Нулевое кольцо
| Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец |
|---|
|
|
|
|
![{\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab7b4e5c999e46c7614c3264b1d80708f4363433)
В теории колец , разделе математики , нулевое кольцо. [1] [2] [3] [4] [5] или тривиальное кольцо — единственное кольцо (с точностью до изоморфизма ), состоящее из одного элемента. (Реже термин «нулевое кольцо» используется для обозначения любого кольца квадратного нуля , т. е. кольца , в котором xy = 0 для всех x и y . В этой статье говорится об одноэлементном кольце.)
В категории колец нулевое кольцо является конечным объектом , тогда как кольцо целых чисел Z является исходным объектом .
Определение [ править ]
Нулевое кольцо, обозначаемое {0} или просто 0 , состоит из одноэлементного множества {0} с операциями + и ·, определенными так, что 0 + 0 = 0 и 0 · 0 = 0.
Свойства [ править ]
- Нулевое кольцо — это единственное кольцо, в котором совпадают аддитивное тождество 0 и мультипликативное тождество 1. [1] [6] (Доказательство: если 1 = 0 в кольце R , то для всех r в R имеем r = 1 r = 0 r = 0. Доказательство последнего равенства можно найти здесь.)
- Нулевое кольцо коммутативно.
- Элемент 0 в нулевом кольце является единицей , служащей его собственным мультипликативным обратным .
- Единичной группой нулевого кольца является тривиальная группа {0}.
- Элемент 0 в кольце нулей не является делителем нуля .
- Единственный идеал в нулевом кольце — это нулевой идеал {0}, который также является единичным идеалом, равным всему кольцу. Этот идеал не является ни максимальным , ни простым .
- Нулевое кольцо обычно исключается из полей , хотя иногда его называют тривиальным полем . Его исключение согласуется с тем, что его нулевой идеал не является максимальным. (Когда математики говорят о « поле с одним элементом », они имеют в виду несуществующий объект, и их намерение состоит в том, чтобы определить категорию, которая была бы категорией схем над этим объектом, если бы он существовал.)
- Нулевое кольцо обычно исключается из областей целостности . [7] Вопрос о том, считается ли нулевое кольцо доменом вообще , является вопросом соглашения, но если считать его не доменом, есть два преимущества. Во-первых, это согласуется с определением, что домен — это кольцо, в котором 0 — единственный делитель нуля (в частности, 0 должен быть делителем нуля, что неверно в кольце нулей). Во-вторых, для натурального числа n кольцо Z / n Z является областью определения тогда и только тогда, когда n простое, но 1 не является простым.
- Для каждого кольца A существует единственный гомоморфизм колец из A в нулевое кольцо. Таким образом, нулевое кольцо является терминальным объектом в категории колец . [8]
- Если A — ненулевое кольцо, то не существует гомоморфизма колец нулевого кольца в A . В частности, нулевое кольцо не является подкольцом ни одного ненулевого кольца. [8]
- Нулевое кольцо — единственное кольцо характеристики 1.
- Единственным модулем нулевого кольца является нулевой модуль. Оно не имеет ранга א для любого кардинального числа א.
- Нулевое кольцо не является локальным . Однако это полулокальное кольцо .
- Нулевое кольцо артиново и (следовательно) нётерово .
- Спектр . нулевого кольца есть схема пустая [8]
- Размерность Крулля нулевого кольца равна −∞.
- Нулевое кольцо полупростое , но не простое .
- Нулевое кольцо не является центральной простой алгеброй над каким-либо полем.
- Полное факторкольцо нулевого кольца — это оно само.
Конструкции [ править ]
- Для любого кольца A и идеала I кольца A фактор I A / I является нулевым кольцом тогда и только тогда, когда I = A , т. е. тогда и только тогда, когда — единичный идеал .
- Для любого коммутативного кольца A и множества S в A локализация S мультипликативного −1 A является нулевым кольцом тогда и только тогда, когда S содержит 0.
- Если A — любое кольцо, то кольцо M 0 ( A размера 0 × 0 ) матриц над A является нулевым кольцом.
- Прямым произведением пустого набора колец является нулевое кольцо.
- тривиальной Кольцо эндоморфизмов группы — это нулевое кольцо.
- Кольцо непрерывных вещественных функций на пустом топологическом пространстве является нулевым кольцом.
Цитаты [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Артин 1991 , с. 347
- ^ Атья и Макдональд 1969 , стр. 1
- ^ Бош 2012 , с. 10
- ^ Бурбаки , с. 101
- ^ Лам 2003 , с. 1
- ^ Ланг 2002 , с. 83
- ^ Лам 2003 , с. 3
- ^ Перейти обратно: а б с Хартсхорн 1977 , с. 80
Ссылки [ править ]
- Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис-Холл
- Атья, Миссури ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Аддисон-Уэсли
- Босх, Зигфрид (2012), Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра , Спрингер
- Бурбаки Н. , Алгебра I, главы 1–3.
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Спрингер
- Лам, Тай (2003), Упражнения по классической теории колец , Springer
- Ланг, Серж (2002), Алгебра (3-е изд.), Springer