeta (2)=\pi ^{2}/6.$ Это совпадение было использовано при разработке логарифмических линеек , где «сложенные» шкалы сложены на $\pi$ скорее, чем ${\sqrt {10}},$ потому что это более полезное число, и оно приводит к тому, что весы складываются примерно в одном и том же месте.
• $\pi ^{2}+\pi \approx 13;$ правильно примерно до 0,086%.
• $\pi ^{2}\approx 227/23,$ правильно до 4 частей на миллион.
• $\pi ^{3}\approx 31,$ правильно до 0,02%.
• $2\pi ^{3}-\pi ^{2}-\pi \approx 7^{2},$ погрешность составляет около 0,002%, и ее можно рассматривать как комбинацию вышеупомянутых совпадений.
• $\pi ^{4}\approx 2143/22;$ или $\pi \approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4},$ с точностью до 8 десятичных знаков (благодаря Рамануджану : Quarterly Journal of Mathematics , XLV, 1914, стр. 350–372). Рамануджан утверждает, что это «любопытное приближение» к $\pi$ было «получено эмпирически» и не имеет никакой связи с теорией, развиваемой в оставшейся части статьи.
• Некоторые близкие эквиваленты, которые имеют высокую степень точности, на самом деле не являются совпадениями. Например,

  $\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x\approx {\frac {\pi }{8}}.$

Две стороны этого выражения различаются только после 42-го десятичного знака; Это не случайность .

Содержит как π , так и e

• π ≈ 1 + e − γ до 4 цифр, где γ — постоянная Эйлера – Маскерони.
• $\pi ^{4}+\pi ^{5}\approx e^{6}$, примерно до 7 десятичных знаков. Эквивалентно, $4\cdot \ln(\pi )+\ln(\pi +1)\approx 6$.
• $(e-1)\pi \approx {\sqrt {5}}+{\sqrt {10}}$, примерно до 4 десятичных знаков.
• $\left({\frac {\pi }{2}}-\ln \left({\frac {3\pi }{2}}\right)\right)42\pi \approx e$, примерно до 9 десятичных знаков.
• $e^{\pi }-\pi \approx 20$примерно до 4 десятичных знаков. (Конвей, Слоан, Плуфф, 1988); это эквивалентно $(\pi +20)^{i}=-0.9999999992\ldots -i\cdot 0.000039\ldots \approx -1.$ Когда-то считавшийся хрестоматийным примером математического совпадения, дело в том, что $e^{\pi }-\pi$близко к 20, само по себе не случайно, хотя приближение на порядок ближе, чем можно было бы ожидать. Никакого объяснения почти идентичности не было известно до 2023 года. Это следствие бесконечной суммы $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{\left(-\pi k^{2}\right)}=1,$в результате якобианской тэта-функциональной идентичности . Первый член суммы является самым большим, что дает приближение $\left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,$ или $e^{\pi }\approx 8\pi -2.$ Используя оценку $\pi \approx 22/7$ затем дает $e^{\pi }\approx \pi +(7\cdot {\frac {22}{7}}-2)=\pi +20.$
• $\pi ^{e}+e^{\pi }\approx 45{\frac {3}{5}}$, в пределах 4 частей на миллион.
• $\pi ^{9}/e^{8}\approx 10$, примерно до 5 десятичных знаков. То есть, $\ln(\pi )\approx {\ln(10)+8 \over 9}$, в пределах 0,0002%.
• $2\pi +e\approx 9$, в пределах 0,02%.
• ${\textstyle e^{-{\frac {\pi }{9}}}+e^{-4{\frac {\pi }{9}}}+e^{-9{\frac {\pi }{9}}}+e^{-16{\frac {\pi }{9}}}+e^{-25{\frac {\pi }{9}}}+e^{-36{\frac {\pi }{9}}}+e^{-49{\frac {\pi }{9}}}+e^{-64{\frac {\pi }{9}}}=1.00000000000105\ldots \approx 1}$. Фактически это обобщается до приблизительного тождества $\textstyle \sum _{k=1}^{n-1}{e^{-{\frac {k^{2}\pi }{n}}}}\approx {\frac {-1+{\sqrt {n}}}{2}},$ что можно объяснить тэта-функциональным тождеством Якобиана.
• Константа Рамануджана : $e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768744=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744$, в пределах $2.9\cdot 10^{-28}\%$, открытый в 1859 году Чарльзом Эрмитом . Это очень близкое приближение не является типичным видом случайного математического совпадения, для которого не известно и не ожидается существования математического объяснения (как в случае с большинством других случаев). Это следствие того, что 163 — число Хегнера .
• Есть несколько целых чисел $k=2198,422151,614552,2508952,6635624,199148648,\dots$ ( OEIS : A019297 ) такой, что $\pi \approx {\frac {\ln(k)}{\sqrt {n}}}$ для некоторого целого числа n или, что то же самое, $k\approx e^{\pi {\sqrt {n}}}$ для того же $n=6,17,18,22,25,37,\dots$Они не являются строго случайными, поскольку они связаны как с константой Рамануджана, указанной выше, так и с числами Хегнера . Например, $k=199148648=14112^{2}+104,$ поэтому эти целые числа k близки к квадратам или почти кубам, и обратите внимание на непротиворечивые формы для n = 18, 22, 37,

$\pi \approx {\frac {\ln(784^{2}-104)}{\sqrt {18}}}$

$\pi \approx {\frac {\ln(1584^{2}-104)}{\sqrt {22}}}$

$\pi \approx {\frac {\ln(14112^{2}+104)}{\sqrt {37}}}$

с точностью до 14 или 15 десятичных знаков.

• $(e^{e})^{e}\approx 1000\varphi$
• ${\frac {10(e^{\pi }-\ln 3)}{\ln 2}}=318.000000033\ldots$почти целое число , примерно до 8-го знака после запятой.

Другие числовые курьезы

• $10!=6!\cdot 7!=3!\cdot 5!\cdot 7!$.
• При обсуждении проблемы дня рождения число $\lambda ={\frac {1}{365}}{23 \choose 2}={\frac {253}{365}}$ происходит, что «забавно» равно $\ln(2)$ до 4 цифр.
• $5\cdot 10^{5}-1=31\cdot 127\cdot 127$, произведение трёх простых чисел Мерсенна .
• ${\sqrt[{6}]{6!}}$, среднее геометрическое первых шести натуральных чисел, составляет примерно 2,99; то есть, $6!\approx 3^{6}$.
• Номер шестой гармоники ,
  $$H_{6}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}={\frac {49}{20}}=2.45$$
  что примерно ${\sqrt {6}}$ (2,449489...) с точностью до 5,2 × 10 ⁻⁴ .
• ${\sqrt[{5}]{109}}\approx {\frac {23}{9}}$, в пределах $2\times 10^{-7}$.

Десятичные совпадения

• $3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=3435$, что делает 3435 единственным нетривиальным числом Мюнхгаузена по основанию 10 (исключая 0 и 1). Если принять соглашение, согласно которому $0^{0}=0$, однако тогда 438579088 — это еще один номер Мюнхгаузена.
• $\,1!+4!+5!=145$ и $\,4!+0!+5!+8!+5!=40585$ — единственные нетривиальные факториалы по основанию 10 (исключая 1 и 2).
• ${\frac {16}{64}}={\frac {1\!\!\!\not 6}{\not 64}}={\frac {1}{4}}$,     ${\frac {26}{65}}={\frac {2\!\!\!\not 6}{\not 65}}={\frac {2}{5}}$,     ${\frac {19}{95}}={\frac {1\!\!\!\not 9}{\not 95}}={\frac {1}{5}}$, и ${\frac {49}{98}}={\frac {4\!\!\!\not 9}{\not 98}}={\frac {4}{8}}$. Если конечный результат этих четырех аномальных отмен умножаются, их произведение уменьшается ровно до 1/100.
• $\,(4+9+1+3)^{3}=4913$, $\,(5+8+3+2)^{3}=5832$, и $\,(1+9+6+8+3)^{3}=19683$. (В том же духе, $\,(3+4)^{3}=343$.)
• $\,-1+2^{7}=127$, что составляет 127 наименьшее красивое число Фридмана . Похожий пример $2^{5}\cdot 9^{2}=2592$.
• $\,1^{3}+5^{3}+3^{3}=153$, $\,3^{3}+7^{3}+0^{3}=370$, $\,3^{3}+7^{3}+1^{3}=371$, и $\,4^{3}+0^{3}+7^{3}=407$ все это нарциссические числа .
• $\,588^{2}+2353^{2}=5882353$, простое число. Дробь 1/17 также дает 0,05882353 при округлении до 8 цифр.
• $\,2^{1}+6^{2}+4^{3}+6^{4}+7^{5}+9^{6}+8^{7}=2646798$. Наибольшее число с этим шаблоном $\,12157692622039623539=1^{1}+2^{2}+1^{3}+\ldots +9^{20}$.
• $13532385396179=13\times 53^{2}\times 3853\times 96179$. Это число, найденное в 2017 году, отвечает на вопрос Джона Конвея , могут ли цифры составного числа совпадать с его простыми факторизациями.

Числовые совпадения чисел из физического мира

Скорость света

Скорость света (по определению) равна ровно 299 792 458 м/с , что чрезвычайно близко к 3,0 × 10. ⁸ м/с ( 300 000 000 м/с ). Это чистое совпадение, поскольку изначально метр определялся как 1/10 000 000 расстояния между полюсом Земли и экватором вдоль поверхности на уровне моря, а окружность Земли как раз составляет около 2/15 световой длины. второй. Оно также примерно равно одному футу в наносекунду (фактическое число составляет 0,9836 фута/нс).

Угловые диаметры Солнца и Луны

Если смотреть с Земли, угловой диаметр Солнца колеблется от 31’27 ″ до 32’32″, а у Луны – от 29’20″ до 34’6″. Тот факт, что интервалы перекрываются (первый интервал содержится во втором), является совпадением и имеет значение для типов солнечных затмений , которые можно наблюдать с Земли.

Гравитационное ускорение

См. Также: Секундный маятник.

хотя и не является постоянным, а варьируется в зависимости от широты и высоты Числовое значение ускорения, вызванного силой тяжести Земли на поверхности, , находится между 9,74 и 9,87 м/с. ² , что довольно близко к 10. Это означает, что в результате второго закона Ньютона вес килограмма массы на поверхности Земли соответствует примерно 10 ньютонам силы, действующей на объект.

Это связано с вышеупомянутым совпадением, что квадрат числа Пи близок к 10. Одним из ранних определений метра была длина маятника, период полукачества которого был равен одной секунде. Поскольку период полного качания маятника аппроксимируется приведенным ниже уравнением, алгебра показывает, что, если бы это определение сохранялось, гравитационное ускорение, измеряемое в метрах в секунду в секунду, было бы точно равно π. ² .

$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$

Верхний предел силы тяжести на поверхности Земли (9,87 м/с). ² ) равно π ² РС ² до четырех значащих цифр. Это примерно на 0,6% больше стандартной гравитации (9,80665 м/с). ² ).

Константа Ридберга

, Константа Ридберга умноженная на скорость света и выраженная в виде частоты, близка к ${\frac {\pi ^{2}}{3}}\times 10^{15}\ {\text{Hz}}$:

${\underline {3.2898}}41960364(17)\times 10^{15}\ {\text{Hz}}=R_{\infty }c$

${\underline {3.2898}}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{3}}$

Это также примерно соотношение одного метра к одному футу: 1 м/фут = 1 м / (0,3048 м).

Традиционное в США преобразование в метрические системы

Как обнаружил Рэндалл Манро , кубическая миля близка к ${\frac {4}{3}}\pi$кубических километров (в пределах 0,5%). Это означает, что сфера радиусом n километров имеет почти такой же объем, как куб со сторонами длиной n миль.

Отношение мили к километру примерно соответствует золотому сечению . Как следствие, число миль Фибоначчи примерно равно следующему числу километров Фибоначчи.

Отношение мили к километру также очень близко к $\ln(5)$(в пределах 0,006%). То есть, $5^{m}\approx e^{k}$ где m — количество миль, k — количество километров, а e — число Эйлера .

Плотность одна унция на кубический фут очень близка к одному килограмму на кубический метр: 1 унция/фут. ³ = 1 унция × 0,028349523125 кг/унция / (1 фут × 0,3048 м/фут) ³ ≈ 1,0012 кг/м ³ .

Соотношение между одной тройской унцией и одним граммом составляет примерно $10\pi -{\frac {\pi }{10}}={\frac {99}{10}}\pi$.

Константа тонкой структуры

Константа тонкой структуры $\alpha$ близок к и когда-то предполагалось, что он в точности равен 1 / 137 . CODATA : Рекомендуемое значение

$\alpha$ = 1 / 137.035 999 177 (21)

$\alpha$ — безразмерная физическая константа , поэтому данное совпадение не является артефактом используемой системы единиц.

Планета Земля

Радиус геостационарной орбиты , 42 164 километра (26 199 миль), находится в пределах 0,02% изменения расстояния до Луны за месяц (разница между ее апогеем и перигеем), 42 171 километр (26 204 мили) и 5% ошибка длина экватора — 40 075 километров (24 901 миль).

Минимальное, среднее и максимальное расстояния Луны от Земли с ее угловым диаметром, если смотреть с поверхности Земли, в масштабе

Солнечная орбита Земли

Количество секунд в году по григорианскому календарю можно рассчитать по формуле: $365.2425\left({\frac {\text{days}}{\text{year}}}\right)\times 24\left({\frac {\text{hours}}{\text{day}}}\right)\times 60\left({\frac {\text{minutes}}{\text{hour}}}\right)\times 60\left({\frac {\text{seconds}}{\text{minute}}}\right)=31,556,952\left({\frac {\text{seconds}}{\text{year}}}\right)$

Это значение можно аппроксимировать $\pi \times 10^{7}$ или 31 415 926,54 с ошибкой менее одного процента: $\left[1-\left({\frac {31,415,926.54}{31,556,952}}\right)\right]\times 100=0.4489\%$

См. также

• Почти целое число
• Антропный принцип
• Проблема с днем ​​рождения
• Исключительный изоморфизм
• Нарциссическое число
• мечта второкурсника
• Сильный закон малых чисел
• Экспериментальная математика
• Формула Койде

Внешние ссылки

• (in Russian) В. Левшин. – Магистр рассеянных наук. – Москва, Детская Литература 1970, 256 с.
• Дэвис, Филип Дж. - Есть ли совпадения в математике - American Mathematical Monthly, vol. 84 нет. 5, 1981.
• Харди, Г.Х. – Извинения математика . – Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, 1993, ( ISBN   0-521-42706-1 )
• Вайсштейн, Эрик В. «Почти целое число» . Математический мир .
• Различные математические совпадения в разделе «Наука и математика» на сайте futilitycloset.com.
• Пресс, WH , « Казалось бы, замечательные математические совпадения легко создать »