Кольцевой гомоморфизм

В математике гомоморфизм колец , сохраняющая структуру — это функция между двумя кольцами . Более явно, если R и S — кольца, то гомоморфизм колец — это функция $f:R\to S$ который сохраняет сложение, умножение и мультипликативную идентичность ; то есть, ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]

{\begin{aligned}f(a+b)&=f(a)+f(b),\\f(ab)&=f(a)f(b),\\f(1_{R})&=1_{S},\end{aligned}}

для всех $a,b$ в $R.$

Эти условия означают, что аддитивные обратные и аддитивная идентичность также сохраняются.

Если, кроме того, f является биекцией , то ее обратная f ⁻¹ также является кольцевым гомоморфизмом. В этом случае f называется кольцевым изоморфизмом , а кольца R и S называются изоморфными . С точки зрения теории колец, изоморфные кольца обладают точно такими же свойствами.

Если R и S — г.с.г. , то соответствующее понятие — это понятие гомоморфизма г.с.г. ^[а] за исключением третьего условия f (1 _R ) = 1 _S.определяется так же, как указано выше , Гомоморфизм rng между (единичными) кольцами не обязательно должен быть гомоморфизмом колец.

Композиция двух кольцевых гомоморфизмов является кольцевым гомоморфизмом. Отсюда следует, что кольца образуют категорию с кольцевыми гомоморфизмами в качестве морфизмов (см. Категория колец ).В частности, получены понятия эндоморфизма колец, изоморфизма колец и автоморфизма колец.

Характеристики

Пусть f : R → S — кольцевой гомоморфизм. Тогда непосредственно из этих определений можно вывести:

ж (0 _р ) знак равно 0 _S .
ж (- а ) знак равно - ж ( а ) для всех а в R .
Для любой единицы a в R что f ( a ) является единичным элементом таким, $f (a) -1 = f (а -1)$ . В частности, f индуцирует групповой гомоморфизм из (мультипликативной) группы единиц R в (мультипликативную) группу единиц S (или im( f )).
Образ f , f im( обозначенный является подкольцом S. ) ,
Ядро , f f определенное как ( in ) = { a ker R | f ( a ) знак равно 0 _S } — двусторонний идеал в R . Любой двусторонний идеал в кольце R является ядром некоторого гомоморфизма колец.
Гомоморфизм инъективен тогда и только тогда, когда ядро является нулевым идеалом .
Характеристика S делит характеристику R. Иногда это можно использовать, чтобы показать, что между некоторыми кольцами R и S гомоморфизма колец R → S. не существует
Если Rp _{содержащееся} — наименьшее подкольцо, в R , а Sp _— наименьшее подкольцо, содержащееся в каждый гомоморфизм колец f : R → S индуцирует гомоморфизм колец fp _, : Rp _то → Sp _S .
Если R — поле (или, в более общем случае , тело ), а S не является нулевым кольцом , то f инъективно.
Если и R, S являются полями , то im( ) является подполем S , поэтому S можно рассматривать как расширение поля R. f и
Если I — идеал S , то f ⁻¹( I является идеалом R. )
Если R и S коммутативны и P — простой идеал в S , то f ⁻¹( P ) является простым идеалом R .
Если R и S коммутативны, M — идеал S f и f сюръективен, то максимальный ⁻¹( M ) — максимальный идеал R .
Если R и S коммутативны и — область целостности , то ker( f ) — простой идеал R. S
Если R и S коммутативны, S поле и f сюръективен, то ker( f ) — максимальный идеал R — .
Если f сюръективен, P — простой (максимальный) идеал в R и ker( f ) ⊆ P , то f ( P (максимальный) идеал в S. ) — простой

Более того,

Композиция гомоморфизмов колец S → T и R → S является гомоморфизмом колец R → T .
Для каждого кольца R тождественное отображение R → R является гомоморфизмом колец.
Поэтому класс всех колец вместе с кольцевыми гомоморфизмами образует категорию — категорию колец .
Нулевое отображение R → S , которое переводит каждый элемент R в 0, является гомоморфизмом колец, только если S — нулевое кольцо (кольцо, единственный элемент которого равен нулю).
Для каждого кольца существует единственный гомоморфизм колец Z → R. R Это говорит о том, что кольцо целых чисел является исходным объектом в категории колец.
Для каждого кольца R существует единственный гомоморфизм колец из R в нулевое кольцо. Это говорит о том, что нулевое кольцо является терминальным объектом в категории колец.
нет нулевого объекта Поскольку исходный объект не изоморфен терминальному объекту, в категории колец ; в частности, нулевое кольцо не является нулевым объектом в категории колец.

Примеры

Функция f : Z → Z / n Z , определенная формулой f ( a ) = [ a ] _n = a mod n, является сюръективным кольцевым гомоморфизмом с ядром n Z (см. модульную арифметику ).
Комплексное сопряжение C → C является кольцевым гомоморфизмом (это пример кольцевого автоморфизма).
кольца R простой характеристики p R → → R , x Для x ^п является кольцевым эндоморфизмом, называемым эндоморфизмом Фробениуса .
Если R и S — кольца, нулевая функция из R в S является кольцевым гомоморфизмом тогда и только тогда, когда S — нулевое кольцо (в противном случае невозможно отобразить 1 _R в 1 _S ). С другой стороны, нулевая функция всегда является гомоморфизмом rng.
Если R [ X ] обозначает кольцо всех многочленов от переменной X с коэффициентами в действительных числах R , а C обозначает комплексные числа , то функция f : R [ X ] → C определяется формулой f ( p ) = p ( i ) (замените мнимую единицу i на переменную X в многочлене p ) является сюръективным гомоморфизмом колец. Ядро f состоит из всех многочленов из R [ X ], которые делятся на X ² + 1 .
Если f : R → S кольцами R и S , то f индуцирует кольцевой гомоморфизм между матричными кольцами Mn _{— кольцевой гомоморфизм между} ( R ) → _Mn ( S ) .
Пусть V — векторное пространство над полем k . Тогда отображение ρ : k → End( V ), заданное формулой ρ ( a ) v = av, является кольцевым гомоморфизмом. В более общем смысле, для абелевой группы M модульная структура на M над кольцом R эквивалентна заданию гомоморфизма колец R → End( M ) .
с единицей Гомоморфизм алгебры между ассоциативными алгебрами с единицей над коммутативным кольцом R — это гомоморфизм колец, который также является R -линейным .

Непримеры

Функция f : Z /6 Z → Z /6 Z , определенная формулой f ([ a ] ₆ ) = [4 a ] _6, является гомоморфизмом rng (и эндоморфизмом rng) с ядром 3 Z /6 Z и образом 2 Z / 6 Z (изоморфен Z /3 Z ).
Не существует гомоморфизма колец Z / n Z → Z для любого n ≥ 1 .
Если R и S — кольца, включение R → R × S , которое переводит каждое r в ( r ,0), является гомоморфизмом rng, но не гомоморфизмом колец (если S не является нулевым кольцом), поскольку оно не отображает мультипликативное тождество 1 R к мультипликативному тождеству (1,1) R × S .

Категория колец

Эндоморфизмы, изоморфизмы и автоморфизмы

Кольцевой эндоморфизм — это кольцевой гомоморфизм кольца в себя.
Кольцевой изоморфизм — это кольцевой гомоморфизм, имеющий двусторонний обратный, который также является кольцевым гомоморфизмом. Можно доказать, что гомоморфизм колец является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен как функция на основных множествах. существует кольцевой изоморфизм Если между двумя кольцами R и S , то R и S называются изоморфными . Изоморфные кольца отличаются только перемаркировкой элементов. Пример: с точностью до изоморфизма существуют четыре кольца порядка 4. (Это означает, что существуют четыре попарно неизоморфных кольца порядка 4 такие, что каждое другое кольцо порядка 4 изоморфно одному из них.) С другой стороны, с точностью до изоморфизма имеется одиннадцать цепочек четвертого порядка.
Кольцевой автоморфизм — это кольцевой изоморфизм кольца в себя.

Мономорфизмы и эпиморфизмы

Инъективные гомоморфизмы колец идентичны мономорфизмам в категории колец: Если f : R → S — мономорфизм, который не является инъективным, то он переводит некоторые r ₁ и r ₂ в один и тот же элемент из S . два отображения и _g1 g2 из _{которые} Z [ x ] в R, x в r1 и _r2 Рассмотрим соответственно _{отображают} ; f ∘ g ₁ и f ∘ g ₂ идентичны, но поскольку f — мономорфизм, это невозможно.

Однако сюръективные гомоморфизмы колец сильно отличаются от эпиморфизмов в категории колец. Например, включение Z ⊆ Q является кольцевым эпиморфизмом, но не сюръекцией. Однако они точно такие же, как и сильные эпиморфизмы .

См. также

Смена колец

Примечания

^ Некоторые авторы используют термин «кольцо» для обозначения структур, которые не требуют мультипликативной идентичности; вместо «rng», «кольцо» и «гомоморфизм rng» они используют термины «кольцо», «кольцо с единицей» и «кольцевой гомоморфизм» соответственно. По этой причине некоторые другие авторы, чтобы избежать двусмысленности, явно указывают, что кольца унитальны и что гомоморфизмы сохраняют тождество.

Цитаты

Ссылки

Артин, Майкл (1991). Алгебра . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл.
Атья, Майкл Ф .; Макдональд, Ян Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co., Ридинг, Массачусетс-Лондон-Дон Миллс, Онтарио, MR 0242802
Бурбаки, Н. (1998). Алгебра I, главы 1–3 . Спрингер.
Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с прицелом на алгебраическую геометрию . Тексты для аспирантов по математике . Том. 150. Нью-Йорк: Springer-Verlag . xvi+785. ISBN 0-387-94268-8 . МР 1322960 .
Хазевинкель, Мишель (2004). Алгебры, кольца и модули . Спрингер Верлаг . ISBN 1-4020-2690-0 .
Джейкобсон, Натан (1985). Основная алгебра I (2-е изд.). ISBN 9780486471891 .
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556

[6] Некоторые авторы используют термин «кольцо» для обозначения структур, которые не требуют мультипликативной идентичности; вместо «rng», «кольцо» и «гомоморфизм rng» они используют термины «кольцо», «кольцо с единицей» и «кольцевой гомоморфизм» соответственно. По этой причине некоторые другие авторы, чтобы избежать двусмысленности, явно указывают, что кольца унитальны и что гомоморфизмы сохраняют тождество.

[FOOTNOTEArtin1991353-1] Артин 1991 , с. 353

[FOOTNOTEEisenbud199512-2] Эйзенбуд 1995 , с. 12

[FOOTNOTEJacobson1985103-3] Джейкобсон 1985 , с. 103

[FOOTNOTELang200288-4] Ланг 2002 , с. 88

[FOOTNOTEHazewinkel20043-5] Хазевинкель 2004 , с. 3

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[а]