Jump to content

Элементарный симметричный полином

В математике , особенно в коммутативной алгебре , элементарные симметричные многочлены являются одним из типов основных строительных блоков для симметричных многочленов , в том смысле, что любой симметричный многочлен может быть выражен как многочлен из элементарных симметричных многочленов. То есть любой симметричный многочлен P задается выражением, включающим только сложение и умножение констант и элементарных симметричных многочленов. существует один элементарный симметричный полином степени d от n Для каждого натурального числа d n переменных , который образуется путем сложения всех различных произведений d различных переменных.

Определение

[ редактировать ]

Элементарные симметричные многочлены от n переменных X 1 , ..., X n , записанные e k ( X 1 , ..., X n ) для k = 1, ..., n , определяются формулой

и так далее, заканчивая

В общем случае для k ≥ 0 мы определяем

так что e k ( X 1 , ..., X n ) = 0, если k > n .(Иногда 1 = e 0 ( X 1 , ..., X n ) включается в число элементарных симметричных многочленов, но исключение его позволяет, как правило, упростить формулировку результатов и свойств.)

Таким образом, для каждого натурального числа k, меньшего или равного n, существует ровно один элементарный симметричный многочлен степени k от n переменных. Чтобы сформировать тот, который имеет степень k , мы берем сумму всех произведений k -подмножеств n переменных. (Напротив, если выполнить ту же операцию с мультимножествами переменных, то есть взять переменные с повторением, можно получить полные однородные симметричные полиномы .)

Учитывая целочисленное разбиение (то есть конечную невозрастающую последовательность положительных целых чисел) λ = ( λ 1 , ..., λ m ) , определяется симметричный многочлен e λ ( X 1 , ..., X n ) , также называемый элементарным симметричным полиномом, по

.

обозначение σk ek вместо . Иногда используется

Ниже перечислены n элементарных симметричных полиномов для первых четырех положительных значений n .

Для n = 1 :

Для n = 2 :

Для n = 3 :

Для n = 4 :

Характеристики

[ редактировать ]

Элементарные симметричные многочлены появляются, когда мы расширяем линейную факторизацию монического многочлена : мы имеем тождество

То есть, когда мы заменяем числовыми значениями переменные X 1 , X 2 , ..., X n , мы получаем унитарный одномерный полином (с переменной λ которого ), корнями являются значения, замененные вместо X 1 , X 2 , .. ., X n которых , коэффициенты знака являются с точностью до элементарными симметричными многочленами. Эти соотношения между корнями и коэффициентами многочлена называются формулами Виета .

Характеристический многочлен является квадратной матрицы примером применения формул Виета. Корни этого многочлена являются значениями матрицы . собственными Подставляя эти собственные значения в элементарные симметричные многочлены, мы получаем – с точностью до их знака – коэффициенты характеристического многочлена, которые являются инвариантами матрицы. В частности, след (сумма элементов диагонали) представляет собой значение e 1 и, следовательно, сумму собственных значений. Аналогично, определителем значение en является – с точностью до знака – постоянный член характеристического многочлена, т.е. . Таким образом, определитель квадратной матрицы является произведением собственных значений.

Множество элементарных симметричных многочленов от переменных порождает кольцо симметричных n многочленов от n переменных . Точнее, кольцо симметричных многочленов с целыми коэффициентами равно кольцу целых многочленов. [ е 1 ( Икс 1 , ..., Икс п ), ..., е п ( Икс 1 , ..., Икс п )] . (Более общее утверждение и доказательство см. ниже .) Этот факт является одной из основ теории инвариантов . О другой системе симметричных полиномов с тем же свойством см. Полные однородные симметричные полиномы , а о системе с аналогичным, но немного более слабым свойством см. Степневую сумму симметричного полинома .

Основная теорема о симметричных полиномах

[ редактировать ]

Для любого коммутативного кольца A обозначим кольцо симметричных многочленов от переменных X 1 , ..., X n с коэффициентами из A через A [ X 1 , ..., X n ] С н . Это кольцо многочленов от n элементарных симметричных многочленов e k ( X 1 , ..., X n ) для k = 1, ..., n .

Это означает, что каждый симметричный многочлен P ( X 1 , ..., X n ) ∈ A [ X 1 , ..., X n ] С н имеет уникальное представление

для некоторого многочлена Q A [ Y 1 , ..., Y n ] . Другой способ сказать то же самое состоит в том, что кольцевой гомоморфизм , который переводит Y k в e k ( X 1 , ..., X n ) для k = 1, ..., n, определяет изоморфизм между A [ Y 1 , . .., Y n ] и A [ X 1 , ..., X n ] С н .

Эскиз доказательства

[ редактировать ]

Теорему можно доказать для симметричных однородных многочленов двойной индукцией по числу переменных n и, при фиксированном n , по степени однородного многочлена. Тогда общий случай следует путем разбиения произвольного симметричного многочлена на его однородные компоненты (которые снова симметричны).

В случае n = 1 результат тривиален, поскольку каждый многочлен от одной переменной автоматически симметричен.

Предположим теперь, что теорема доказана для всех полиномов от m < n переменных и всех симметричных многочленов от n переменных степени < d . Каждый однородный симметричный полином P в A [ X 1 , ..., X n ] С н можно разложить в сумму однородных симметричных многочленов

Здесь «лакунарная часть» P лакунарная определяется как сумма всех мономов из P , которые содержат только собственное подмножество n переменных X 1 , ..., X n хотя бы одна переменная X j , т. е. где отсутствует .

Поскольку P симметричен, лакунарная часть определяется его членами, содержащими только переменные X 1 , ..., X n − 1 , т. е. не содержащие X n . Точнее: если A и B — два однородных симметричных многочлена от X 1 , ..., X n одинаковой степени и если коэффициент при A перед каждым мономом, содержащим только переменные X 1 , ..., X n − 1 равно соответствующему коэффициенту B , тогда A и B имеют равные лакунарные части. (Это связано с тем, что в каждом мономе, который может появиться в лакунарной части, должна отсутствовать хотя бы одна переменная, и, таким образом, его можно преобразовать перестановкой переменных в моном, который содержит только переменные X 1 , ..., X n − 1 .)

Но члены P , которые содержат только переменные X 1 , ..., X n − 1, являются в точности теми членами, которые выдерживают операцию приведения X n в 0, поэтому их сумма равна P ( X 1 , ..., X n − 1 , 0) , который представляет собой симметричный многочлен от переменных X 1 , ..., X n − 1 , который мы будем обозначать ( X 1 , ..., X n − 1 ) . По индуктивному предположению этот полином можно записать как

для некоторого . Здесь двузначные индексы σ j , n − 1 обозначают элементарные симметрические многочлены от n − 1 переменных.

Рассмотрим теперь полином

Тогда R ( X1 P ..., Xn ) Xn — симметричный полином от , X1 ..., той , же степени, что и лакунарный , который удовлетворяет условию

(первое равенство имеет место, поскольку установка X n на 0 в σ j , n дает σ j , n − 1 , для всех j < n ). Другими словами, коэффициент R перед каждым мономом, который содержит только переменные X 1 , ..., X n − 1, равен соответствующему коэффициенту P . Как мы знаем, это показывает, что лакунарная часть R совпадает с лакунарной частью исходного многочлена P . Следовательно, разность P R не имеет лакунной части и, следовательно, делится на произведение X 1 ··· X n всех переменных, которое равно элементарному симметричному многочлену σ n , n . Тогда, записывая P R = σ n , n Q , фактор Q представляет собой однородный симметричный многочлен степени меньше d (фактически степени не выше d n ), который по индуктивному предположению может быть выражен как многочлен от элементарного симметричного многочлена. функции. Комбинируя представления для P R и R, можно найти полиномиальное представление для P .

Единственность представления можно доказать индуктивно аналогично. (Это эквивалентно тому, что n многочленов e 1 , ..., алгебраически en над независимы кольцом A .) Из единственности полиномиального представления следует, что A [ X 1 , ..., X n ] С н изоморфен A [ Y 1 , ..., Y n ] .

Альтернативное доказательство

[ редактировать ]

Следующее доказательство также является индуктивным, но не включает в себя другие многочлены, кроме симметричных относительно X 1 , ..., X n , а также приводит к довольно прямой процедуре эффективного записи симметричного многочлена как многочлена от элементарных симметричных. Предположим, что симметричный полином однороден степени d ; различные однородные компоненты могут быть разложены по отдельности. Упорядочите мономы в переменных X i лексикографически , где отдельные переменные упорядочены X 1 > ... > X n , другими словами, доминирующим членом многочлена является член с наибольшей встречающейся степенью X 1 , и среди них один с наивысшей степенью X 2 и т. д. Кроме того, параметризуйте все произведения элементарных симметричных многочленов, имеющих степень d (они на самом деле однородны), следующим образом, разбиения d путем . Упорядочите отдельные элементарные симметричные полиномы e i ( X 1 , ..., X n ) в произведении так, чтобы первыми стояли те, у которых индексы i больше , затем постройте для каждого такого множителя столбец из i ячеек и расположите эти столбцы слева право образовать Диаграмма Янга, содержащая d всего блоков. Форма этой диаграммы представляет собой разбиение возникает ровно для одного d , и каждое разбиение λ d произведения элементарных симметричных полиномов, которое мы будем обозначать e λ т ( X 1 , ..., X n ) ( t присутствует только потому, что традиционно это произведение связано с транспонированным разбиением λ ). Существенным элементом доказательства является следующее простое свойство, в котором используется многоиндексная запись мономов от переменных X i .

Лемма . Главный член e λ т ( X 1 , ..., X n ) - это X л .

Доказательство . Главный член произведения является произведением главных членов каждого фактора (это верно всякий раз, когда используется мономиальный порядок , такой как использованный здесь лексикографический порядок) и главный член фактора e i ( X 1 , .. ., X n ) , очевидно, X 1 X 2 ··· X i . Чтобы подсчитать вхождения отдельных переменных в полученный моном, заполните столбец диаграммы Юнга, соответствующий соответствующему множителю, числами 1, ..., i переменных, тогда все ячейки в первой строке содержат 1, т.е. во второй строке 2 и т. д., что означает, что ведущим термином является X л .

Теперь индукцией по старшему моному в лексикографическом порядке доказывается, что любой ненулевой однородный симметричный многочлен P степени d можно записать как многочлен от элементарных симметричных многочленов. Поскольку P симметричен, его старший моном имеет слабо убывающие показатели, поэтому это некоторый X л где λ — разбиение d . Пусть коэффициент при этом члене равен c , тогда P ce λ т ( X 1 , ..., X n ) является либо нулем, либо симметричным многочленом со строго меньшим старшим мономом. Записав эту разность индуктивно в виде многочлена от элементарных симметричных многочленов и добавив обратно ce λ т ( X 1 , ..., X n ) получаем искомое полиномиальное выражение для P .

Тот факт, что это выражение уникально, или, что то же самое, что все произведения (мономы) e λ т ( X 1 , ..., X n ) элементарных симметричных многочленов линейно независимы, что также легко доказывается. Лемма показывает, что все эти произведения имеют разные старшие мономы, и этого достаточно: если нетривиальная линейная комбинация e λ т ( X 1 , ..., X n ) были равны нулю, основное внимание уделяется вкладу в линейной комбинации с ненулевым коэффициентом и с (как полиномом от переменных X i ) наибольшим старшим мономом; главный член этого вклада не может быть сокращен ни одним другим вкладом линейной комбинации, что дает противоречие.

См. также

[ редактировать ]
  • Макдональд, И.Г. (1995). Симметричные функции и полиномы Холла (2-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN  0-19-850450-0 .
  • Стэнли, Ричард П. (1999). Перечислительная комбинаторика, Vol. 2 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-56069-1 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: c918fce6c0384259fa66c57e4c9e4c6c__1715756820
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/c9/6c/c918fce6c0384259fa66c57e4c9e4c6c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Elementary symmetric polynomial - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)