Формула Койде

Формула Койде — это необъяснимое эмпирическое уравнение , открытое Ёсио Койде в 1981 году. В своей первоначальной форме оно не является полностью эмпирическим, а представляет собой набор предположений для модели масс кварков и лептонов, а также углов CKM. Из этой модели сохранились наблюдения о массах трех заряженных лептонов ; более поздние авторы распространили это отношение на нейтрино , кварки и другие семейства частиц .

Формула

Формула Койде

$Q={\frac {~m_{e}+m_{\mu }+m_{\tau }~}{\left(\ {\sqrt {\ m_{e}\ }}+{\sqrt {\ m_{\mu }\ }}+{\sqrt {\ m_{\tau }\ }}\ \right)^{2}}}=0.666661(7)\approx {\frac {\ 2\ }{3}}\ ,$

где массы электрона , мюона и тау измерены соответственно как m _e = 0,510 998 946 (3) МэВ/ c ² , м _μ = 105,658 3745 (24) МэВ/ c ² , и m _τ = 1 776 .86(12) МэВ/ c ² ; цифры в скобках представляют собой неопределенности в последних цифрах. Это дает Q = 0,666 661 (7) .

Независимо от того, какие массы выбраны вместо электрона, мюона и тау, отношение Q ограничивается величиной ⁠ 1 / 3 ⁠ ≤ Q < 1 . Верхняя оценка следует из того, что квадратные корни обязательно положительны, а нижняя оценка следует из неравенства Коши–Буняковского–Шварца . Экспериментально определенное значение, ⁠ 2 / 3 ⁠ находится в центре математически допустимого диапазона. Но обратите внимание, что, убрав требование положительных корней, можно поместить дополнительный кортеж в сектор кварков (тот, который имеет странность, очарование и дно).

Тайна в физической ценности. Результат необычен не только тем, что три якобы произвольных числа дают простую дробь, но и тем, что в случае электрона, мюона и тау Q находится ровно посередине между двумя крайностями всех возможных комбинаций: ⁠ 1/3 ( ⁠ если (если три массы равны) и 1 одна масса затмевает две другие). Q — безразмерная величина , поэтому соотношение сохраняется независимо от того, какая единица измерения используется для выражения величин масс.

Роберт Фут также интерпретировал формулу Койде как геометрическое соотношение, в котором значение $\ {\frac {1}{\ 3\ Q\ }}\$ - квадрат косинуса угла между вектором $\ [\ {\sqrt {\ m_{e}\ }},{\sqrt {\ m_{\mu }\ }},{\sqrt {\ m_{\tau }\ }}\ ]\$ и вектор $\ [\ 1,1,1\ ]\$ (см. скалярное произведение ). Этот угол составляет почти ровно 45 градусов: $\ \theta =45.000^{\circ }\pm 0.001^{\circ }~.$

Если предполагается, что формула выполняется точно ( Q = ⁠ 2 / 3 ⁠ ), его можно использовать для предсказания массы тау на основе (более точно известных) масс электрона и мюона; это предсказание составляет m _τ = 1 776 , 969 МэВ/ с. ² .

Хотя исходная формула возникла в контексте преонных моделей, были найдены и другие способы ее вывода (как Сумино, так и Койде - см. Ссылки ниже). Однако в целом понимание остается неполным. Подобные совпадения были найдены для тройек кварков в зависимости от бегущих масс. При чередовании кварков и объединении уравнений Коиде для последовательных троек можно достичь результата 173,263947(6) ГэВ для массы топ-кварка .

Спекулятивное расширение

Карл Браннен предложил лептонные массы задаются квадратами собственных значений циркулянтной матрицы с действительными собственными значениями, что соответствует соотношению

${\sqrt {\,m_{n}\;}}=\mu \left[\,1+2\eta \cos \left(\delta +{\frac {\,2\pi \,}{3}}\cdot n\right)\,\right]~,~$ для n = 0, 1, 2, ...

которое можно аппроксимировать экспериментальными данными с η ² = 0,500003(23) (соответствует соотношению Койде) и фазе δ = 0,2222220(19), что почти точно ⁠ 2 / 9 ⁠ . Однако экспериментальные данные противоречат одновременному равенству η ² = ⁠ 1/2 ​ ​ ⁠ и δ = ⁠ 2 / 9 ⁠  .

Соотношение такого рода было также предложено для семейств кварков с фазами, равными значениям низкой энергии. ⁠ 2 / 27 ⁠ = ⁠ 2 / 9 ⁠ × ⁠ 1/3 ​ ⁠ и ​ ⁠ 4 / 27 ⁠ = ⁠ 2 / 9 ⁠ × ⁠ 2 / 3 ⁠ , намекая на связь с зарядом семейства частиц ( ⁠ 1/3 ​ ⁠ и ​ ⁠ 2/3 ⁠ vs. для кварков ⁠ 3 / 3 ⁠ = 1 для лептонов, где   ⁠ 1 / 3 ⁠ × ⁠ 2 / 3 ⁠ × ⁠ 3 / 3 ⁠ ≈ d   ) .

Происхождение

Исходный вывод постулаты $\ m_{e_{i}}\propto \ (z_{0}+z_{i})^{2}\$ с условиями

$\ z_{1}+z_{2}+z_{3}=0\$

$\ {\tfrac {\ 1\ }{3}}\ (z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2})=z_{0}^{2}\$

откуда следует формула. Кроме того, постулировалось, что массы нейтрино и даун-кварков пропорциональны $\ z_{i}^{2}\$ тогда как массы ап-кварков постулировались как $\ \propto \ (z_{0}+2z_{i})^{2}~.$

Опубликованная модель оправдывает первое условие как часть схемы нарушения симметрии, а второе как «ароматический заряд» для преонов во взаимодействии, вызывающем это нарушение симметрии.

Обратите внимание, что в матричной форме с $~~M=A\ A^{\dagger }~~$ и $~~A=Z_{0}+Z~~$ уравнения просто $~~\operatorname {tr} Z=0~~$ и $~~\operatorname {tr} Z_{0}^{2}=\operatorname {tr} Z^{2}~.$

Подобные формулы

Существуют аналогичные формулы, связывающие другие массы. Массы кварков зависят от энергетической шкалы , используемой для их измерения, что усложняет анализ.

Взяв три самых тяжелых кварка: очарование (1,275 ± 0,03 ГэВ) , нижний (4,180 ± 0,04 ГэВ) и верхний (173,0 ± 0,40 ГэВ) , независимо от их неопределенностей, можно прийти к значению, приведенному Ф. Г. Цао (2012):

$Q_{\text{heavy}}={\frac {m_{c}+m_{b}+m_{t}}{{\big (}{\sqrt {m_{c}}}+{\sqrt {m_{b}}}+{\sqrt {m_{t}}}{\big )}^{2}}}\approx 0.669\approx {\frac {2}{3}}.$

Это заметили Родеоханн и Чжан в первой версии своей статьи 2011 года: но в опубликованной версии замечание было удалено, Итак, первое опубликованное упоминание Цао датировано 2012 годом.

Аналогично, массы легчайших кварков, вверх (2,2 ± 0,4 МэВ) , вниз (4,7 ± 0,3 МэВ) и странных (95,0 ± 4,0 МэВ) , без использования их экспериментальных неопределенностей, дают

$Q_{\text{light}}={\frac {m_{u}+m_{d}+m_{s}}{{\big (}{\sqrt {m_{u}}}+{\sqrt {m_{d}}}+{\sqrt {m_{s}}}{\big )}^{2}}}\approx 0.57\approx {\frac {5}{9}},$

значение, также упомянутое Цао в той же статье.

Обратите внимание, что в более старой статье H. Harari и др. вычисляет теоретические значения для верхних, нижних и странных кварков, что случайно соответствует более поздней формуле Койде, хотя и с безмассовым верхним кварком.

$Q_{\text{light}}={\frac {0+m_{d}+m_{s}}{{\big (}{\sqrt {0}}+{\sqrt {m_{d}}}+{\sqrt {m_{s}}}{\big )}^{2}}}$

Бегство масс частиц

В квантовой теории поля такие величины, как константа связи и масса , «движутся» по шкале энергии. То есть их значение зависит от энергетического масштаба, в котором происходит наблюдение, способом, описываемым уравнением ренормгруппы (RGE). Обычно ожидается, что соотношения между такими величинами будут простыми при высоких энергиях (где некоторая симметрия ) не нарушена , но не при низких энергиях, где поток РГ будет вызывать сложные отклонения от соотношения высоких энергий. Соотношение Койде является точным (в пределах экспериментальной ошибки) для полюсных масс , которые представляют собой низкоэнергетические величины, определенные в разных энергетических масштабах. По этой причине многие физики рассматривают это отношение как «нумерологию» .

Однако японский физик Юкинари Сумино предложил механизмы, объясняющие происхождение спектра заряженных лептонов, а также формулу Койде, например, путем построения эффективной теории поля с новой калибровочной симметрией , которая заставляет полюсные массы точно удовлетворять этому соотношению. Койде опубликовал свое мнение по поводу модели Сумино. В докторской диссертации Франсуа Гоффине обсуждаются полюсные массы и то, как можно переформулировать формулу Койде, чтобы избежать использования квадратных корней для масс.

Как решения кубического уравнения

Кубическое уравнение обычно возникает при нарушении симметрии при решении задачи вакуума Хиггса и является естественным объектом при рассмотрении трех поколений частиц. Это включает в себя поиск собственных значений матрицы масс 3 × 3.

В этом примере рассмотрим характеристический многочлен

$\ 4\ m^{3}-24\ n^{2}\ m^{2}+9\ n\ (n^{3}-4)\ m-9\$

с корнями $\ m_{j}\ :\ j=1,2,3\ ,$ это должно быть реальным и позитивным.

Чтобы получить соотношение Койде, пусть $\ m\equiv x^{2}\$ и полученный полином можно разложить на

$\ (\ 2\ x^{3}-6\ n\ x^{2}+3\ n^{2}x-3\ )(\ 2\ x^{3}+6\ n\ x^{2}+3\ n^{2}\ x+3\ )\$

или

$\ 4\ (\ x^{3}-3\ n\ x^{2}+{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ n^{2}x-{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ )(\ x^{3}+3\ n\ x^{2}+{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ n^{2}\ x+{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ )\$

Элементарные симметричные многочлены корней должны воспроизводить соответствующие коэффициенты полинома, который они решают, поэтому $~~x_{1}+x_{2}+x_{3}=\pm 3\ n~~$ и $~~x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=+{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ n^{2}~.$ Беря отношение этих симметричных полиномов, но возводя первый в квадрат, мы делим неизвестный параметр $\ n\ ,$ получаем формулу типа Койде: Независимо от значения $\ n\ ,$ решения кубического уравнения для $\ x\$ должен удовлетворить

$\ {\frac {\ 2\ (x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}={\frac {\ (3\ n^{2})\ }{~(\pm 3\ n)^{2}\ }}={\frac {\ 1\ }{3}}\$

так

$\ 1-{\frac {\ 2\ x_{1}x_{2}+2\ x_{2}x_{3}+2\ x_{3}x_{1}\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}=1-{\frac {\ 1\ }{3}}={\frac {\ 2\ }{3}}\ ~.$

и

$\ 1-{\frac {\ 2\ x_{1}x_{2}+2\ x_{2}x_{3}+2\ x_{3}x_{1}\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}={\frac {\ (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-2\ x_{1}x_{2}-2\ x_{2}x_{3}-2\ x_{3}x_{1}\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}={\frac {\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}~.$

Преобразование обратно в $\ {\sqrt {\ m\ }}=x\$

${\frac {\ m_{1}+m_{2}+m_{3}\ }{\ \left(\ {\sqrt {\ m_{1}\ }}+{\sqrt {\ m_{2}\ }}+{\sqrt {\ m_{3}\ }}\ \right)^{2}\ }}={\frac {\ 2\ }{3}}\ ~.$

Для релятивистского случая в диссертации Гоффине представлен аналогичный метод построения полинома только с четными степенями. $\ m~.$

Механизм Хиггса

Койде предположил, что объяснением формулы может быть частица Хиггса с $U(3)$ вкусовой заряд $\Phi ^{a{\overline {b}}}$ предоставлено:

$\ V(\Phi )=\left[\ 2\ \left[tr(\Phi )\right]^{2}-3\ tr(\Phi ^{2})\ \right]^{2}\$

с членами заряженной лептонной массы, определяемыми выражением $\ {\overline {\psi }}\ \Phi ^{2}\ \psi ~.$ Такой потенциал минимизируется, когда массы соответствуют формуле Койде. Минимизация не дает масштаба масс, который должен был бы быть задан дополнительными членами потенциала, поэтому формула Койде может указывать на существование дополнительных скалярных частиц помимо бозона Хиггса Стандартной модели .

Фактически, один из таких потенциалов Хиггса будет именно $V(\Phi )=\det[(\Phi -{\sqrt {m_{e}}})]^{2}+\det[(\Phi -{\sqrt {m_{\mu }}})]^{2}+\det[(\Phi -{\sqrt {m_{\tau }}})]^{2}$ который, если расширить определитель с помощью следов, упростит использование отношений Койде.

См. также

• Аномальный магнитный дипольный момент
• Матрица СКМ
• Алгебра Клиффорда
• Поколение
• Механизм Хиггса
• Альтернативы стандартной модели Хиггса
• Матрица ПМНС
• Кварк-лептонная дополнительность
• Качающийся механизм
• Техниколор

Дальнейшее чтение

• Койде, Ю. (1983). «Новый взгляд на иерархию масс кварков и лептонов». Физический обзор D . 28 (1): 252–254. Бибкод : 1983PhRvD..28..252K . дои : 10.1103/PhysRevD.28.252 .

• Койде, Ю. (1984). «Ошибка: новый взгляд на иерархию масс кварков и лептонов» . Физический обзор D . 29 (7): 1544. Бибкод : 1984PhRvD..29Q1544K . дои : 10.1103/PhysRevD.29.1544 .

• Онеда, С.; Койде, Ю. (1991). Асимптотическая симметрия и ее последствия в физике элементарных частиц . Всемирная научная . ISBN  978-981-02-0498-3 .
• Койде, Ю. (2000). «Массовые матрицы кварков и лептонов с формой, инвариантной к циклическим перестановкам» (PDF) . Физика . arXiv : hep-ph/0005137 . Бибкод : 2000hep.ph....5137K . Архивировано из оригинала (PDF) 23 октября 2022 г. Проверено 26 августа 2021 г.
• Койде, Ю. (2005). «Вызов тайне заряженной лептонной массы». arXiv : hep-ph/0506247 .
• Ли, Н.; Ма, Б.-К. (2006). «Независимость от энергетического масштаба для масс кварков и лептонов». Физический обзор D . 73 (1): 013009. arXiv : hep-ph/0601031 . Бибкод : 2006PhRvD..73a3009L . дои : 10.1103/PhysRevD.73.013009 . S2CID   2624370 .
• Браннен, К. (2010). «Интегралы и поколения спинового пути» (PDF) . Основы физики . 40 (11): 1681–1699. arXiv : 1006.3114 . Бибкод : 2010FoPh...40.1681B . CiteSeerX   10.1.1.749.3756 . дои : 10.1007/s10701-010-9465-8 . S2CID   11007648 . в статье (См . ссылки на разделы «Лептонные массы» и «Последние результаты эксперимента MINOS».)

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с формулой Койде, на Викискладе?
• Wolfram Alpha , ссылка определяет предсказанную массу тау по формуле Койде.