Общее кольцо дробей

В абстрактной алгебре полное факторкольцо или общее кольцо дробей — конструкция, обобщающая понятие поля частных на области целостности коммутативные кольца R , которые могут иметь делители нуля . Конструкция встраивает R в большее кольцо , давая каждому ненулевому делителю R обратный элемент в большем кольце. Если гомоморфизм R в новое кольцо должен быть инъективным , никаким дальнейшим элементам нельзя задать обратный.

Определение

Позволять $R$ — коммутативное кольцо и пусть $S$ — множество элементов , которые не являются делителями нуля в $R$; затем $S$является мультипликативно замкнутым множеством . Следовательно, мы можем локализовать кольцо $R$ на съемочной площадке $S$ чтобы получить полное факторкольцо $S^{-1}R=Q(R)$.

Если $R$ это домен , то $S=R-\{0\}$а полное факторкольцо совпадает с полем дробей. Это оправдывает обозначение $Q(R)$, который иногда используется и для поля дробей, поскольку в случае домена нет двусмысленности.

С $S$ в конструкции не содержит делителей нуля, естественное отображение $R\to Q(R)$ инъективен, поэтому полное факторкольцо является расширением $R$.

Примеры

• Для произведения кольца A × B полное факторкольцо Q ( A × B ) является произведением полного фактор - кольца Q ( A ) × Q ( B ) . В частности, если A и B являются целыми областями, это произведение полей фактор.

• Для кольца голоморфных функций на открытом множестве D комплексных чисел полное факторкольцо является кольцом мероморфных функций на D , даже D несвязно если .

• В артиновом кольце все элементы являются единицами или делителями нуля. Следовательно, множество неделителей нуля представляет собой группу единиц кольца: $R^{\times }$, и так $Q(R)=(R^{\times })^{-1}R$. Но поскольку все эти элементы уже имеют обратные, $Q(R)=R$.

• В коммутативном фон Неймана регулярном кольце R происходит то же самое. Предположим, что a в R не является делителем нуля. Тогда в регулярном кольце фон Неймана a = axa для некоторого x из R , что дает уравнение a ( xa − 1) = 0. Поскольку a не является делителем нуля, xa = 1, что показывает, что a является единицей. Снова здесь, $Q(R)=R$.

• В алгебраической геометрии рассматривается пучок полных факторколец на схеме , и это можно использовать для определения дивизора Картье .

Общее кольцо дробей уменьшенного кольца

Предложение . Пусть A , — приведенное кольцо имеющее лишь конечное число минимальных простых идеалов . ${\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{r}$(например, нетерово приведенное кольцо). Затем

$Q(A)\simeq \prod _{i=1}^{r}Q(A/{\mathfrak {p}}_{i}).$

Геометрически, $\operatorname {Spec} (Q(A))$ — артинова схема , состоящая (как конечное множество) из общих точек неприводимых компонент $\operatorname {Spec} (A)$.

Доказательство: каждый элемент Q ( A ) является либо единицей, либо делителем нуля. Таким образом, любой собственный идеал I кольца Q ( A ) содержится в множестве делителей нуля числа Q ( A ); это множество равно объединению минимальных простых идеалов ${\mathfrak {p}}_{i}Q(A)$поскольку Q ( A ) уменьшается . Главным образом избегая , я должен содержаться в каком-то ${\mathfrak {p}}_{i}Q(A)$. Следовательно, идеалы ${\mathfrak {p}}_{i}Q(A)$являются максимальными идеалами Q A ( ) . Кроме того, их пересечение равно нулю . Таким образом, по китайской теореме об остатках , примененной к Q ( A ),

$Q(A)\simeq \prod _{i}Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)$.

Пусть S — мультипликативно замкнутое множество неделителей нуля A . По точности локализации

$Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)=A[S^{-1}]/{\mathfrak {p}}_{i}A[S^{-1}]=(A/{\mathfrak {p}}_{i})[S^{-1}]$,

которое уже является полем и поэтому должно быть $Q(A/{\mathfrak {p}}_{i})$. $\square$

Обобщение

Если $R$ является коммутативным кольцом и $S$ – любое мультипликативно замкнутое множество в $R$, локализация $S^{-1}R$ еще можно построить, но гомоморфизм колец из $R$ к $S^{-1}R$может не быть инъективным. Например, если $0\in S$, затем $S^{-1}R$ — тривиальное кольцо .

Ссылки

• Мацумура, Хидеюки (1980), Коммутативная алгебра (2-е изд.), Бенджамин/Каммингс, ISBN  978-0-8053-7026-3 , OCLC   988482880
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-36764-6 , OCLC   23133540