Алгебраический матроид
В математике алгебраический матроид — это матроид , комбинаторная структура, выражающая абстракцию отношения алгебраической независимости .
Определение
[ редактировать ]Учитывая расширение поля L / K , лемму Цорна что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество L над K. можно использовать, чтобы показать , Далее, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковую мощность , известную как степень трансцендентности расширения.
Для каждого конечного множества S элементов L алгебраически независимые подмножества S удовлетворяют аксиомам, которые определяют независимые множества матроида . В этом матроиде ранг множества элементов — это его степень трансцендентности, а плоскость, порожденная множеством T элементов, — это пересечение L с полем K [ T ]. [1] Матроид, который можно сгенерировать таким способом, называется алгебраическим или алгебраически представимым . [2] Хорошая характеристика алгебраических матроидов неизвестна. [3] но известно, что некоторые матроиды неалгебраичны; самый маленький — матроид Вамоса . [4] [5]
Связь с линейными матроидами
[ редактировать ]Многие конечные матроиды могут быть представлены матрицей , в которой элементы матроида соответствуют столбцам матрицы, а над полем K набор элементов является независимым, если соответствующий набор столбцов линейно независим . Каждый матроид с линейным представлением этого типа над полем F может быть также представлен как алгебраический матроид над F , [6] [7] выбирая неопределенное значение для каждой строки матрицы и используя матричные коэффициенты в каждом столбце, чтобы присвоить каждому элементу матроида линейную комбинацию этих трансцендентов. Для полей нулевой характеристики (например, действительных чисел) линейные и алгебраические матроиды совпадают, но для других полей могут существовать алгебраические матроиды, которые не являются линейными; [8] [9] действительно, матроид, не являющийся Паппусом, алгебраичен над любым конечным полем, но не линеен и не алгебраичен над любым полем нулевой характеристики. [7] Однако если матроид алгебраичен над полем F нулевой характеристики, то он линеен над F ( T ) для некоторого конечного множества трансценденталей T над F. [5] и над замыканием F . алгебраическим [7]
Свойства замыкания
[ редактировать ]Если матроид алгебраичен над простым расширением F ( t ), то он алгебраичен F. над что класс алгебраических матроидов замкнут относительно сжатия Отсюда следует , [10] и что матроид, алгебраический над F, алгебраическим над простым полем F является . [11]
Класс алгебраических матроидов замкнут относительно усечения и объединения матроидов. [12] Неизвестно, всегда ли двойственный алгебраическому матроиду является алгебраическим. [13] и нет исключенной второстепенной характеристики класса. [12]
Набор характеристик
[ редактировать ]( Алгебраическое ) характеристическое множество K ( M ) матроида M — это множество возможных характеристик полей, над которыми M алгебраически представимо. [7]
- Если 0 находится в K ( M ), то все достаточно большие простые числа находятся в K ( M ). [7]
- Каждое простое число является уникальной характеристикой некоторого матроида. [7] [14]
- Если M алгебраично над F , то любое сжатие M алгебраично над F и, следовательно, таковым является любой минор M . [12]
Примечания
[ редактировать ]- ^ Оксли (1992) стр.216
- ^ Оксли (1992) стр.218
- ^ Оксли (1992) стр.215
- ^ Инглтон, штат Аризона; Главное, РА (1975). «Неалгебраические матроиды существуют». Бюллетень Лондонского математического общества . 7 (2): 144–146. дои : 10.1112/blms/7.2.144 . МР 0369110 . Збл 0315.05018 . .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Оксли (1992) стр.221
- ^ Оксли (1992) стр.220
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж Белый (1987) стр.24
- ^ Инглтон, AW (1971). «Представление матроидов». Комбинаторная математика и ее приложения (Proc. Conf., Oxford, 1969) . Лондон: Академическая пресса. стр. 149–167. МР 0278974 . Збл 0222.05025 .
- ^ Джоши, К.Д. (1997), Прикладные дискретные структуры , New Age International, с. 909, ISBN 9788122408263 .
- ^ Оксли (1992) стр.222
- ^ Оксли (1992) стр.224
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Белый (1987) стр.25
- ^ Оксли (1992) стр.223
- ^ Линдстрем, Бернт (1985). «Об алгебраическом характеристическом множестве одного класса матроидов». Труды Американского математического общества . 95 (1): 147–151. дои : 10.2307/2045591 . JSTOR 2045591 . Збл 0572.05019 .
Ссылки
[ редактировать ]- Оксли, Джеймс Г. (1992). Теория Матроида . Оксфордские научные публикации. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-853563-5 . Збл 0784.05002 .
- Валлийский, DJA (2010) [1976]. Теория матроидов . Публикации Курьера Дувра. ISBN 9780486474397 .
- Уайт, Нил, изд. (1987), Комбинаторная геометрия , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 29, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-33339-3 , Збл 0626.00007