Нулевое кольцо

Не путать с кольцом 0 .

В теории колец , разделе математики , нулевое кольцо. или тривиальное кольцо — единственное кольцо (с точностью до изоморфизма ), состоящее из одного элемента. (Реже термин «нулевое кольцо» используется для обозначения любой цепи с квадратным нулем , т. е. цепи , в которой xy = 0 для всех x и y . В этой статье говорится об одноэлементном кольце.)

В категории колец нулевое кольцо является конечным объектом , тогда как кольцо целых чисел Z является исходным объектом .

Определение

Нулевое кольцо, обозначаемое {0} или просто 0 , состоит из одноэлементного множества {0} с операциями + и ·, определенными так, что 0 + 0 = 0 и 0 · 0 = 0.

Свойства

• Нулевое кольцо — это единственное кольцо, в котором совпадают аддитивное тождество 0 и мультипликативное тождество 1. (Доказательство: если 1 = 0 в кольце R , то для всех r в R имеем r = 1 r = 0 r = 0. Доказательство последнего равенства можно найти здесь.)
• Нулевое кольцо коммутативно.
• Элемент 0 в нулевом кольце является единицей , служащей его собственным мультипликативным обратным .
• Единичной группой нулевого кольца является тривиальная группа {0}.
• Элемент 0 в кольце нулей не является делителем нуля .
• Единственный идеал в нулевом кольце — это нулевой идеал {0}, который также является единичным идеалом, равным всему кольцу. Этот идеал не является ни максимальным , ни простым .
• Нулевое кольцо обычно исключается из полей , хотя иногда его называют тривиальным полем . Его исключение согласуется с тем, что его нулевой идеал не является максимальным. (Когда математики говорят о « поле с одним элементом », они имеют в виду несуществующий объект, и их намерение состоит в том, чтобы определить категорию, которая была бы категорией схем над этим объектом, если бы он существовал.)
• Нулевое кольцо обычно исключается из областей целостности . Вопрос о том, считается ли нулевое кольцо доменом вообще , является вопросом соглашения, но есть два преимущества в том, чтобы считать его не доменом. Во-первых, это согласуется с определением, что домен — это кольцо, в котором 0 — единственный делитель нуля (в частности, 0 должен быть делителем нуля, что неверно в кольце нулей). Во-вторых, для натурального числа n кольцо Z / n Z является областью определения тогда и только тогда, когда n простое, но 1 не является простым.
• Для каждого кольца A существует единственный гомоморфизм колец из A в нулевое кольцо. Таким образом, нулевое кольцо является терминальным объектом в категории колец .
• Если A — ненулевое кольцо, то не существует гомоморфизма колец нулевого кольца в A . В частности, нулевое кольцо не является подкольцом ни одного ненулевого кольца.
• Нулевое кольцо — единственное кольцо характеристики 1.
• Единственным модулем нулевого кольца является нулевой модуль. Оно не имеет ранга א для любого кардинального числа א.
• Нулевое кольцо не является локальным . Однако это полулокальное кольцо .
• Нулевое кольцо артиново и (следовательно) нётерово .
• Спектр схема нулевого кольца есть пустая .
• Размерность Крулля нулевого кольца равна −∞.
• Нулевое кольцо полупростое , но не простое .
• Нулевое кольцо не является центральной простой алгеброй над каким-либо полем.
• Полное факторкольцо нулевого кольца — это оно само.

Конструкции

• Для любого кольца A и идеала I кольца A фактор I A / , т. е является нулевым кольцом тогда и только тогда, когда I = A . тогда и только тогда, когда I — единичный идеал .
• любого коммутативного кольца A и мультипликативного множества S в A локализация S Для ⁻¹ A является нулевым кольцом тогда и только тогда, когда S содержит 0.
• Если A — любое кольцо, то кольцо M ₀ ( A ) матриц размера 0 × 0 над A является нулевым кольцом.
• Прямым произведением пустого набора колец является нулевое кольцо.
• тривиальной Кольцо эндоморфизмов группы — это нулевое кольцо.
• Кольцо непрерывных вещественных функций на пустом топологическом пространстве является нулевым кольцом.

Ссылки

• Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис-Холл
• Атья, Миссури ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Аддисон-Уэсли
• Босх, Зигфрид (2012), Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра , Спрингер
• Бурбаки Н. , Алгебра I, главы 1–3.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Спрингер
• Лам, Тай (2003), Упражнения по классической теории колец , Springer
• Ланг, Серж (2002), Алгебра (3-е изд.), Springer