Полный однородный симметричный полином

В математике , особенно в алгебраической комбинаторике и коммутативной алгебре , полные однородные симметричные многочлены представляют собой особый вид симметричных многочленов . Каждый симметричный многочлен можно выразить как полиномиальное выражение в полных однородных симметричных многочленах.

Определение

Полный однородный симметричный полином степени $k$ от $n$ переменных $X 1, ..., X n$ , записываемый $h k$ для $k = 0, 1, 2, ...$ , представляет собой сумму всех мономов полной степени $k$ от переменных . Формально,

h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum _{1\leq i_{1}\leq i_{2}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}}.

Формулу также можно записать как:

h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum _{l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}=k \atop l_{i}\geq 0}X_{1}^{l_{1}}X_{2}^{l_{2}}\cdots X_{n}^{l_{n}}.

Действительно, $lp —$ это просто кратность $p$ в последовательности $i k$ .

Первые несколько из этих многочленов

{\begin{aligned}h_{0}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=1,\\[10px]h_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\h_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq k\leq n}X_{j}X_{k},\\h_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq k\leq l\leq n}X_{j}X_{k}X_{l}.\end{aligned}}

Таким образом, для каждого неотрицательного целого числа $k$ существует ровно один полный однородный симметричный многочлен степени $k$ от $n$ переменных.

Другой способ переписать определение — суммировать все последовательности $i k$ без условия упорядочивания $i p \leq i p + 1$ :

h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum _{1\leq i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\leq n}{\frac {m_{1}!m_{2}!\cdots m_{n}!}{k!}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},

здесь $m p$ — кратность числа $p$ в последовательности $i k$ .

Например

h_{2}(X_{1},X_{2})={\frac {2!0!}{2!}}X_{1}^{2}+{\frac {1!1!}{2!}}X_{1}X_{2}+{\frac {1!1!}{2!}}X_{2}X_{1}+{\frac {0!2!}{2!}}X_{2}^{2}=X_{1}^{2}+X_{1}X_{2}+X_{2}^{2}.

Кольцо многочленов , образованное взятием всех целых линейных комбинаций произведений полных однородных симметричных многочленов, является коммутативным кольцом .

Примеры

Ниже перечислены $n$ основных (как объяснено ниже) полных однородных симметричных полиномов для первых трех положительных значений $n$ .

Для $n = 1$ :

h_{1}(X_{1})=X_{1}\,.

Для $n = 2$ :

{\begin{aligned}h_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2}\\h_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}^{2}+X_{1}X_{2}+X_{2}^{2}.\end{aligned}}

Для $n = 3$ :

{\begin{aligned}h_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}\\h_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3}\\h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3}+X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{2}^{2}X_{1}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{3}^{2}X_{1}+X_{3}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}X_{3}.\end{aligned}}

Характеристики

Генерирующая функция

Полные однородные симметричные многочлены характеризуются следующим тождеством формальных степенных рядов по $t$ :

\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}\sum _{j=0}^{\infty }(X_{i}t)^{j}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-X_{i}t}}

(это называется производящей функцией или производящим рядом для полных однородных симметричных полиномов). Здесь каждая дробь в конечном выражении представляет собой обычный способ представления формальной геометрической прогрессии , которая является множителем в среднем выражении. Тождество можно обосновать, рассмотрев, как формируется произведение этих геометрических рядов: каждый множитель в произведении получается путем умножения одного члена, выбранного из каждой геометрической прогрессии, и каждый моном в переменных $X i$ получается ровно для одного такого выбора. слагаемых и умножается на степень $t,$ равную степени монома.

Приведенную выше формулу можно рассматривать как частный случай основной теоремы Мак-Магона . Правую часть можно интерпретировать как $1/\!\det(1-tM)$ где $t\in \mathbb {R}$ и $M={\text{diag}}(X_{1},\ldots ,X_{N})$ . С левой стороны можно идентифицировать полные однородные симметричные полиномы как частные случаи полиномиального коэффициента, который появляется в выражении Мак-Магона.

Выполнив некоторые стандартные вычисления, мы также можем записать производящую функцию в виде $\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})\,t^{k}=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }(X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}){\frac {t^{j}}{j}}\right)$ что представляет собой степенной ряд разложение в плетистической экспоненты $(X_{1}+\cdots +X_{n})t$ (и обратите внимание, что $p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}$ это в точности j-й степени симметричный полином суммы ).

Связь с элементарными симметричными полиномами

существует фундаментальная связь Между элементарными симметричными полиномами и полными однородными :

\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{m-i}(X_{1},\ldots ,X_{n})=0,

что справедливо для всех $m > 0$ и любого количества переменных $n$ . Самый простой способ убедиться в том, что это справедливо, - это тождество формальных степенных рядов по $t$ для элементарных симметричных многочленов, аналогичное приведенному выше для полных однородных многочленов, которое также можно записать в терминах плетистических экспонент как:

\sum _{k=0}^{\infty }e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})(-t)^{k}=\prod _{i=1}^{n}(1-X_{i}t)=PE[-(X_{1}+\cdots +X_{n})t]

(это на самом деле тождество многочленов от $t$ , поскольку после $en) (X1 нуль,..., Xn) .$ элементарные симметричные многочлены обращаются в Умножая это на производящую функцию для полных однородных симметричных многочленов, получаем постоянный ряд 1 (эквивалентно, плетистические экспоненты удовлетворяют обычным свойствам экспоненты), а связь между элементарными и полными однородными многочленами следует из сравнения коэффициентов при $t м$ . Несколько более прямой способ понять это соотношение — рассмотреть вклады в суммирование, включающее фиксированный моном $X а$ степени $м$ . Для любого подмножества $S$ переменных, появляющихся с ненулевым показателем в мономе, существует вклад, включающий произведение $X S$ этих переменных как член из $(es X 1, ..., X n)$ , где $s = # S$ , и моном $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ X а / Икс S ⁠$ от $час м - s (Икс 1, ..., Икс п)$ ; этот вклад имеет коэффициент $(-1) с$ . Тогда соотношение следует из того, что

\sum _{s=0}^{l}{\binom {l}{s}}(-1)^{s}=(1-1)^{l}=0\quad {\mbox{for }}l>0,

по биномиальной формуле , где $l < m$ обозначает количество различных переменных, входящих (с ненулевым показателем) в $X а$ . Поскольку $e 0 (X 1, ..., X n)$ и $h 0 (X 1, ..., X n)$ равны 1, из соотношения можно выделить либо первый, либо последний член суммирования . Первый дает последовательность уравнений:

{\begin{aligned}h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\h_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})+e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}

и т. д., что позволяет рекурсивно выражать последовательные полные однородные симметричные многочлены через элементарные симметричные многочлены; последний дает систему уравнений

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+h_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}

и так далее, что позволяет сделать обратное. Совершенно аналогичную роль в этих отношениях играют первые $n$ элементарных и полных однородных симметричных многочленов, хотя первые при этом обращаются в нуль, а вторые — нет. Это явление можно понять на примере кольца симметричных функций . Он обладает кольцевым автоморфизмом , меняющим местами последовательности $n$ элементарных и первых $n$ полных однородных симметрических функций .

Множество полных однородных симметричных многочленов степени от 1 до $от$ n $переменных$ порождает кольцо симметричных n многочленов от n $переменных$ . Более конкретно, кольцо симметричных многочленов с целыми коэффициентами равно кольцу целых многочленов.

\mathbb {Z} {\big [}h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,h_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big ]}.

Это можно сформулировать, сказав, что

h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,h_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n})

образуют базис трансцендентности кольца симметричных многочленов от $X 1, ..., X n$ с целыми коэффициентами (как это справедливо и для элементарных симметричных многочленов). То же самое и с кольцом $\mathbb {Z}$ целых чисел, замененных любым другим коммутативным кольцом . Эти утверждения следуют из аналогичных утверждений для элементарных симметричных многочленов ввиду указанной возможности выражения одного вида симметричных многочленов через другой вид.

Связь с числами Стирлинга

Оценка в целых числах полных однородных многочленов и элементарных симметричных многочленов связана с числами Стирлинга :

{\begin{aligned}h_{n}(1,2,\ldots ,k)&=\left\{{\begin{matrix}n+k\\k\end{matrix}}\right\}\\e_{n}(1,2,\ldots ,k)&=\left[{k+1 \atop k+1-n}\right]\\\end{aligned}}

Связь с мономиальными симметричными полиномами

Полином $h k (X 1, ..., X n)$ также является суммой всех различных мономиальных симметричных многочленов степени $k$ в $X 1, ..., X n$ , например

{\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})\\&=\left(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3}\right)+\left(X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\right)+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\\end{aligned}}

Связь с суммами степеней

Тождества Ньютона для однородных симметричных многочленов дают простую рекурсивную формулу

kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}h_{k-i}p_{i},

где $h_{k}=h_{k}(X_{1},\dots ,X_{n})$ и p _k — k-й степени симметричный полином суммы : $p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=X_{1}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}$ , как указано выше.

Для маленьких $k$ у нас есть

{\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\2h_{2}&=h_{1}p_{1}+p_{2},\\3h_{3}&=h_{2}p_{1}+h_{1}p_{2}+p_{3}.\\\end{aligned}}

Связь с симметричными тензорами

Рассмотрим $n$ - мерное векторное пространство $V$ и линейный оператор $M : V \to V$ с собственными значениями $X 1, X 2, ..., X n$ . Обозначим через $Sym к (V)$ его $k-$ я симметричная тензорная степень и $M Сим(к)$ индуцированный оператор $Sym к (В) \to Сим к (V)$ .

Предложение:

\operatorname {Trace} _{\operatorname {Sym} ^{k}(V)}\left(M^{\operatorname {Sym} (k)}\right)=h_{k}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}).

Доказательство M простое: рассмотрим $ei базис$ для $собственный$ . Основа в $Sym к (V)$ может быть проиндексирован последовательностями $i 1 \leq i 2 \leq ... \leq i k$ , действительно, рассмотрим симметризацию

e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}

.

Все такие векторы являются собственными для $M Сим(к)$ с собственными значениями

X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},

следовательно, это предложение верно.

Аналогичным образом можно выразить элементарные симметричные многочлены через следы по антисимметричным тензорным степеням. Оба выражения включены в выражения полиномов Шура как следы над функторами Шура , которые можно рассматривать как формулу характера Вейля для $GL(V)$ .

Полный однородный симметричный многочлен со смещенными на 1 переменными

Если мы заменим переменные $X_{i}$ для $1+X_{i}$ , симметричный полином $h_{k}(1+X_{1},\ldots ,1+X_{n})$ можно записать как линейную комбинациютот $h_{j}(X_{1},\ldots ,X_{n})$ , для $0\leq j\leq k$ ,

h_{k}(1+X_{1},\ldots ,1+X_{n})=\sum _{j=0}^{k}{\binom {n+k-1}{k-j}}h_{j}(X_{1},\ldots ,X_{n}).

Доказательство , найденное в лемме 3.5, ^[1] опирается на комбинаторные свойства возрастания $k$ - кортежи $(i_{1},\ldots ,i_{k})$ где $1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n$ .

См. также

Ссылки

^ Гомеслата Мармолехо, Эстебан (2022). Норма канонического изоморфизма детерминантных линейных расслоений (Диссертация). Оксфордский университет.

Корнелиус, Э.Ф., младший (2011), Тождества для полных однородных симметричных многочленов , JP J. Algebra, Теория чисел и приложения, Vol. 21, № 1, 109-116.
Макдональд, И.Г. (1979), Симметричные функции и полиномы Холла . Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Кларендон Пресс.
Макдональд, И.Г. (1995), Симметричные функции и полиномы Холла , второе изд. Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-850450-0 (мягкая обложка, 1998 г.).
Ричард П. Стэнли (1999), Перечислительная комбинаторика , Vol. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-56069-1

[1] Гомеслата Мармолехо, Эстебан (2022). Норма канонического изоморфизма детерминантных линейных расслоений (Диссертация). Оксфордский университет.

[1]