Общее кольцо дробей
Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец |
---|
В абстрактной алгебре полное факторкольцо [1] или общее кольцо дробей [2] — конструкция, обобщающая понятие поля частных на области целостности коммутативные кольца R, которые могут иметь делители нуля . Конструкция встраивает R в большее кольцо , давая каждому неделителю нуля R обратный элемент в большем кольце. Если гомоморфизм R , в новое кольцо должен быть инъективным никаким дальнейшим элементам нельзя задать обратный.
Определение [ править ]
Позволять — коммутативное кольцо и пусть элементов — множество , которые не являются делителями нуля в ; затем является мультипликативно замкнутым множеством . Следовательно, мы можем локализовать кольцо на съемочной площадке чтобы получить полное факторкольцо .
Если это домен , то а полное факторкольцо совпадает с полем дробей. Это оправдывает обозначение , который иногда используется и для поля дробей, поскольку в случае домена нет двусмысленности.
С в конструкции не содержит делителей нуля, естественное отображение инъективен, поэтому полное факторкольцо является расширением .
Примеры [ править ]
- Для продуктового кольца A × B полное факторкольцо Q ( A × B ) является произведением полного фактор-кольца Q ( A ) × Q ( B ) . В частности, если A и B являются целыми областями, это произведение полей фактор.
- кольца голоморфных функций на открытом множестве D комплексных чисел полное факторкольцо является кольцом мероморфных функций на D , даже если D несвязно Для .
- В артиновом кольце все элементы являются единицами или делителями нуля. Следовательно, множество неделителей нуля представляет собой группу единиц кольца: , и так . Но поскольку все эти элементы уже имеют обратные, .
- В коммутативном регулярном кольце фон Неймана R происходит то же самое. Предположим, что a в R не является делителем нуля. Тогда в регулярном кольце фон Неймана a = axa для некоторого x из R , что дает уравнение a ( xa − 1) = 0. Поскольку a не является делителем нуля, xa = 1, что показывает, что a является единицей. Здесь снова, .
- В алгебраической геометрии рассматривается пучок полных факторколец на схеме , и это можно использовать для определения дивизора Картье .
Общее кольцо дробей уменьшенного кольца [ править ]
Предложение . Пусть A , — приведенное кольцо имеющее лишь конечное число минимальных простых идеалов . (например, нетерово приведенное кольцо). Затем
Геометрически, — артинова схема, состоящая (как конечное множество) из общих точек неприводимых компонент .
Доказательство: каждый элемент Q ( A ) является либо единицей, либо делителем нуля. Таким образом, любой собственный идеал I кольца Q ( A ) содержится в множестве делителей нуля числа Q ( A ); это множество равно объединению минимальных простых идеалов поскольку Q ( A ) уменьшается . Главным образом избегая , я должен содержаться в каком-то . Следовательно, идеалы являются максимальными идеалами Q ) ( A . Кроме того, их пересечение равно нулю . Таким образом, по китайской теореме об остатках, примененной к Q ( A ),
- .
Пусть S — мультипликативно замкнутое множество неделителей нуля A . По точности локализации
- ,
которое уже является полем и поэтому должно быть .
Обобщение [ править ]
Если является коммутативным кольцом и – любое мультипликативно замкнутое множество в , локализация еще можно построить, но гомоморфизм колец из к может не быть инъективным. Например, если , затем — тривиальное кольцо .
Цитаты [ править ]
- ^ Мацумура 1980 , с. 12.
- ^ Мацумура 1989 , с. 21 .
Ссылки [ править ]
- Мацумура, Хидеюки (1980), Коммутативная алгебра (2-е изд.), Бенджамин/Каммингс, ISBN 978-0-8053-7026-3 , OCLC 988482880
- Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 , OCLC 23133540