Поле с одним элементом

В математике поле с одним элементом — это наводящее на размышления имя объекта, который должен вести себя аналогично конечному полю с одним элементом, если бы такое поле могло существовать. Этот объект обозначается F ₁ или, во франко-английском каламбуре, F _un . Название «поле с одним элементом» и обозначение F ₁ не существует поля с одним элементом носят лишь наводящий характер, так как в классической абстрактной алгебре . Вместо этого F ₁ относится к идее о том, что должен быть способ заменить множества и операции , традиционные строительные блоки абстрактной алгебры, другими, более гибкими объектами. Было предложено множество теорий F ₁ , но неясно, какие из них придают F ₁ все желаемые свойства, если таковые имеются. Хотя в этих теориях до сих пор нет поля с одним элементом, существует полевой объект, характеристика которого едина.

Большинство предлагаемых теорий F ₁ полностью заменяют абстрактную алгебру. Математические объекты, такие как векторные пространства и кольца полиномов, можно перенести в эти новые теории, имитируя их абстрактные свойства. Это позволяет развивать коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию на новых основах. Одной из определяющих особенностей теорий F ₁ является то, что эти новые основы допускают больше объектов, чем классическая абстрактная алгебра, один из которых ведет себя как поле характеристики один.

Возможность изучения математики F ₁ была первоначально предложена в 1956 г. Жаком Титсом в журнале «Tits 1957» на основе аналогии между симметриями в проективной геометрии и комбинаторикой симплициальных комплексов . F ₁ был связан с некоммутативной геометрией и возможным доказательством гипотезы Римана .

История

В 1957 году Жак Тит представил теорию зданий , которая связывает алгебраические группы с абстрактными симплициальными комплексами . Одним из предположений является условие нетривиальности: если здание представляет собой n -мерный абстрактный симплициальный комплекс и если k < n , то каждый k -симплекс здания должен содержать как минимум три n -симплекса. Это аналогично условию классической проективной геометрии , согласно которому прямая должна содержать не менее трех точек. Однако существуют вырожденные геометрии, которые удовлетворяют всем условиям проективной геометрии, за исключением того, что прямые допускают только две точки. Аналогичные объекты в теории зданий называются квартирами. Квартиры играют настолько важную роль в теории зданий, что Титс предположил существование теории проективной геометрии, в которой вырожденные геометрии будут иметь равное значение с классическими. По его словам, эта геометрия будет иметь место в поле характеристики 1 . С помощью этой аналогии удалось описать некоторые элементарные свойства F ₁ , но построить ее не удалось.

После первоначальных наблюдений Титса до начала 1990-х годов прогресс был незначительным. В конце 1980-х годов Александр Смирнов выступил с серией докладов, в которых предположил, что гипотезу Римана можно доказать, рассматривая целые числа как кривую над полем с одним элементом. К 1991 году Смирнов предпринял некоторые шаги в направлении алгебраической геометрии над F ₁ , вводя расширения F ₁ и используя их для обращения с проективной прямой P ¹ над F ₁ . Алгебраические числа рассматривались как отображения этого P ¹ гипотетические аппроксимации формулы Римана–Гурвица и были предложены для этих отображений. Эти приближения подразумевают решения важных проблем, таких как гипотеза abc . Расширения F ₁ в дальнейшем обозначались как F _q с q = 1 ^н . Вместе с Михаилом Капрановым Смирнов продолжил исследование того, как алгебраические и теоретико-числовые конструкции в простой характеристике могут выглядеть в «характеристической», кульминацией которых стала неопубликованная работа, выпущенная в 1995 году. В 1993 году Юрий Манин прочитал серию лекций по дзета-функциям , в которых предложил разработать теорию алгебраической геометрии над F ₁ . Он предположил, что дзета-функции многообразий над F ₁ будут иметь очень простые описания, и предложил связь между К-теорией F 1 _и гомотопическими группами сфер . Это вдохновило нескольких людей попытаться построить явные теории F ₁ -геометрии.

Первое опубликованное определение сорта F ₁ было дано Кристофом Суле в 1999 году. который построил его, используя алгебры над комплексными числами и функторы из категорий некоторых колец. В 2000 году Чжу предположил, что F ₁ — это то же самое, что F _2, за исключением того, что сумма одного и одного равна единице, а не нулю. Дейтмар предположил, что F ₁ следует искать, забыв об аддитивной структуре кольца и сосредоточившись на умножении. Тоен и Вакье опирались на теорию относительных схем Хакима и определили F ₁ с использованием симметричных моноидальных категорий . Позже Веццани показал, что их конструкция эквивалентна конструкции Дейтмара. Николай Дуров построил F ₁ как коммутативную алгебраическую монаду . Боргер использовал спуск , чтобы построить его из конечных полей и целых чисел.

Ален Конн и Катерина Консани развили понятия Суле и Дейтмара, «склеив» категорию мультипликативных моноидов и категорию колец, чтобы создать новую категорию. ${\mathfrak {M}}{\mathfrak {R}},$ затем определить F ₁ -схемы как особый вид представимых функторов на ${\mathfrak {M}}{\mathfrak {R}}.$ Используя это, им удалось дать представление о нескольких теоретико-числовых конструкциях над F _1, таких как мотивы и расширения полей, а также построить группы Шевалле над F _{1. ²} . Наряду с Матильдой Марколли , Конн и Консани также связали F ₁ с некоммутативной геометрией . Также было высказано предположение о связи с гипотезой об уникальных играх в теории сложности вычислений .

Оливер Лоршайд вместе с другими недавно достиг первоначальной цели Титса по описанию групп Шевалле над F ₁ , введя объекты, называемые чертежами, которые являются одновременным обобщением как полуколец , так и моноидов. Они используются для определения так называемых «синих схем», одной из которых является Spec F ₁ . Идеи Лоршайда несколько отличаются от других идей групп над F ₁ тем, что F _1- схема сама по себе не является группой Вейля ее базового расширения до нормальных схем. Лоршейд сначала определяет категорию Титса, полную подкатегорию категории синих схем, и определяет «расширение Вейля», функтор из категории Титса в Set . Модель Титса – Вейля алгебраической группы. ${\mathcal {G}}$ — синяя схема G с групповой операцией, являющейся морфизмом категории Титса, базовое расширение которой есть ${\mathcal {G}}$ и чье расширение Вейля изоморфно группе Вейля ${\mathcal {G}}.$

F ₁ -геометрия связана с тропической геометрией через тот факт, что полукольца (в частности, тропические полукольца) возникают как факторы некоторого моноидного полукольца N [ A ] конечных формальных сумм элементов моноида A , который сам является F ₁ ‑алгебра. Эта связь становится явной благодаря использованию Лоршайдом чертежей. Братья Джансиракузы построили теорию тропических схем, для которой их категория тропических схем эквивалентна категории F ₁ -схем Тоэна–Вакие. Эта категория точно , но не полностью , вписывается в категорию синих схем и является полной подкатегорией категории схем Дурова.

Мотивы

Алгебраическая

Одна из причин использования F ₁ исходит из теории алгебраических чисел . гипотезы Доказательство Вейля Римана для кривых над конечными полями начинается с кривой C над конечным полем k , которая снабжена функциональным полем F , которое является расширением поля k . Каждое такое функциональное поле порождает дзета -функцию Хассе–Вейля ζ _F , а гипотеза Римана для конечных полей определяет нули ζ _F . Затем доказательство Вейля использует различные геометрические свойства C для изучения ζ _F .

Поле рациональных чисел Q связано аналогично дзета-функции Римана , но Q не является функциональным полем многообразия. Вместо этого является функциональным полем схемы Spec Z. Q Это одномерная схема (также известная как алгебраическая кривая ), и поэтому должно существовать некоторое «базовое поле», над которым лежит эта кривая, которого Q было бы расширением (точно так же, как C является кривой над k , и F является расширением k ). Надежда F ₁ -геометрии состоит в том, что подходящий объект F ₁ мог бы играть роль этого базового поля, что позволило бы доказать гипотезу Римана , имитируя доказательство Вейля с F ₁ вместо k .

Arakelov geometry

Геометрия над полем с одним элементом также мотивирована геометрией Аракелова , где диофантовы уравнения изучаются с использованием инструментов сложной геометрии . Теория включает в себя сложные сравнения между конечными полями и комплексными числами. Здесь существование F ₁ полезно по техническим причинам.

Ожидаемые свойства

F ₁ не является полем

F ₁ не может быть полем, поскольку по определению все поля должны содержать два различных элемента: аддитивный тождественный ноль и мультипликативный тождественный единицу. Даже если это ограничение будет снято (например, если аддитивные и мультипликативные тождества будут одним и тем же элементом), кольцо с одним элементом должно быть нулевым кольцом , которое не ведет себя как конечное поле. Например, все модули над нулевым кольцом изоморфны (поскольку единственным элементом такого модуля является нулевой элемент). Однако одной из ключевых мотиваций F ₁ является описание множеств как « векторных пространств F ₁ » – если бы конечные множества были модулями над нулевым кольцом, то каждое конечное множество было бы одинакового размера, что не так. При этом спектр тривиального кольца пуст, а спектр поля имеет одну точку.

Другая недвижимость

• Конечные множества — это как аффинные пространства , так и проективные пространства над F ₁ .
• Острые множества — это векторные пространства над F ₁ .
• Конечные поля F _q являются квантовыми деформациями F 1 _, где q — деформация.
• Группы Вейля — это простые алгебраические группы над F ₁ :

  Учитывая диаграмму Дынкина полупростой алгебраической группы, ее группа Вейля равна полупростая алгебраическая группа над F ₁ .

• Аффинная схема Spec Z является кривой над F ₁ .
• Группы являются алгебрами Хопфа над F ₁ . В более общем смысле, все, что определяется исключительно в терминах диаграмм алгебраических объектов, должно иметь F ₁ -аналог в категории множеств.
• Действия группы на множествах являются проективными представлениями группы G над F ₁ , и, таким образом, G является групповой алгеброй Хопфа F ₁ [ G ].
• Торические многообразия определяют F1 _- многообразия. В некоторых описаниях F ₁ -геометрии верно и обратное, в том смысле, что расширение скаляров F ₁ -многообразий на Z является торическим. В то время как другие подходы к F ₁ -геометрии допускают более широкие классы примеров, торические многообразия, по-видимому, лежат в самом сердце теории.
• Дзета-функция P ^Н ( F ₁ ) должно быть ζ ( s ) знак равно s ( s - 1) ⋯ ( s - N ) .
• m - я K- группа F ₁ должна быть m -й стабильной гомотопической группой спектра сферы .

Расчеты

Различные структуры на множестве аналогичны структурам в проективном пространстве и могут быть вычислены таким же образом:

Множества — это проективные пространства

Число элементов P ( F ^н
_q ) = П ^{п -1} ( F _q ) , ( n − 1) -мерное проективное пространство над конечным полем F _q , представляет собой q -целое число

$[n]_{q}:={\frac {q^{n}-1}{q-1}}=1+q+q^{2}+\dots +q^{n-1}.$

Взяв q = 1, получим [ n ] _q = n .

Разложение целого числа q в сумму степеней q соответствует ячейковому разложению Шуберта проективного пространства.

Перестановки — это максимальные флаги

Нет ​ ! перестановки набора из n элементов и [ n ]! _q максимальных флагов в F ^н
_q , где

$[n]!_{q}:=[1]_{q}[2]_{q}\dots [n]_{q}$

является q -факториалом . Действительно, перестановку набора можно считать фильтрованным набором , поскольку флаг представляет собой фильтрованное векторное пространство: например, порядок (0, 1, 2) набора {0, 1, 2} соответствует фильтрации { 0} ⊂ {0, 1} ⊂ {0, 1, 2} .

Подмножества — это подпространства

Биномиальный коэффициент

${\frac {n!}{m!(n-m)!}}$

дает количество m -элементных подмножеств n -элементного набора и q -биномиальный коэффициент

${\frac {[n]!_{q}}{[m]!_{q}[n-m]!_{q}}}$

количество m -мерных подпространств n -мерного векторного пространства над Fq _. дает

Разложение q -биномиального коэффициента в сумму степеней q соответствует по ячейкам Шуберта разложению грассманиана .

Моноидные схемы

Конструкция моноидных схем Дейтмара был назван «самым ядром F ₁ -геометрии», поскольку большинство других теорий F ₁ -геометрии содержат описания моноидных схем. С моральной точки зрения она имитирует теорию схем разработанную в 1950-х и 1960-х годах путем замены коммутативных колец моноидами , . В результате аддитивная структура кольца «забывается», остается только мультипликативная структура. По этой причине ее иногда называют «неаддитивной геометрией».

Моноиды

— Мультипликативный моноид это моноид A , который также содержит поглощающий элемент 0 (отличный от единицы 1 моноида), такой что 0 a = 0 для каждого a в моноиде A . Поле с одним элементом затем определяется как F ₁ = {0, 1} , мультипликативный моноид поля с двумя элементами, который является начальным в категории мультипликативных моноидов. в Идеал моноида моноиде A — это подмножество I которое мультипликативно замкнуто, содержит 0 и такое, что IA = { ra : r ∈ I , a ∈ A } = I. , Такой идеал является простым , если A ∖ I мультипликативно замкнуто и содержит 1.

Для моноидов A и B называется гомоморфизмом моноида функция f : A → B такая, что

• $f(0)=0;$
• $f(1)=1,$ и
• $f(ab)=f(a)f(b)$ для каждого $a$ и $b$ в $A.$

Моноидные схемы

Спектр Spec моноида A обозначаемый простых A представляет собой множество идеалов A. , , Спектру моноида можно задать топологию Зариского , определив основные открытые множества.

$U_{h}=\{{\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}A:h\notin {\mathfrak {p}}\},$

для часа в A. каждого Моноидальное пространство — это топологическое пространство вместе с пучком мультипликативных моноидов, называемым структурным пучком . Аффинная моноидная схема — это моноидальное пространство, изоморфное спектру моноида, а моноидная схема — это пучок моноидов, имеющий открытое покрытие аффинными моноидными схемами.

Моноидные схемы можно превратить в теоретико-кольцевые схемы с помощью базового расширения функтора – ⊗ _{F 1} Z , который переводит моноид A в Z ‑модуль (т. е. кольцо) Z [ A ] / ⟨0 _A ⟩ , и моноидного гомоморфизма f : A → B продолжается до кольцевого гомоморфизма f _Z : A ⊗ _{F 1} Z → B ⊗ _{F 1} Z , который линеен как гомоморфизм Z -модуля. Базовое расширение схемы аффинного моноида определяется по формуле

$\operatorname {Spec} (A)\times _{\operatorname {Spec} (\mathbf {F} _{1})}\operatorname {Spec} (\mathbf {Z} )=\operatorname {Spec} {\big (}A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} {\big )},$

что, в свою очередь, определяет базовое расширение общей моноидной схемы.

Последствия

Эта конструкция достигает многих желаемых свойств F ₁ -геометрии: Spec F ₁ состоит из одной точки, поэтому ведет себя аналогично спектру поля в обычной геометрии, а категория схем аффинного моноида двойственна категории мультипликативных схем. моноиды, отражающие двойственность аффинных схем и коммутативных колец. Более того, эта теория удовлетворяет комбинаторным свойствам, ожидаемым от F ₁ , упомянутым в предыдущих разделах; например, проективное пространство над F ₁ размерности n как схема моноида идентично квартире проективного пространства над F _q размерности n, когда она описывается как здание.

Однако моноидные схемы не реализуют всех ожидаемых свойств теории F1 _- геометрии, поскольку единственные многообразия, имеющие аналоги моноидных схем, — это торические многообразия . Точнее, если X — моноидная схема, базовое расширение которой — плоская , отделимая , связная схема конечного типа , то базовое расширение X — торическое многообразие. Другие понятия F ₁ -геометрии, такие как понятие Конна-Консани, используйте эту модель для описания F ₁ -многообразий, которые не являются торическими.

Расширения полей

с одним элементом можно определить Расширения поля как группу корней из единицы или, более точно (с геометрической структурой), как групповую схему корней из единицы . Это неестественно изоморфно циклической группе порядка n , изоморфизм зависит от выбора примитивного корня из единицы :

$\mathbf {F} _{1^{n}}=\mu _{n}.$

Таким образом, векторное пространство размерности d над F _{1 ^н} — конечное множество порядка dn, на котором свободно действуют корни из единицы вместе с базовой точкой.

С этой точки зрения конечное поле F _q является алгеброй над F _{1 ^н} , размерности d = ( q - 1)/ n для любого n , кратного q - 1 (например, n = q - 1 или n = 1 ). Это соответствует тому факту, что группа единиц конечного поля F _q (которыми являются q - 1 ненулевые элементы) является циклической группой порядка q - 1 любая циклическая группа порядка, делящего q - 1. , на которой действует свободно (возведением в степень), а нулевой элемент поля является базовой точкой.

Аналогично, действительные числа R являются алгеброй над F _{1 ²} , бесконечной размерности, поскольку действительные числа содержат ±1, но не содержат других корней из единицы, а комплексные числа C являются алгеброй над F _{1 ^н} для всех n , опять же бесконечной размерности, поскольку комплексные числа имеют все корни из единицы.

С этой точки зрения любое явление, которое зависит только от поля, имеющего корни из единицы, можно рассматривать как происходящее из F ₁ – например, дискретное преобразование Фурье (комплексное) и связанное с ним теоретико-числовое преобразование ( Z / n Z -значение).

См. также

• Арифметическая производная
• Полугруппа с одним элементом

Библиография

• Боргер, Джеймс (2009), Λ-кольца и поле с одним элементом , arXiv : 0906.3146
• Консани, Катерина; Конн, Ален , ред. (2011), Некоммутативная геометрия, арифметика и смежные темы. Материалы 21-го заседания Японско-американского математического института (JAMI), состоявшегося в Университете Джонса Хопкинса, Балтимор, Мэриленд, США, 23–26 марта 2009 г. , Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса, ISBN  978-1-4214-0352-6 , Збл   1245.00040
• Конн, Ален ; Консани, Катерина; Марколли, Матильда (2009), «Весело с $\mathbb {F} _{1}$", Журнал теории чисел , 129 (6): 1532–1561, arXiv : 0806.2401 , doi : 10.1016/j.jnt.2008.08.007 , MR   2521492 , S2CID   5327852 , Zbl   1228.11143
• Конн, Ален ; Консани, Катерина (2010), «Схемы над F ₁ и дзета-функции», Compositio Mathematica , 146 (6), Лондонское математическое общество: 1383–1415, arXiv : 0903.2024 , doi : 10.1112/S0010437X09004692 , S2CID   1444843 0
• Дейтмар, Антон (2005), «Схемы над F ₁ », Ван дер Гир, Г.; Мунен, Б.; Шуф, Р. (ред.), Числовые поля и функциональные поля: два параллельных мира , Progress in Mathematics, vol. 239
• Дейтмар, Антон (2006), F ₁ — схемы и торические многообразия , arXiv : math/0608179 , Bibcode : 2006math......8179D
• Дуров, Николай (2008), «Новый подход к геометрии Аракелова», arXiv : 0704.2030 [ math.AG ]
• Джансиракуса, Джеффри; Джансиракуса, Ной (2016), «Уравнения тропических разновидностей», Duke Mathematical Journal , 165 (18): 3379–3433, arXiv : 1308.0042 , doi : 10.1215/00127094-3645544 , S2CID   16276528
• Капранов Михаил; Смирнов, Александр (1995), Определители когомологий и законы взаимности: случай числового поля (PDF)
• Ле Брюн, Ливен (2009), «(не)коммутативная геометрия f-un», arXiv : 0909.2522 [ math.RA ]
• Леско, Поль (2009), Algebre absolue (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 27 июля 2011 г. , получено 21 ноября 2009 г.
• Лопес Пенья, Хавьер; Лоршайд, Оливер (2011), «Отображение F ₁ -land: обзор геометрии поля с одним элементом», Некоммутативная геометрия, арифметика и смежные темы : 241–265, arXiv : 0909.0069
• Лоршайд, Оливер (2009), «Алгебраические группы над полем с одним элементом», arXiv : 0907.3824 [ math.AG ]
• Лоршайд, Оливер (2016), «Чертежный взгляд на геометрию F ₁ », в Коэн, Тас (редактор), Абсолютная арифметика и F ₁ геометрия , Издательство Европейского математического общества, arXiv : 1301.0083
• Лоршайд, Оливер (2018a), « F ₁ для всех», Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков , 120 (2), Springer: 83–116, arXiv : 1801.05337 , doi : 10.1365/s13291-018-0177-x , S2CID   119664210
• Лоршайд, Оливер (2018b), «Геометрия чертежей, часть II: модели Титса – Вейля алгебраических групп», Forum of Mathematics, Sigma , 6 , arXiv : 1201.1324 , doi : 10.1017/fms.2018.17 , S2CID   117587513
• Лоршайд, Оливер (2015), Теоретико-схемная тропикализация , arXiv : 1508.07949
• Манин, Юрий (1995), «Лекции о дзета-функциях и мотивах (по Денингеру и Курокаве)» (PDF) , Asterisque , 228 (4): 121–163
• Шольце, Питер (2017), p -адическая геометрия , с. 13, arXiv : 1712.03708
• Смирнов, Александр (1992), «Неравенства Гурвица для числовых полей» (PDF) , Алгебра и анализ (на русском языке), 4 (2): 186–209
• Суле, Кристоф (1999), На поле с одним элементом (представлено на Arbeitstagung, Бонн, июнь 1999 г.) (PDF) , Препринт IHES
• Суле, Кристоф (2003), Разновидности тела с одним элементом (на французском языке), arXiv : math/0304444 , Бибкод : 2003math......4444S
• Титс, Жак (1957), «Об алгебраических аналогах комплексных полупростых групп», Коллоквиум по высшей алгебре, проходивший в Брюсселе с 19 по 22 декабря 1956 года, Бельгийский центр математических исследований Établissements Ceuterick, Лувен , Париж: Librairie Gauthier -Вилларс, стр. 261–289
• Тоен, Бертран ; Вакье, Мишель (2005), «Ниже спецификации Z» , arXiv : math/0509684
• Веццани, Альберто (2010), «Схемы Дейтмара и Тоэна-Вакие над F ₁ » , Mathematical Journal , 271 : 1–16, arXiv : 1005.0287 , doi : 10.1007/s00209-011-0896-5 , S2CID   119145251

Внешние ссылки

• Находки Джона Баэза по математической физике на этой неделе: неделя 259
• Поле с одной стихией в кафе n ‑категории
• Поле с одним элементом на секретном семинаре по ведению блогов
• В поисках веселья _и фольклора Весело _» « , Ливен ле Брюйн.
• Картирование F ₁ -land: обзор геометрии поля с одним элементом , Хавьер Лопес Пенья, Оливер Лоршайд
• Веселая _{математика} Коэн , Ливен ле Брюйн, Тас .
• Конференция Вандербильта по некоммутативной геометрии и геометрии над полем с одним элементом. Архивировано 12 декабря 2013 г. в Wayback Machine ( расписание заархивировано 15 февраля 2012 г. в Wayback Machine ).
• NCG и F_un , Ален Конн и К. Консани: краткое изложение докладов и слайды