Алгебраическая независимость

В абстрактной подмножество алгебре $S$ поля ​ $L$ независима алгебраически над подполем $K$ если элементы $S$ не удовлетворяют никакому нетривиальному полиномиальному уравнению с коэффициентами из $K$.

В частности, одноэлементное множество $\{\alpha \}$ алгебраически независима над $K$ если и только если $\alpha$ является трансцендентным по отношению к $K$. Вообще говоря, все элементы алгебраически независимого множества $S$ над $K$ по необходимости трансцендентны над $K$ всем расширениям полей , и по $K$ созданный остальными элементами $S$.

Пример

Два действительных числа ${\sqrt {\pi }}$ и $2\pi +1$каждое из них является трансцендентным числом : они не являются корнями какого-либо нетривиального многочлена, коэффициенты которого являются рациональными числами . Таким образом, каждое из двух одноэлементных множеств $\{{\sqrt {\pi }}\}$ и $\{2\pi +1\}$ алгебраически независима над полем $\mathbb {Q}$ рациональных чисел.

Однако набор $\{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}$ является не алгебраически независимым над рациональными числами, поскольку нетривиальный многочлен

$P(x,y)=2x^{2}-y+1$

равен нулю, когда $x={\sqrt {\pi }}$ и $y=2\pi +1$.

известных

Хотя оба $\pi$и е, как известно, трансцендентны, неизвестно, является ли множество их обоих алгебраически независимым над $\mathbb {Q}$. На самом деле, даже неизвестно, $\pi +e$ иррационально. Нестеренко доказал в 1996 году, что:

• цифры $\pi$, $e^{\pi }$, и $\Gamma (1/4)$, где $\Gamma$ – гамма-функция , алгебраически независимы над $\mathbb {Q}$.
• цифры $e^{\pi {\sqrt {3}}}$ и $\Gamma (1/3)$ алгебраически независимы над $\mathbb {Q}$.
• для всех положительных целых чисел $n$, номер $e^{\pi {\sqrt {n}}}$ алгебраически независима над $\mathbb {Q}$.

Теорема Линдеманна–Вейерштрасса

Теорему Линдеманна – Вейерштрасса часто можно использовать для доказательства того, что некоторые множества алгебраически независимы над $\mathbb {Q}$. В нем говорится, что всякий раз, когда $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ — алгебраические числа , линейно независимые над $\mathbb {Q}$, затем $e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ также алгебраически независимы над $\mathbb {Q}$.

Алгебраические матроиды

Основная статья: Алгебраический матроид

Учитывая расширение поля $L/K$ которое не является алгебраическим, лемму Цорна можно использовать, чтобы показать, что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество $L$ над $K$. Далее, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковую мощность , известную как степень трансцендентности расширения.

Для каждого набора $S$ элементов $L$, алгебраически независимые подмножества $S$удовлетворяют аксиомам, определяющим независимые множества матроида . В этом матроиде ранг множества элементов — это степень его трансцендентности, а плоскость, порождённая множеством $T$ элементов является пересечением $L$ с полем $K[T]$. Матроид, который можно сгенерировать таким способом, называется алгебраическим матроидом . Никакой хорошей характеристики алгебраических матроидов не известно, но известно, что некоторые матроиды неалгебраичны; самый маленький — матроид Вамоса .

Многие конечные матроиды могут быть представлены матрицей . над полем $K$, в котором элементы матроида соответствуют столбцам матрицы, а набор элементов является независимым, если соответствующий набор столбцов линейно независим . Каждый матроид с линейным представлением этого типа также может быть представлен как алгебраический матроид, выбирая неопределенное число для каждой строки матрицы и используя матричные коэффициенты в каждом столбце, чтобы назначить каждому элементу матроида линейную комбинацию этих трансцендентных чисел. Обратное неверно: не каждый алгебраический матроид имеет линейное представление.

Внешние ссылки

• Чен, Джонни. «Алгебраически независимый» . Математический мир .